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专题14 指数函数
一、单选题
1．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】因函数在R上单调递增，则由得，即，
当时，不一定有，如：，不成立，
当时，也不一定有，如，即，不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
又函数在R上单调递增，，，故选A.
3．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
因为，
所以函数的值域为.故选C.
4．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减
【答案】C
【解析】函数的定义域为，，故函数为偶函数.又
任取 故函数在上单调递增，故选C.
5．若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程有解，有解，
令，则可化为有正根，则在有解，
又当时，，所以，故选．
6．若，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．a>b>c>d B．b>a>d>c C．b>a>c>d D．a>b>d>c
【答案】C
【解析】，
另外，则b>a，，则c>d，故b>a>c>d，故选C.
7．若存在满足()，则a的取值范围是( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由存在满足可得，存在使得成立，所以小于的最大值.因为，所以在上单调递增，所以当时有最大值1.所以.
故选A.
8．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【解析】对于A：当时，单调递减，可得单调递增，而由所给的图象可知单调递减，故选项A不正确；
对于B和C：当或时，定义域为，
且为偶函数，
因为在上单调递减，所以在上单调递增
而所给的图象不关于轴对称，且在上单调递减，故选项B和C都不正确，
由排除法可知选项B正确；
故选B.
9．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，则原函数可化为，该函数在上单调递增，
又在R上单调递增，当时，，故在上单调递增，
故选A.
10．已知函数，，且，则（ ）
A．，， B．，，
C． D．
【答案】D
【解析】由题得.所以函数的图象如下图所示：
由图可知若，且，
则，，，，
故A中，，，不正确；
B中，，，不正确；
C中，，，故C不正确；
D中，，故D正确.
故选D.
二、多选题
11．下列说法中，正确的是（ ）
A．任取，都有
B．是增函数
C．的最小值为1
D．在同一坐标系中与的图像关于轴对称
【答案】CD
【解析】对于A，取时，有，故A错误；
对于B，是减函数，故B错误；
对于C，由于，且在上单调递增，所以的最小值为，故C正确；
对于D，由指数函数性质可知与的图像关于轴对称，故D正确；
故选CD.
12．已知函数，则下面几个结论正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且恒成立
【答案】ACD
【解析】对于A，，则，
则为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确.
对于B，计算，，故的图象不关于y轴对称，故B错误.
对于C，，，
故，易知：，故的值域为,故C正确.
对于D，，
因为在上为增函数，为上的减函数，
由复合函数的单调性的判断法则可得在上单调递减，
故，且，恒成立，故D正确.
故选ACD.
13．若函数（，）在区间上的最大值与最小值的差为，则实数的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】当时，在上单调递增，
此时，解得：，
当时，在上单调递减，
此时，解得：，
所以则实数的值为或，故选CD.
14．若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】CD
【解析】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，
当时，的图象如图（1）所示，
由已知得，；
当时，的图象如图（2）所示，
由已知可得，，结合可得无解．
综上可知的取值范围为．故选．
15．已知函数，实数、满足，则下列结论正确的有（ ）
A． B．、，使
C． D．
【答案】CD
【解析】画出函数的图象如下图所示：
当时，，则，
设，则，
因为，可得，可得，
由，可得，可得，
由，可得，则，A错，C对；
由基本不等式可得，所以，则，B错，D对.
故选CD.
三、填空题
16．函数的定义域为_____________．
【答案】
【解析】令.故答案为：.
17．已知函数，则的值域是______，单调递减区间是______.
【答案】
【解析】如图所示，画出分段函数的图像，当时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，最小值为0，所以可得：的值域是，单调递减区间是
故答案为：，.
18．函数的单调递减区间是________．
【答案】
【解析】令，其递増区间为，根据函数是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区问就是．故答案为：
19．函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】显然，是偶函数，时，是增函数，
所以不等式等价于，即，，，解得．故答案为：．
20．已知函数（且）恒过定点，点在直线上，则的最小值为________．
【答案】
【解析】令，可得，且，故点，
由已知条件可得，则，
因为、均为正数，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.
21．已知函数，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】，，函数的对称轴是，所以函数在上单调递增，
在单调递增，且，所以函数在上单调递增，
不等式，解得：或，
所以不等式的解集是.故答案为：
22．已知函数|在区间上是增函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由的图象向右平移1个单位，可得的图象，
因为是偶函数，且在上单调递增，所以函数在上单调递增，
因为函数|在区间上是增函数，所以，解得，
所以实数的取值范围是.故答案为：.
23．已知是定义在上的减函数，若对于任意的，，均有，且（2），则不等式的解集为__．
【答案】
【解析】根据，（2），可得（2）（2），
由，得，可化为，
由是定义在上的减函数，得，解得，
所以不等式的解集为．故答案为：．
四、解答题
24．已知函数．
（1）求函数f(x)的定义域，判断并证明f(x)的奇偶性；
（2）用单调性的定义证明函数f(x)在其定义域上是增函数；
（3）解不等式．
【解析】（1），函数f(x)的定义域为R，即，f(x)是奇函数．
证明如下：的定义域为R，又，
，
是定义在R上的奇函数；
（2）证明：任取，且．
则
，
又，
，即，
∴函数f(x)在其定义域上是增函数；
（3）由得，
∵函数f(x)为奇函数，，
，
由（2）已证得函数f(x)在R上是增函数，
，即，
，
则不等式的解集为．
25．已知函数（且）的图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）求的最小值；
（3）设，若恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）将代入得：，解得或（舍，
故；
（2）易知，当时取等号，
故的最小值为；
（3）由题意得，当且仅当，即时取等号，
故要使恒成立，只需成立，
故的取值范围是，．
26．设函数（，，），是定义域为R的奇函数.
（1）确定k的值；
（2）若，函数，，求的最小值；
（3）若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）∵是定义域为R的奇函数，∴，
即，解得.
（2）由（1）得，是定义域为R的奇函数，
∴设，且，
∵，
当时，，，∴，
∴当时，在定义域R上单调递增.
当时，∴，即，解得或（舍去），
则，
当，令，，∴
∴当时，.
（3）由题意得，又，所以在恒成立，
∴，
当时，，∴，
令在上单调递减，则，
∴，即，
故得所有的正整数的取值为.
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专题14 指数函数
一、单选题
1．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减
5．若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．a>b>c>d B．b>a>d>c C．b>a>c>d D．a>b>d>c
7．若存在满足()，则a的取值范围是( ).
A． B． C． D．
8．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
9．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，，且，则（ ）
A．，， B．，，
C． D．
二、多选题
11．下列说法中，正确的是（ ）
A．任取，都有
B．是增函数
C．的最小值为1
D．在同一坐标系中与的图像关于轴对称
12．已知函数，则下面几个结论正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称 B．的图象关于y轴对称
C．的值域为 D．，且恒成立
13．若函数（，）在区间上的最大值与最小值的差为，则实数的值为（ ）．
A． B． C． D．
14．若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（ ）
A．2 B． C． D．
15．已知函数，实数、满足，则下列结论正确的有（ ）
A． B．、，使
C． D．
三、填空题
16．函数的定义域为_____________．
17．已知函数，则的值域是______，单调递减区间是______.
18．函数的单调递减区间是________．
19．函数，则不等式的解集为___________.
20．已知函数（且）恒过定点，点在直线上，则的最小值为________．
21．已知函数，则不等式的解集为__________．
22．已知函数|在区间上是增函数，则实数的取值范围是___________.
23．已知是定义在上的减函数，若对于任意的，，均有，且
（2），则不等式的解集为___________.
四、解答题
24．已知函数．
（1）求函数f(x)的定义域，判断并证明f(x)的奇偶性；
（2）用单调性的定义证明函数f(x)在其定义域上是增函数；
（3）解不等式．
25．已知函数（且）的图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）求的最小值；
（3）设，若恒成立，求实数的取值范围.
26．设函数（，，），是定义域为R的奇函数.
（1）确定k的值；
（2）若，函数，，求的最小值；
（3）若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由.
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