2021-2022学年 人教版数学八年级上册13.4.2 造桥选址问题 课件（第四课时 28张）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年 人教版数学八年级上册13.4.2 造桥选址问题 课件（第四课时 28张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 395.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-05 10:32:26 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
人教版 数学 八年级上册
第4节 课题学习 最短路径问题
第2课时 造桥选址问题
第十五章 分式
1.两点一线型.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C,使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.
B
l
A
C
复习旧知
如图，点A，B是直线l同侧的两点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C，此时点C就是所求作的点.
B′
A
B
l
C
1.两点一线型.
2.两线一点型问题.
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△AMN的周长最小.此时过点A分别作关于直线l1，l2的对称点A1，A2，连接A1A2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.
l1
l2
A
A1
N
A2
M
3.两线两点型问题.
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形AMNB的周长最小.这时分别作点A，B关于直线l1，l2的对称点A1，B1，连接A1B1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.
l2
l1
B
A
B1
M
A1
N
1.利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想.
学习目标
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直）
导入新知
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？
A
B
a
b
M
N
新知 造桥选址问题
合作探究
分析： 由于河宽是固定的，则MN的大小是固定的.当AM+MN+BN的值最小时，也即AM+BN的值最小.
A
B
a
b
M
N
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图，直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小.
A
B
a
b
M
N
分析： 将AM沿着与直线a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小.
A
B
a
b
M
N
A′
如图，连接A′，B，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线b的交点即为所求的点N的位置，即在此处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.
A
B
a
b
M
N
A′
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B∴A′N+NB即A′N+NB+MN∴AM+NB+MN即AM+NB+MN的值最小.
A
B
a
b
M
N
A′
M′
N′
如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
典例精析
解：（1）如图，过点A作AC垂直于河岸，且使得AC的长等于河宽；
（2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作MN⊥EF于点M，则MN即为所建桥的位置.
F
H
E
G
A
B
M
N
C
最短路径
问题
造桥选址问题
A
B
a
b
M
N
A′
归纳新知
1．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河岸l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由.
解：图略．理由：垂线段最短．
课后练习
2．【中考·黔南州】如图，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：
①作点B关于直线l的对称点B′；
②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．
在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
D
3．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3.
(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN；
解：边AB的垂直平分线MN
如图所示．
(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长．
解:点D为MN与BC的交点．
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD.
∴△ADC的最小周长为AC＋BC＝3＋4＝7.
解：分别作点P关于射线OB，OA所在直线的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN，如图所示．
4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN的周长的最小值是5 cm，求∠AOB的度数．
∵△PMN的周长的最小值是5 cm，∴PM＋PN＋MN
＝5 cm.∴DM＋CN＋MN＝5 cm，即CD＝5 cm＝OP.
∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形．
∴∠COD＝60°.∴∠AOB＝30°.
5．【教材P93复习题T15变式】如图，点P为马厩，AB为草地边缘(下方为草地)，CD为一河流，牧马人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩．请帮他确定一条最佳行走路线．
解：如图所示．
作法：①分别作点P关于AB，CD的对称点P′，P″；
②连接P′P″，分别交AB，CD于点M，N；
③分别连接MP，NP.
∵PM＝P′M，PN＝P″N，且点P″，N，M，P′在同一条直线上，∴PM＋MN＋NP＝P′P″，
∴P′P″的长即为最小路程．
∴PM—MN—NP为最佳行走路线．
6．如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？
(2)如图②，点A在直线m外侧，点B在直线
m，n内侧，作点B关于直线n的对称点B′，
连接AB′，分别交直线m，n于点P，Q；
(3)如图③，点A，B在直线m，n内侧，分别作点A，B关于直线m，n的对称点A′，B′，
连接A′B′，分别交直线m，n于点P，Q.
解：如图，作A关于射线OM所在直线的对称点E，再作B关于射线ON所在直线的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，BD，则四边形ABDC即为所求．
再 见
人教版 数学 八年级上册
第4节 课题学习 最短路径问题
第2课时 造桥选址问题
第十五章 分式
1.两点一线型.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C,使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.
B
l
A
C
复习旧知
如图，点A，B是直线l同侧的两点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C，此时点C就是所求作的点.
B′
A
B
l
C
1.两点一线型.
2.两线一点型问题.
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△AMN的周长最小.此时过点A分别作关于直线l1，l2的对称点A1，A2，连接A1A2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.
l1
l2
A
A1
N
A2
M
3.两线两点型问题.
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形AMNB的周长最小.这时分别作点A，B关于直线l1，l2的对称点A1，B1，连接A1B1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.
l2
l1
B
A
B1
M
A1
N
1.利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想.
学习目标
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直）
导入新知
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？
A
B
a
b
M
N
新知 造桥选址问题
合作探究
分析： 由于河宽是固定的，则MN的大小是固定的.当AM+MN+BN的值最小时，也即AM+BN的值最小.
A
B
a
b
M
N
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图，直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小.
A
B
a
b
M
N
分析： 将AM沿着与直线a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小.
A
B
a
b
M
N
A′
如图，连接A′，B，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线b的交点即为所求的点N的位置，即在此处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.
A
B
a
b
M
N
A′
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B
A
B
a
b
M
N
A′
M′
N′
如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
典例精析
解：（1）如图，过点A作AC垂直于河岸，且使得AC的长等于河宽；
（2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作MN⊥EF于点M，则MN即为所建桥的位置.
F
H
E
G
A
B
M
N
C
最短路径
问题
造桥选址问题
A
B
a
b
M
N
A′
归纳新知
1．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河岸l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由.
解：图略．理由：垂线段最短．
课后练习
2．【中考·黔南州】如图，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：
①作点B关于直线l的对称点B′；
②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．
在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
D
3．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3.
(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN；
解：边AB的垂直平分线MN
如图所示．
(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长．
解:点D为MN与BC的交点．
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD.
∴△ADC的最小周长为AC＋BC＝3＋4＝7.
解：分别作点P关于射线OB，OA所在直线的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN，如图所示．
4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN的周长的最小值是5 cm，求∠AOB的度数．
∵△PMN的周长的最小值是5 cm，∴PM＋PN＋MN
＝5 cm.∴DM＋CN＋MN＝5 cm，即CD＝5 cm＝OP.
∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形．
∴∠COD＝60°.∴∠AOB＝30°.
5．【教材P93复习题T15变式】如图，点P为马厩，AB为草地边缘(下方为草地)，CD为一河流，牧马人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩．请帮他确定一条最佳行走路线．
解：如图所示．
作法：①分别作点P关于AB，CD的对称点P′，P″；
②连接P′P″，分别交AB，CD于点M，N；
③分别连接MP，NP.
∵PM＝P′M，PN＝P″N，且点P″，N，M，P′在同一条直线上，∴PM＋MN＋NP＝P′P″，
∴P′P″的长即为最小路程．
∴PM—MN—NP为最佳行走路线．
6．如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？
(2)如图②，点A在直线m外侧，点B在直线
m，n内侧，作点B关于直线n的对称点B′，
连接AB′，分别交直线m，n于点P，Q；
(3)如图③，点A，B在直线m，n内侧，分别作点A，B关于直线m，n的对称点A′，B′，
连接A′B′，分别交直线m，n于点P，Q.
解：如图，作A关于射线OM所在直线的对称点E，再作B关于射线ON所在直线的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，BD，则四边形ABDC即为所求．
再 见