2021-2022学年人教版数学九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角课件（28张）

(共28张PPT)
回顾旧知
弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦．
O
A
B
C
D
E
F
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
圆弧（弧）
O
A
B
半圆
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线。
忆一忆
一、
圆的对称性如何？（导航17页请你思考1）
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
二、想一想
圆绕着它的圆心旋转多少度就能与原图形重合？
（3）结论：圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原
图形重合，这是圆的旋转不变性。
圆是
图形
轴对称
___________
O
将⊙O沿任何一条直径所在的直线对折，两部分图形________．
重合
将⊙O 绕圆心 O 顺时针旋转180°，这两个图形________．
圆是
图形
轴对称
中心对称
___________
O
重合
什么叫圆心角？（导航17页请你思考2）
圆心角 顶点在圆心的角叫圆心角。(如∠AOB).
弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离叫弦心距。(如线段OD).
想一想 P94
2
●O
A
B
┓
D
顶点在圆心的角．
·
O
B
A
圆心角
·
O
B
A
·
O
B
A
·
O
B
A
圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
弦心距
·
O
B
A
┓
C
·
O
B
A
┓
C
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重合，B与B′重合．
·
O
A
B
做一做
·
O
A
B
A′
B′
A′
B′
三、
∴弧AB与弧A'B'重合，AB与A′B′重合．
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？（导航17页请你思考3）
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
●O
A
B
┓
C
A′
B′
C′
┏
①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′
⌒　 ⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
知识要点
弧、弦、圆心角的关系定理
弧、弦与圆心角的关系定理（等对等定理）
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
四、说一说
五、议一议
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角
所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否
把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不能去掉.
反例：如图，虽然∠AOB=∠A′O′B′，
但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角
所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否
把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′
⌒　 ⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
弧、弦、圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，有一组关系相等，那么所对应的其它各组关系均分别相等．
①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′
⌒　 ⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
两个圆心角相等
两条弧相等
两条弦相等
两条弦心距相等
这四组关系分别轮换，其它关系是否成立
①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′
⌒　 ⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
弧、弦、圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
①∠AOB=∠A′O′B′
②AB=A′B′
⌒　 ⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
弧、弦、圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
推论
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
猜一猜P96
6
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
●O
A
B
┓
D
●O′
A′
B′
D′
┏
如由条件:
②AB=A′B′
⌒　⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
在这里可以不说“在同圆或等圆中”吗？
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果 ，那么____________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
四、练习
OE﹦OF
证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD
∵ AB﹦CD ∴ AE﹦CF
∵ OA﹦OC ∴ RT△AOE≌RT △COF
∴ OE﹦OF
证明：
∴ AB=AC．
又∠ACB=60°，
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·
A
B
C
O
五、例题
∵
例1 如图，在⊙O中， ,∠ACB=60°,求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
·
A
O
B
C
D
E
解：
六、练习
∵
∵ ∠COD=35°
七、思考
（1）在圆O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为5，则圆O的直径为（ ）（导航17页请你思考4）
七、思考
（2）如图，圆O的两条弦AB、CD互相垂直且交于点P，OE垂直于AB，OF垂直于CD,垂足分别是E、F,且弧AC=弧BD，试探究四边形EOFP的形状，并说明理由。（导航17页请你思考5）
七、思考
（3）如图点O是∠EPF的角平分线上的一点，圆O与∠EPF的两边分别交于点A,B,C,D,根据上述条件，可以推出（ ）（要求：尽可能地写出你认为正确的结论即可，不再标注其他字母，不写推理过程）（导航17页请你思考6）
°
七、思考
（4） 如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，弧AD=弧BC, 求证AB=CD
（5）如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC
⌒
（6）如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,
求证：AC=AE
⌒ ⌒
1、等对等定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2、等对等定理的推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
3、应用
4、数学思想：数形结合思想
八、点一点