2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册2.2 基本不等式（第2课时）教学设计（表格式）

课题 2.2 基本不等式（共2课时）-----（第2课时）
教材分析 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。
课程目标 A. 推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当两个数相等；用基本不等式解决简单的最值问题 B. 通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒体体会基本不等式等号成立条件, 进一步掌握用基本不等式解决简单的最值问题 C. 积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系.
数学学科素养 a.数学抽象：将问题转化为基本不等式； b.逻辑推理：通过图形，分析法与综合法等证明基本不等式； c.数学运算：准确熟练运用基本不等式； d.直观想象：运用图像解释基本不等式； e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决；
教学重难点 1.教学重点：用基本不等式解决简单的最值问题 2.教学难点：用基本不等式解决简单的最值问题
课前准备 多媒体
教学 环节 时间 安排 教师活动 学生活动 设计 意图 批注
15min 33min 2分钟 情景引入，温故知新 1.不等式的基本性质有哪些？ 2.差的完全平方公式是什么？ 3.重要不等式是什么？ 4.你还能推出重要不等式是怎样有差的完全平方式得到的吗？ 二、探索新知 探究一、用基本不等式解决实际问题的最值问题 思考：如何应用基本不等式解决实际问题呢？ 答案：(1)已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值，可以转化为数学模型“如何正数x,y的和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值”解决. (2)已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，可以转化为数学模型“如何正数x,y的积xy等于定值P，那么当x=y时，积x+y有最大值”解决. 思考：用基本不等式解决实际问题的最值问题的步骤是什么？ 答案： 设出未知数x,y,根据已知条件， 列出关系式， 然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。 （注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”） 三、学以致用 题型一、已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值 例1．为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米．如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径．设AB＝x（单位：米），养殖区域EFGH的面积为S（单位：平方米）． （1）将S表示为x的函数，并写出函数的定义域； （2）当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值． 【详解】 解：（1）因为AB＝x，所以AD＝，EF＝x－2，FG＝－1， 所以S＝(x－2)(－1)＝102－－x， 因为0＜x≤20，0＜≤20，解得5≤x≤20， 所以S＝102－－x，定义域为[5，20]． （2）S＝102－－x≤102－2＝102－20， 当且仅当x＝10∈[5，20]时取等号， 答：当AB＝10米时，S取得最大值，最大值为102－20． 变式训练：某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的关系式为.已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. （1）试写出年利润W（万元）与年广告费x（万元）的关系式； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？ 【详解】 （1）由题意可得，产品的生产成本为万元，每万件销售价为：， ∴年销售收入为， ∴年利润 . （2）令，则 . ∵,∴，即， 当且仅当，即时，有最大值42，此时. 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元. 题型二、已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值 例2．已知蓄水池使用面积即矩形的面积为，共有三面侧壁（阴影部分）宽度均为，如图： （1）求侧壁面积的最小值. （2）求的最小值. 【详解】 （1）设AB为x，AD为y，则. 记侧壁面积为S,则 因为，由基本不等式可得：， 当且仅当时取等号. 即侧壁面积的最小值为. （2）由题意：，其中. 所以，其中. 以, 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 变式训练：如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. （1）若菜园面积为平方米，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小 （2）若使用的篱笆总长度为米，求的最小值. 【详解】 （1）由已知可得，而篱笆总长为； 又因为， 当且仅当时，即，时等号成立. 所以菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小； （2）由已知得， 所以， 当且仅当时取等号，即时等号成立. 所以的最小值是. 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、作业 课本48页习题2.2中的3. 综合运用中的6 让学生自由发言 让学生自由发言，教师引导学生进一步分析，研探.师生共同完成 整理笔记 学生思考，师生共同完成 学生独立完成 学生思考，师生共同完成 学生独立完成 学生总结反思今天学会了什么？ 复习内容是为本节服务 培养学生的自学能力，可有利于学生数学抽象思维能力的提高 通过例题让学生理解应用基本不等式解决实际问题的方法，并能达到灵活运用的目的 实践练习有利于学生更能深刻理解应用基本不等式解决实际问题的条件，解决实际问题的步骤 通过例题让学生理解应用基本不等式成立解决实际问题时“=”的条件，达到灵活运用的目的 通过练习，让学生熟练使用基本不等式 有利于培养学习的语言表达能力；逻辑思维能力