2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2 导数的概念及其几何意义 教案

第五章 一元函数的导数及其应用
5.1.2 导数的概念及其几何意义
教学设计
一、教学目标
1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景.
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.
3.根据导数的几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线方程.
二、教学重难点
1、教学重点
平均变化率的概念及求法、利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用.
2、教学难点
导数概念及其几何意义的理解和应用.
三、教学过程
1、新课导入
在上节课的学习中，我们研究了平均速度和瞬时速度的物理问题，以及割线斜率和切线斜率的几何问题，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，这节课我们就来探究一下平均变化率、导数的概念及其几何意义.
2、探索新知
一、平均变化率的概念
对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到. 这时，的变化量为，的变化量为. 我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率.
二、瞬时变化率（导数）的概念
如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即.
三、求函数在处的导数（瞬时变化率）
例1 设，求.
解：.
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第x h时，原油的温度（单位：）为. 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
解：在第 2h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是和.
根据导数的定义，
，
所以.
同理可得.
在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为与. 说明在第2 h附近，原油温度大约以的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以的速率上升. 一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况.
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度（单位：）为，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
解：在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是和.
根据导数的定义，
，
所以.
同理可得.
在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是与.说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少.
四、导数的几何意义
平均变化率表示割线的斜率.
如下图，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.
割线的斜率.
记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数. 因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即.这就是导数的几何意义.
例4 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象.根据图象，请描述、比较曲线在附近的变化情况.
解：我们用曲线在处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.
（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，.这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当时，曲线在处的切线的斜率.这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减.
（3）当时，曲线在处的切线的斜率.这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减.
从图中可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢.
例5 下图是人体血管中药物浓度（单位：）随时间t（单位：min）变化的函数图象，根据图象，估计，0.4，0.6，0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬吋变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率.
如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
作处的切线，并在切线上取两点，如，，则该切线的斜率，所以.
下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
t 0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率 0.4 0 -0.7 -1.4
五、导函数的概念
从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个唯一确定的数. 这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）.的导函数有时也记作，即.
3、课堂练习
1.已知函数，且，则m的值为( )
A.-4 B.2 C.-2 D.
答案：D
解析：，，，，解得.
2.若函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C. D.与的大小关系不能确定
答案：A
解析：，.由题意，得，所以.
3.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为，则曲线在点处的切线斜率，则切线方程为，即为.
4.已知函数的图像在和处的切线互相垂直，则______.
答案：
解析：根据导数定义可知，.
则，即，即，解得（舍去）.故答案为.
4、小结作业
小结：本节课学习了导数的概念及其几何意义.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.1.2 导数的概念及其几何意义
1.平均变化率的概念：对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到. 这时，的变化量为，的变化量为，把比值，即叫做函数从到的平均变化率.
2.瞬时变化率（导数）的概念：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即.
4.导数的几何意义：在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线，记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数. 因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即.这就是导数的几何意义.