吉林省长春第29高级中学2022届高三上学期第二次质量检测数学（理）试卷（Word版含答案）

长春29中高三第二次质量检测
理科数学试卷
答题时间：90 分钟 满分：150 分
一、选择题（每题5分，共60分）
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则ab等于( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
3.从4个男生、3个女生中随机抽取出3人，则抽取出的3人不全是男生的概率是( )
A. B. C. D.
4. 在等差数列中，为前项和，，则
A. B. C. D.
5.已知，，，则 ( )
A. B. C. D.
6.我市文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是( )
A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
7.设D为所在平面内一点，AC =3，BC ⊥ AC , ( )
A. -12 B.-24 C.12 D. 24
8.在 中，，.若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
9. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是( )
A.若，，则 B.若，，，则
C.若，，，则 D.若，，则
10.将函数的图象向右平移,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是 ( )
A.函数的图象关于点对称 B.函数的最小正周期为
C.函数的图象关于直线对称 D.函数在区间上单调递增
11. 函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
12.已知函数 ,则函数的值域为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（每题5分，共20分）
13.已知实数x，y满足约束条件则的最大值为________.
14.在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为________.
15.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是________.
16.已知抛物线，斜率为的直线l经过点，且与C交于A,B两点（其中A点在x轴上方）.若B点关于x轴的对称点为P，则△APB外接圆的标准式方程为_____________.
三、解答题（共70分）
17. （本题12分）已知等差数列满足,且是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,求数列的前n项和.
18. （本题12分）已知直三棱柱中，为正三角形，为的中点.点在棱上，且.
（1）求证：直线平面；
（2）求二面角的余弦值.
19、（本题12分）已知函数 的部分图象
如图所示.
(1).求函数 的解析式;
(2).在中,角A,B,C的对边分别是 ,若 ,
求 的取值范围.
20. （本题12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，过点作直线交椭圆C于M、N两点，△F1MN的周长为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为的直线l与椭圆相交于A,B两点，求定点与交点A,B所构成的三角形
△ PAB 面积的最大值.
21. （本题12分）设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）求使得在区间内恒成立的a的取值范围.
22. （本题10分）已知曲线 的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，四边形ABCD的顶点都在曲线上，点A的极坐标为，点A与C关于y轴对称，点D与C关于直线对称，点B与D关于x轴对称.
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为上任意一点，求点P到直线CD的距离d的取值范围.
答案
1—5 DBCAC 6—10 DACDD 11—12 AB
13.答案：
14.答案：
15.答案：60
16.答案：
17.答案：(1)设等差数列的公差为,因为,所以
又是和的等比中项,有
即,得,所以数列的通项公式
(2)
18.答案：（1）取中点，连接，
以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
，
∴，
设平面的法向量为，
∴，得，令，则，
∴，∵，∴，
∴直线平面；
（2），
设平面的法向量为，
∴，令，则，
∴，
设二面角的平面角为，
∴，
由图示可知二面角是锐角，
所以二面角的余弦值为.
19.答案：
(1). 由图象知 , , ,
将点 代入解析式得 ,
因为 ,
所以 ,
所以 .
(2). 由 ,得 ,
所以 , .
因为 ,
所以 ,
所以 , , ,
, , ,
所以 ,
所以 .
20.答案：解：（1）由题意的：，，，
橢圆C的方程为
（2）直线l的料率为，可设直线l的方程为
与椭圆C的方程联立可得：①
设A,B两点的坐标为，，由韦达定理得：
，
点P到直线l的距离，
由①知：，，
令，则，
令，则在上的最大值为
的最大值为
综上所述：三角形面积的最大值2
21.答案：（1）.
当时，，在内单调递减.
当时，由，有.
此时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
（2）方法一：令，.则.
而当时，，所以在区间内单调递增.
又由，有，从而当时，>0.
当，时，.
故当在区间内恒成立时，必有.
当时，.由（I）有,从而，
所以此时在区间内不恒成立.
当时，令，
当时，，
因此，在区间单调递增.
又因为，所以当时， ，即恒成立.
综上，
方法二：
原不等式等价于在上恒成立.
一方面，令
只需在上恒大于0即可
又，故在处必大于等于0.
令，，
可得.
另一方面，当时，
故，又，
故在时恒大于0
当时，在单调递增，
故也在单调递增.
，即在上恒大于0.
综上，.
22.答案：解：（1）由题知点A，C，D，B的极坐标分别为，，，，
所以点A，C，D，B的直角坐标分别为，，，.
（2）设是曲线上的任意一点，则（为参数），
因为C，D的直角坐标分别为，，
所以直线CD的直角坐标方程为，即，
所以，
因为，所以.