4.1正弦和余弦同步练习-2020-2021学年湘教版数学九年级上册（Word版 含答案）

正弦和余弦
一、单选题
1．在直角中，，，，则的为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为（ ）
A．4 B． C． D．
3．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若cosA，则锐角∠A为（　　）
A．30° B．15° C．45° D．60°
5．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
6．如图，四边形为矩形，点为边一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，且，的正弦值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
8．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，中，，，的值为，则（ ）
A． B． C． D．
11．在中，分别是的对边，如果，那么等于（ ）．
A． B． C． D．
12．当锐角的时，的值为（ ）
A．小于 B．小于 C．大于 D．大于
二、填空题
13．若∠A是锐角，且cosA＝，则（90°﹣A）＝_____．
14．如图，在中，，，，点是斜边上的动点且不与，重合，连接，点与点关于直线对称，连接，当垂直于的直角边时，的长为__．
15．如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，连接，则__________．
16．已知：如图，中，的面积等于9，则______．
17．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为 __________________．
三、解答题
18．在中，是边上的高，，求和．如果呢？
19．在中，，，，求的周长和面积．
20．如图，在中，，，，求的长．
21．如图，在中，，点D，E分别是边上的点，且．
（1）求证：；
（2）若，当时，求和．
22．如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、BC的中点，过点B作BF⊥AC于点F，BF与DE交于点G．
（1）求证：DE⊥BF；
（2）连结EF，若S△CEF＝S△BDG，求cos∠CEF的值．
参考答案
1．A
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝3，，
∴，
∴sinA＝，
故选：A．
2．C
解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝4，，
∴，
∵DE⊥AC，
∴，
∴，
∴∠ADE＝∠ECD＝α．
在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝，
即,
∴CE＝．
根据勾股定理得DE＝．
在Rt△AED中，cosα＝，
即，
∴AD＝．
故选：C．
3．A
解：由勾股定理得，，
则，
故选：A．
4．C
解：由cosA，则锐角∠A为45°，
故选：C．
5．C
解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．
6．A
解：如图，过点F作FP⊥AB于点P
由折叠的性质可得：AE=EF，∠AED=∠FED
∵BE=EF
∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF
∵∠BEF+2∠AED=∠BEF+2∠EBF=180゜
∴∠AED=∠EBF
∵四边形ABCD为矩形，PF⊥AB
∴∠A=∠FPB=90゜
∴△ADE∽△PFB
∴
∵在中，
∴设EF=25a，则PF=24a
由勾股定理求得
∴BP=BE－PE=18a
∴
∴
∴
故选：A．
7．B
解：设每个小正方形的边长为1，由网格构造直角三角形可得，AC2＝12＋32＝10，AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠C＝45°，
∴sinA＝sin45°＝．
故选：B．
8．C
解：连接，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴△BCD是直角三角形，，
∴．
故选：C．
9．C
解：在中，，
设，则，
则，
根据正弦的定义可得．
故选C
10．D
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
．
故选D．
11．A
解：如图，在Rt△ABC中，，
∵，
∴，
∴ ，
即．
故选：A
12．A
解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．
故选：A．
13．
解：如图，在中，cosA＝=，
故答案为：．
14．1或3
解：，，∠C=90°
，
，
①如图1中，当时，设直线交于，
由轴对称的性质可知，直线平分，
∴平分，
，
∵AC⊥BC，，
，
，
，
；
②当于时，同法可证，
综上所述，满足条件的的值为1或3．
故答案为：1或3．
15．
解：过作于，
由折叠的性质得：，，
点是的中点，，
，
，
又∵，
，，
∵，
，
∵，
，
，
∵，，，
∴，
，
故答案为：．
16．
解：过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC中，AB=9，△ABC的面积等于9，
∴ ×AB×CD=9，
∴CD=2，
∴sinB= .
故答案为：.
17．
解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，
∵BC＝，BD＝，
∴sin∠ACB＝，
故答案为：．
18．，；，
解：如图，当是边上的高，，
；
如图，当时，
同理可得：
19．的周长为60，面积为150
解：如图，，，，
解得： 经检验：符合题意；
20．120
解：在中，
∵，
即，
∴．
21．（1）证明见详解；（2）cosC=，．
解：证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，
∴∠ADE+∠EDC＝∠ABC+∠BAD，且∠ADE＝∠B，
∴∠EDC＝∠BAD且∠ABD＝∠DCE，
∴．
解：（2）∵AB=AC=20,，AD⊥BC，
∴BD=CD=BC=16，
在Rt△ADC中，cosC=，
∵，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DAC+∠ADE=90°，
∴∠AED=180°-（∠DAC+∠ADE）=90°，
在Rt△CDE中，cosC=
∴．
22．（1）见解析；（2）
解：（1）∵点D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠DGB＝∠AFB．
∵BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠BFC＝90°．
∴∠DGB＝90°，
∴DE⊥BF．
（2）∵∠BFC＝90°，点E是BC的中点，
∴EF＝BE＝EC，
∴∠EFC＝∠C．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∴∠CEF＝180°﹣2∠C＝∠BAC．
∵，点D是AB的中点，
∴△BDG∽△BAF，
∴
∵点E是BC的中点，
∴S△BFC＝2S△CEF，
∵S△CEF＝，
∴．
∴S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝S△ABF+2S△CEF＝S△CEF．
∴＝＝．
在中，．