4.4解直角三角形的应用 同步练习 2020-2021学年湘教版九年级数学上册（word版含解析）

解直角三角形的应用
一、单选题
1．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．18米 D．21米
2．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i ＝1：0.75，坡长BC＝25米，则此时AB 的长约为（ ）（参考数据：sin40°≈ 0.64，cos40° ≈ 0.77，tan40°≈ 0.84）
A．10.4 米 B．12.4 米 C．27.4 米 D．22.4 米
3．知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C地表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地，导航显示车辆应沿北偏东方向行驶至B地，再沿北偏西方向行驶一段距离才能到达C地，则B，C两地的距离为（ ）．（结果保留根号，参考数据：，，）
A． B． C． D．
4．重庆朝天门码头位于重庆市渝中半岛的嘉陵江与长江交汇处，是重庆最古老的码头．如图，小王在码头某点E处测得朝天门广场上的某高楼AB的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度为1：2.4的斜坡EC走了26米到达坡顶C处，到C处后继续朝高楼AB的方向前行18米到D处，在D处测得A的仰角为74°，则此时小王距高楼的距离BD为（ ）米．（结果精确到1米，参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）
A．12 B．13 C．15 D．16
5．如图，为了测量某建筑物BC的高度，某数学兴趣小组采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，先沿斜坡AD行走390米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行一定距离后至点E处，在E点处测得该建筑物顶端C的仰角为68°，建筑物底端B的俯角为57°，其中A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4，根据数学兴趣小组的测量数据，计算得出建筑物BC的高度约为（　　）（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，tan68°≈2.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）
A．241.6米 B．391.6米 C．422.9米 D．572.9米
6．图1是某公园的一个滑梯，图2是其示意图．滑梯的高BC为2m，坡角∠A为60°，由于滑梯坡角过大存在安全隐忠，公园管理局决定对滑梯进行整改，要在高度不变的前提下，通过加长滑梯的水平距离AB，使得坡角∠A满足30°≤∠A≤45°，则AB加长的距离可以是（　　）
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．0.8m B．1.6m C．2.4m D．3.2m
7．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
10．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，则点D到地面的距离CD是（ ）
A．（1.7＋5tanα）米 B．（1.7＋）米
C．（1.7＋5sinα）米 D．（1.7＋）米
11．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（ ）
A．米 B．3米 C．米 D．米
12．如图，线段AB表示一信号塔，DE表示一斜坡，DC⊥CE．且B、C、E三点在同一水平线上，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡DE的坡比为1：2，CE＝72米．某人站在坡顶D处测得塔顶A点的仰角为37°，站在坡底C处测得塔顶A点的仰角为48°（人的身高忽略不计），则信号塔的高度AB为（　　）（结果精确到1米）
（参考数据：sin37°，tan37°，sin48°，tan48°）
A．77 B．62 C．109 D．113
二、填空题
13．如图，一艘船从A向北偏东30°的方向行驶10千米到达B处，再从B处向正西方向行驶20千米到达C处，这时这艘船与A的距离为_______千米．
14．如图所示，CD、EF表示高度不同的两座建筑物，已知CD高15米，小明站在A处，视线越过CD，能看到它后面的建筑物的顶端E，此时小明的视角∠FAE＝45°，为了能看到建筑物EF上点M的位置，小明沿直线FA由点A移动到点N的位置，此时小明的视角∠FNM＝30°，则小明由点A移动到点N的距离是___米．
15．如图，小石同学在A，B两点分别测得某建筑物上条幅两端C，D两点的仰角均为60°，若点O，A，B在同一直线上，A，B两点间距离为3米，则条幅的高CD为______米．
16．如图，新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，某同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时这位同学一共走的距离为______米．
17．一颗珍贵的百年老树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，做法如下：在地面上选取一点，测得，米，，则这棵树的高约为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
三、解答题
18．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A，B，C，测得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8千米，求A，B两点间的距离．（结果保留根号）
19．如图，某人从山脚下的点A走了后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为，求山的坡度（，结果精确到0.001）．
20．如图，一艘货轮以的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行后到达C处，发现灯塔B在它北偏东方向，求此时货轮与灯塔B的距离（结果精确到）．
21．如图，燕尾槽的横截面是梯形，其中，燕尾角，外口宽，燕尾槽深度是，求它的里口宽（结果精确到; sin55°=0.82,cos55°=0.57,tan55°=1.43）．
22．如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2，图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE=30cm，后支撑板EC=40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC=53°．（参考数据：）
（1）如图2，当支撑点E在水平线BC上时，求支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长；
（2）如图3，当座板DE与地平面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量.
参考答案
1．C
解：∵BC=9米，迎水坡AB的坡比为1：，
∴，
解得，AC=9，
∴AB==18，
故选：C．
2．A
解：如图，延长交延长线于点，作于点，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
设、，
由可得，，
解得：或（舍去），
则，，
，
在中，，
，
故选：A．
3．C
解：如图所示，作BD⊥AC于D点，则∠ADB=∠CDB=90°，
则由题意可知，∠A=60°，∠ABD=30°，∠CBD=53°，
在Rt△ABD中，设，则，
∴，
在Rt△CBD中，，
即：，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，
∵，
∴，
即：，
故选：C．
4．B
解：过E作EH⊥AB交AB的延长线于H，
过C作CG⊥EH于G，
则CG＝BH，BC＝GH，
∵CE＝26，＝1：2.4，
∴CG＝10，EG＝24，
∴BH＝CG＝10，
设BD＝x，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝74°，
∴AB＝tan74° x≈3.49x，
∴AH＝AB+BH＝3.49x+10，
∵EH＝EG+GH＝24+18+x，
∵∠AEH＝45°，
∴AH＝EH，
∴3.49x+10＝24+18+x，
解得：x≈13，
∴BD＝13（米），
答：小王距高楼的距离BD为13米．
故选：B．
5．B
解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
在Rt△ADH中，AD＝390米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝150（米），
∵四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH＝150米，
在Rt△EFB中，tan57°＝，
∴EF＝，
在Rt△EFC中，FC＝EF tan68°，
∴CF≈×2.48≈241.6（米），
∴BC＝BF+CF＝391.6米．
故选：B．
6．B
解：如图，在Rt△ABC，∠CAB＝60°，BC＝2，
∴AB＝＝＝，
当坡角为45°时，有BD＝BC＝2，
∴DA＝2﹣AB＝2﹣≈0.85（m），
当坡角为30°时，有BE＝＝（m），
∴EA＝BE﹣AB＝2﹣≈2.31（m），
当坡角满足30°≤∠A≤45°，
∴AB加长的距离x的取值范围为0.85≤x≤2.31，
故选：B．
7．A
解：在Rt△ABC中，
,
即，
故选：A．
8．A
解：过点A作，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
9．D
解：
，
．
故选D．
10．A
解：在直角△ADE中，∠DAE=α，AE=5米，
∴，
∴DE=5tanα．
又CE=AB=1.7米，
∴CD=CE+DE=（1.7+5tanα）米．
故选：A．
11．D
解：在中，，
（米，
在中，，
（米，
米，
故选：D．
12．D
解：作DF⊥AB于点F，
∵斜坡DE的坡比为1：2，CE＝72米，
∴，
∴CD＝36米，
∵DC⊥BC，FB⊥BC，DF⊥AB，
∴四边形BCDF是矩形，
∴DC＝BF＝36米，BC＝DF，
∵∠ADF＝37°，∠ACB＝48°，tan∠ADF，tan∠ACB，
tan37°，tan48°，
∴，，
解得AF≈77，
∴AB＝AF+BF＝77+36＝113（米），
故选：D．
13．10
解：如图，
∵BC⊥AE，
∴∠AEB=90°，
∵∠EAB=30°，AB=10千米，
∴BE=5米，AE=5千米，
∴CE=BC-BE=20-5=15（千米），
∴AC= （千米），
故答案为：10．
14．
解：直角三角形中，米，
直角三角形中，米，
因此，米，
故答案是：．
15．
解：由题意可得，
∠CAO＝∠DBO＝60°，∠COA＝∠DOB＝90°，
∵tan∠CAO＝，tan∠DBO＝，
∴tan60°＝，tan60°＝，
∴OC＝OA，（OA＋3）＝OC＋CD，
∴（OA＋3）＝OA＋CD，
解得CD＝3，
故答案为：3．
16．．
解：过P作PC⊥AB于C，
∵新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，
∴∠A=45°
∴∠CPA=90°-∠A=45°，
∴PC=AC，
设AC=PC=x，
∵PA=60米
∴AC=PC=PAcos45°=60，
∵综合楼B处在教学楼北偏东30°方向，
∴∠B=30°，
∴PB=2PC=，
在Rt△BCP中，BC=PBcos30°，
∴AB=BC+AC米．
故答案为：．
17．
解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，
设 米，
∵，∠BHC=90°，
∴ ，
∵，
∴∠ABH=45°，
∴∠ABH=∠BAC，
∴AH=BH=x，
∵米，
∴ ，解得： ，
∴AH=BH=12
∴ （米）．
故答案为： ．
18．A、B两点间的距离约为（4+4）千米．
解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．
在Rt△ACD中，AC=8（千米），∠CAD=30°，∠CDA=90°，
∴CD=AC sin∠CAD=4（千米），AD=AC cos∠CAD=4（千米）．
在Rt△BCD中，CD=4（千米），∠BDC=90°，∠CBD=45°，
∴∠BCD=45°，
∴BD=CD=4（千米），
∴AB=AD+BD=4+4（千米）．
答：A、B两点间的距离约为（4+4）千米．
19．0.286
解：由题意得：m，m，
所以山坡的坡度约为
20．
解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D，
∵一艘货轮以36km/h的速度在海面上航行，向北航行40min后到达C点，
∴AC＝36×40÷60＝24（km），
∵∠A＝45°，∠BCN＝75°，
∴∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，∠B＝30°，
则DC＝ACsin45°＝12 （km），
故BC＝2CD＝24≈33.94（km）．
答：此时货轮与灯塔B的距离约为33.94km．
21．
解：过点A作AE⊥BC于点E，
在直角△ABE中，tan∠ABE= ，
∴BE= = ≈49.0mm，
∴BC=AD+2BE=180+2×49.0=278mm．
答：里口宽BC是278mm．
22．（1）BE的长为36cm；（2）变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．
解：（1）如图1，过点D作DF⊥BE于点F，
由题意知BD=DE=30cm，
∴BF=BDcos∠ABC=30×=18（cm），
∴BE=2BF=36（cm）；
答：BE的长为36cm；
（2）如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，
由题意知四边形DENM是矩形，
∴MN=DE=30cm，
在Rt△DBM中，BM=BDcos∠ABC=30×=18（cm），
EN=DM=BDsin∠ABC=30×=24（cm），
在Rt△CEN中，CE=40cm，
∴由勾股定理可得CN==32（cm），
则BC=18+30+32=80（cm），
原来BC=36+40=76（cm），
80-76=4（cm），
∴变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．
．