(共45张PPT)
内容索引
01
02
课前篇 自主预习
课堂篇 探究学习
学习目标 思维导图
1.知道振幅、周期和频率的概念,了解固有周期和固有频率。(物理观念)
2.掌握简谐运动图像的物理意义和应用。(科学思维)
3.掌握简谐运动的公式,了解相位的概念。(物理观念)
课前篇 自主预习
自主阅读
一、振动特征的描述
1.振幅
(1)定义:振动物体离开平衡位置的最大距离。
(2)物理意义:表示振动强弱的物理量,如声音大小是由发声体振动的振幅决定,振幅越大,发出的声音越大。
(3)矢标性:振幅是标量。
2.全振动
振动物体从某个状态经过一段时间重新回到原来状态(速度、位移不变),我们就说物体完成了一次全振动。
3.周期和频率
(1)周期:物体完成一次全振动所经历的时间。
(2)频率:在一段时间内,物体完成全振动的次数与这段时间之比。单位是赫兹,符号为Hz。
(3)固有周期(或固有频率):物体仅在回复力作用下的振动周期(或频率),称为固有周期(或固有频率)。与振幅的大小无关,只由振动系统本身的性质决定。
(4)物理意义:周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量,周期越短,频率越高,表明物体振动越快。
二、简谐运动的位移图像(振动图像)
横轴纵轴 横轴表示物体运动的时间,纵轴表示物体运动过程中相对
平衡位置的位移
图像意义 做简谐运动的物体相对于平衡位置的位移随时间的变化图像
图像形状 一条正弦(或余弦)曲线
图像信息 图像上可表示出振幅和周期。还可表示出任一时刻的位移大小和方向
三、简谐运动的位移公式
(1)若用x表示振动物体相对于平衡位置的位移,t表示振动时间,A表示振幅,ω表示角速度(或圆频率),则简谐运动的位移公式一般为x= Asin ωt。
自我检测
1.正误判断
(1)周期与频率仅仅是简谐运动特有的概念。( )
解析 描述任何周期性过程都可以用这两个概念。
答案 ×
(2)振幅随时间做周期性变化。( )
答案 ×
(3)物体两次通过平衡位置的时间差称为周期。( )
答案 ×
(4)振动图像上可以表示出振幅和周期。( )
答案 √
(5)振动图像是振子的运动轨迹。( )
解析 振动图像是振子相对平衡位置的位移随时间变化的图像,不是运动轨迹。
答案 ×
2.弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动,BC相距10 cm,某时刻振子处于B点,经过0.2 s,振子首次到达C点。则振子的振幅
A= cm;振子的周期T= s,频率f= Hz。
解析 根据振幅的定义,有2A=BC=10 cm,所以A=5 cm。从B首次到C的时间为周期的一半,因此T=2t=0.4 s;再根据周期和频率的关系可得f= =2.5 Hz。
答案 5 0.4 2.5
课堂篇 探究学习
探究一
描述简谐运动的物理量及其关系的理解
情境探究
将弹簧上端固定,下端悬吊钢球,旁边立一刻度尺,把钢球从平衡位置向下拉一段距离A,放手让其运动。仔细观察钢球的运动:
(1)钢球的位移怎么变化
(2)钢球偏离平衡位置的最大距离改变吗
要点提示 (1)钢球相对于平衡位置的位移随时间时大时小,呈周期性变化。
(2)不变。
知识归纳
1.对全振动的理解
(1)振动过程:如图所示,从O点开始,一次全振动的完整过程为O→A→O→A'→O;从A点开始,一次全振动的完整过程为A→O→A'→O→A。
(2)物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征:历时一个周期。
(4)路程特征:振幅的4倍。
2.简谐运动中振幅与几个物理量的关系
(1)振幅与位移的关系
①在同一简谐运动中振幅是不变的,而位移却时刻变化。
②振幅是标量,位移是矢量,其方向是由平衡位置指向振动物体所在位置。
③振幅在数值上等于位移的最大值。
(2)振幅与路程的关系
①振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅;
②在半个周期内的路程一定为两个振幅;
③振动物体在 T内的路程可能等于一个振幅,可能大于一个振幅,还可能小于一个振幅;
④只有当 T的初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处, T内的路程才等于一个振幅。
3.振幅与周期的关系
在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关,振幅越大,振动过程中的最大位移越大,但周期为定值。
振幅大,振动物体的位移不一定大,但其最大位移一定大。
典例剖析
例题1一个做简谐运动的质点,它的振幅是4 cm,频率是2.5 Hz,该质点从平衡位置开始经过2.5 s后,位移的大小和经过的路程为( )
A.4 cm,10 cm B.4 cm,100 cm
C.0,24 cm D.0,100 cm
答案 B
规律方法 做简谐运动的物体的路程s与振幅A的关系
(1)物体无论从何位置开始计时,经过t=nT(n为正整数,T为周期)内的路程s=4nA。
变式训练1周期为2 s的简谐运动,在30 s内通过的路程是60 cm,则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为 次, cm。
解析 振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置两次(除最大位移外),而每次全振动振子通过的路程为4个振幅。
答案 30 1
探究二
简谐运动的振动图像和位移公式
情境探究
右图为一做简谐运动质点的振动图像,则:
(1)通过图像可以得到哪些物理量
(2)能否用简谐运动表达式表示x与t的变化关系
要点提示 (1)根据图像可以直接得出振幅、周期、振动物体在各个时刻的位移等。
知识归纳
一、简谐运动的振动图像
1.形状:正弦曲线。
2.物理意义:表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移,是位移随时间的变化规律。
3.获取信息
(1)任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。
(2)任意时刻质点的振动方向:看下一时刻质点的位置,如图乙中A点,下一时刻离平衡位置更远,故A点此刻向上振动。
(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断:先判断质点在这段时间内的振动方向,从而确定各物理量的变化。如图甲所示,质点在t1时刻到t0时刻这段时间内,离平衡位置的位移变小,故质点正向平衡位置运动,速度增大,位移和加速度都变小。
(4)根据图像信息写出位移表达式。
弹簧振子的轨迹是一条线段,振动图像是正弦曲线。
二、简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ0)
1.理解:(1)x表示振动质点相对于平衡位置的位移。
(2)A表示振幅,描述简谐运动的振动强弱。
(3)ω表示圆频率,它与周期、频率的关系为ω= =2πf。可见ω、T、f描述的都是振动的快慢。
(4)φ0称为初相位或初相。
2.获取信息:
(1)从表达式中可得知振幅A、周期T、频率f、初相位φ0。
(2)若已知t,则x的大小和方向可求。
(3)根据位移公式可以画出振动图像。
三、两种描述方法的比较
(1)振动图像直观形象地描述了振动物体的位移随时间的变化规律,而位移公式是通过函数式的形式反映位移变化规律。
(2)图像和公式对同一简谐运动的描述是一致的。二者之间可以相互转化,即根据图像(或公式)求出(或画出)公式(或图像)。
典例剖析
例题2A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。
请根据图像写出:
(1)A的振幅是 cm,周期是 s;B的振幅是 cm,周期是 s。
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
(3)求在t=0.05 s时两质点的位移。
解析 (1)由题图知,A的振幅是0.5 cm,周期是0.4 s;B的振幅是0.2 cm,周期是0.8 s。
变式训练2某质点的振动方程为x=5sin(2.5πt+ )cm,画出该质点的振动图像。
解析 由题意知,振幅A=5 cm,周期T= s=0.8 s。当t=0时,x=5 cm,由此可作出图像如图所示。
答案 见解析
探究三
简谐运动的对称性、周期性
情境探究
如图所示,物体在A、B之间做简谐运动,O点为平衡位置,C、D两点关于O点对称,周期为T。
(1)物体经过C、D两点时的位移有什么特点
(2)物体经过C、D两点时的速度、加速度有什么特点
(3)物体经C点开始,再过T、2T时间,物体的位置、速度有何变化
要点提示 (1)C、D两点的位移大小相等、方向相反。
(2)经过C、D两点时速度大小相等,加速度大小相等、方向相反。
(3)回到C点,速度不变。
知识归纳
1.对称性
对称性是做简谐运动的物体在相对于平衡位置对称的位置上回复力、位移、加速度都等值反向,速率、动能与势能都分别相等,振动物体通过平衡位置两侧的两段对称路径上的时间相等,物体通过平衡位置一侧的一段路径的往返时间也相等。
2.周期性
简谐运动是一种往复的周期性运动,按其周期性可作如下判断:
(1)若t2-t1=nT,n=1,2,3,…,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况完全相同。
把握住对称关系和周期性是解决简谐运动问题的重要手段。
典例剖析
例题3质量为m1和m2两物块用轻弹簧相连,将它们竖立在水平面上,如图所示。现在用竖直向下的压力压m1,使它们处于静止状态。突然撤去压力,当m1上升到最高点时,m2对地压力恰好为零。则系统静止时竖直向下压力大小等于多少
解析 当m1运动到最高点时,m2对地压力恰好为零,则此时弹簧处于伸长状态,弹力大小为m2g。m1的加速度am= ;根据简谐运动对称性可知,突然撤去压力时m1向上的加速度也是am= ;则压力F=m1am=(m1+m2)g。
答案 (m1+m2)g
规律方法 应用简谐运动的对称性、周期性特征求解问题:首先要确定对称点,认识到在对称点时速度大小相等、加速度大小相等、回复力大小相等,最后根据题目要求来确定所要求的物理量;同时要注意物体做简谐运动的周期性,避免漏解。
当堂检测
1.如图所示,弹簧振子以O为平衡位置在B、C间振动,则( )
A.从B→O→C为一次全振动
B.从O→B→O→C为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.从D→C→O→B→O为一次全振动
解析 从全振动中路程与振幅间的固定关系上解决本题。A项对应的路程是振幅的2倍,B项所述路程为振幅的3倍,C项所述路程为振幅的4倍,D项对应的路程大于3倍振幅而小于4倍振幅。
答案 C
2.在1 min内甲振动30次,乙振动75次,则( )
A.甲的周期为0.5 s,乙的周期为1.25 s
B.甲的周期为0.8 s,乙的周期为2 s
C.甲的频率为0.5 Hz,乙的频率为1.25 Hz
D.甲的频率为0.5 Hz,乙的频率为0.8 Hz
答案 C
3.(多选)一做简谐运动的物体的振动图像如图所示,下列说法正确的是( )
A.振动周期是2×10-2 s
B.第2个10-2 s内物体的位移变化量是-10 cm
C.物体的振动频率为25 Hz
D.物体的振幅是10 cm
解析 周期是完成一次全振动所用的时间,所以周期是4×10-2 s,故选项A错误;又f= ,所以f=25 Hz,则选项C正确;振动物体离开平衡位置的最大距离表示振幅,所以振幅A=10 cm,则选项D正确;第2个10-2 s内的初位置是10 cm,末位置是0,位移变化量x=x2-x1=-10 cm,选项B正确。
答案 BCD
4.一物体沿x轴做简谐运动,振幅为8 cm,频率为0.5 Hz,在t=0时位移是4 cm,且向x轴负向运动,试写出用正弦函数表示的振动方程。
根据题意A=0.08 m,ω=2πf=π rad/s,
所以x=0.08sin(πt+φ) m,
将t=0时,x=0.04 m代入得0.04=0.08sin φ,第2章机械振动
第2节 振动的描述
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是( )
A.振幅是矢量,方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加,周期必然增加,而频率减小
D.做简谐运动的物体,其频率固定,与振幅无关
解析振幅是标量,故选项A错误;周期和频率互为倒数,即T=,故选项B正确;简谐运动的周期、频率由系统本身决定,与振幅没有关系,故选项C错误,D正确。
答案BD
2.有一个在光滑水平面内的弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动,第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A.1∶1,1∶1 B.1∶1,1∶2
C.1∶4,1∶4 D.1∶2,1∶2
解析弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离,即振幅,故振幅之比为1∶2。而对同一振动系统,其周期由振动系统自身的性质决定,与振幅无关,则周期之比为1∶1,选项B正确。
答案B
3.
如图所示,弹簧振子在BC间振动,O为平衡位置,BO=OC=5 cm,若振子从B到C的运动时间是1 s,则下列说法正确的是( )
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1 s,振幅是10 cm
C.经过两次全振动,振子通过的路程是20 cm
D.从B开始经过3 s,振子通过的路程是30 cm
解析振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期 T=2×1 s=2 s,振幅A=BO=5 cm。弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A=20 cm,所以两次全振动中通过路程为40 cm,3 s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30 cm。
答案D
4.一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1sin(2.5πt),位移y的单位为m,时间t的单位为s。则( )
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为1.25 s
C.在t=0.2 s时,振子的运动速度为零
D.在任意0.2 s时间内,振子的位移均为0.1 m
解析由y=0.1sin(2.5πt)知,弹簧振子的振幅为0.1 m,选项A错误;弹簧振子的周期为T= s=0.8 s,选项B错误;在t=0.2 s时,y=0.1 m,即振子到达最高点,此时振子的运动速度为零,选项C正确;只有当振子从平衡位置或者从最大位移处开始计时时,经过0.2 s,振子的位移才为A=0.1 m,选项D错误。
答案C
5.弹簧振子做简谐运动,振子运动范围为0.8 cm,周期为0.5 s,计时开始时具有正向最大加速度,则它的振动方程是 。
解析振子运动范围为0.8 cm,所以2A=0.8 cm,振幅A=0.4 cm,周期为0.5 s,所以ω==4π rad/s,而初始时刻具有正向最大加速度,即在波谷位置,综上可得:x=4×10-3sin4πt-(m)。
答案x=4×10-3sin4πt-(m)
6.如图所示是某质点做简谐运动的图像,根据图像中的信息,回答下列问题:
(1)质点离开平衡位置的最大距离为 cm。
(2)质点在第2 s末的位移大小为 cm。在前4 s内的路程为 cm。
解析由题干图像上的信息,可得出以下结论:
(1)质点离开平衡位置的最大距离就是x的最大值10 cm。
(2)2 s时质点在平衡位置,因此位移为零。质点在前4 s内完成一个周期性运动,其路程为10×4 cm=40 cm。
答案(1)10 (2)0 40
关键能力提升练
7.一质点做简谐运动,从平衡位置运动到最远点需要周期,则从平衡位置走过该距离的一半所需时间为( )
A.周期 B.周期
C.周期 D.周期
解析由简谐运动的表达式有A=Asint,得t=,t=,选项D正确。
答案D
8.(多选)一质点做简谐运动,其对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图所示,由此可知( )
A.质点振动的振幅是2 cm
B.质点振动的频率是4 Hz
C.t=2 s时质点的速度最大,且方向向下
D.在0~5 s内,质点的路程为5 cm
解析由平衡位置的位移x随时间t变化的图像可知,振幅A=2 cm,周期T=4 s,即频率f==0.25 Hz,选项A对,选项B错。t=2 s时质点在平衡位置,速度最大,t=3 s时质点到达最低点,可判断t=2 s时质点向下运动,选项C对。在0~5 s内,质点通过的路程为10 cm,选项D错。
答案AC
9.一个做简谐运动的弹簧振子,周期为T,振幅为A,设振子第一次从平衡位置运动到x=处所经历的时间为t1,第一次从最大位移处运动到x=所经历的时间为t2,关于t1与t2,以下说法正确的是( )
A.t1=t2 B.t1C.t1>t2 D.无法判断
解析画出x-t图像,从图像上我们可以很直观地看出t1答案B
10.用余弦函数描述一简谐运动,已知振幅为A,周期为T,初相φ=-π,则振动曲线是( )
解析根据题意可以写出振动表达式为x=Acos(ωt+φ)=Acost-,故选项A正确。
答案A
11.一弹簧振子做简谐运动,周期为T。则下列说法正确的是( )
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反,则Δt一定等于的整数倍
B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
C.若Δt=,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
D.若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的速度一定相等
解析若Δt=或Δt=nT-(n=1,2,3,…),则在t和(t+Δt)两时刻振子必在关于平衡位置对称的两位置(包括平衡位置),这两时刻,振子的位移、速度等均大小相等、方向相反,但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等 [只有当振子在t和(t+Δt)两时刻均在平衡位置时,弹簧长度才相等]。反过来,若在t和(t+Δt)两时刻振子的位移和速度均大小相等、方向相反,则Δt一定等于的奇数倍,即Δt=(2n-1)(n=1,2,3,…)。如果仅仅是振子的速度在t和(t+Δt)两时刻大小相等、方向相反,那么不能得出Δt=(2n-1),更不能得出Δt=n(n=1,2,3,…)。根据以上分析,选项A、C错误。若t和(t+Δt)两时刻,振子的位移、速度等均相同,则Δt=nT(n=1,2,3,…),但仅仅根据两时刻振子的位移相同,不能得出Δt=nT,所以选项B错误。若Δt=nT,在t和(t+Δt)两时刻,振子的位移、速度等均大小相等、方向相同,选项D正确。
答案D
12.甲、乙两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动的情况。
(1)甲开始观察时,振子正好在平衡位置并向下运动,已知经过1 s后,振子第一次回到平衡位置,振子振幅为5 cm,试画出甲观察到的弹簧振子的振动图像;
(2)乙在甲观察3.5 s后,开始观察并计时,试画出乙观察到的弹簧振子的振动图像。(画振动图像时,取向上为正方向)
解析(1)由题意知,A=5 cm,=1 s,则T=2 s。甲开始计时时,振子正好在平衡位置并向下运动,即t甲=0时,x甲=0,振动方向向下,故φ=π,则甲观察到弹簧振子的振动表达式为x甲=5sin(πt+π) cm,据此可画出甲观察到的弹簧振子的振动图像,如图甲所示。
(2)乙在甲观察3.5 s后才开始观察并计时,因此t甲=3.5 s时刻对应着t乙=0时刻。由x甲=5sin(πt+π) cm得出:t甲=3.5 s时,x甲=5sin(3.5π+π) cm=5sin cm=5 cm,故φ乙=。乙观察到的弹簧振子的振动表达式为x乙=5sin cm,据此表达式可画出乙观察到的弹簧振子振动图像如图乙所示。
答案见解析
13.如图甲所示,轻弹簧上端固定,下端系一质量为m=1 kg 的小球,小球静止时弹簧伸长量为10 cm。现使小球在竖直方向上做简谐运动,从小球在最低点释放时开始计时,小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2。
(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式;
(2)求出小球在0~12.9 s内运动的总路程和12.9 s时刻的位置;
(3)求小球运动到最高点时加速度的大小。
解析(1)由振动图像可知:A=5 cm,T=1.2 s,则ω= rad/s
小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式:
y=Acos ωt=5cost(cm)。
(2)12.9 s=T,则小球在0~12.9 s内运动的总路程为43A=215 cm;12.9 s时刻的位置:y=0,即在平衡位置。
(3)小球在平衡位置时弹簧伸长量为10 cm,则:k= N/m=100 N/m
小球在最高点时,弹簧伸长5 cm,则mg-kΔx'=ma
解得a=5 m/s2。
答案(1)y=5cost(cm) (2)215 cm 平衡位置
(3)5 m/s2
14.
一轻质弹簧直立在地面上,其劲度系数为k=400 N/m,弹簧的上端与盒子A连接在一起,盒子内装物体B,B的上、下表面恰与盒子接触,如图所示。A和B的质量mA=mB=1 kg,g取10 m/s2,不计阻力。先将A向上抬高使弹簧伸长5 cm后从静止释放,A和B一起做上下方向的简谐运动。已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小,试求:
(1)盒子A的振幅;
(2)物体B的最大速率;
(3)当A、B的位移为正的最大和负的最大时,A对B的作用力的大小。
解析(1)振子在平衡位置时,所受合力为零,设此时弹簧被压缩Δx,则kΔx=(mA+mB)g,Δx=g=5 cm。
开始释放时振子处在最大位移处,故振幅
A=5 cm+5 cm=10 cm。
(2)由于开始时弹簧的伸长量恰好等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量,故弹性势能相等,设振子的最大速率为v,物体B从开始运动到达到平衡位置,应用机械能守恒定律,得mBgA=mBv2,v==1.4 m/s。
(3)在最高点,振子受到的重力和弹力方向相同,由牛顿第二定律得(mA+mB)a1=kΔx+(mA+mB)g,
a1=20 m/s2,方向向下,A对B的作用力方向向下,且F1+mBg=mBa1,得F1=mB(a1-g)=10 N;
在最低点由简谐运动的对称性得a2=20 m/s2,方向向上,A对B的作用力方向向上,且F2-mBg=mBa2,得F2=mB(g+a2)=30 N。
答案(1)10 cm (2)1.4 m/s (3)10 N 30 N
