【精品解析】高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2020高二上·临沂期中）椭圆 的焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．（2019高二上·淄博月考）已知椭圆 的一条弦所在的直线方程是 弦的中点坐标是 则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2019高二上·青岛月考）双曲线 的一条渐近线的方程为 ，则 （　　）
A．3 B． C．4 D．16
4．（2019高二上·桂林期末）焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（　　）
A．y2=-4x B．y2=4x C．x2=-4y D．x2=4y
5．（2020高二上·临沂期中）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点P是C的右支上一点，连接 与y轴交于点M，若 （O为坐标原点）， ，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2018高二上·河北月考）已知直线 经过椭圆 的左焦点F1，且与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N，F2是椭圆的右焦点，且|MN|=|MF2|，则椭圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2019高二上·菏泽期中）已知方程 表示的曲线是焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围（　　）
A． B．
C． D．
8．（2018高二上·怀化期中）将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 同时增加 个单位长度，得到离心率为 的双曲线 ，则（　　）
A．对任意的 ，
B．当 时， ；当 时，
C．对任意的 ，
D．当 时， ；当 时，
二、多选题
9．（2020高二上·济南期末）关于双曲线 与双曲线 下列说法正确的是（　　）
A．它们的实轴长相等 B．它们的渐近线相同
C．它们的离心率相等 D．它们的焦距相等
10．（2020高二上·黄岛期中）已知椭圆 ： ，关于椭圆 下述正确的是（　　）
A．椭圆 的长轴长为
B．椭圆 的两个焦点分别为 和
C．椭圆 的离心率等于
D．若过椭圆 的焦点且与长轴垂直的直线 与椭圆 交于 ，则
11．（2019高二上·淄博月考）已知双曲线 ，右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，若 ，则有（　　）
A．渐近线方程为 B．
C． D．渐近线方程为
12．（2020高二上·山东月考）如图， ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点， 是圆 ： 上一动点，线段 的垂直平分线与直线 的交点 恰好在双曲线 上，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．双曲线 的离心率为
C．焦点 到双曲线 的渐近线距离为4
D． 内切圆圆心的横坐标为3或
三、填空题
13．（2020高二上·临沂期末）已知点 是抛物线 的焦点，点 ， 分别是抛物线上位于第一 四象限的点，若 ，则 　 　.
14．（2019高二上·淄博月考）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，其中 也是抛物线 的焦点， 与 在一象限的公共点为 ，若直线 斜率为 ，则双曲线离心率 为　 　．
15．（2019高二上·青岛月考） 是椭圆 的右焦点， 是椭圆上的动点， 为定点，则 的最小值为　 　.
16．（2019高二上·宁波期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，动弦 过左焦点 .若 恒成立，则椭圆 的离心率的取值范围是　 　.
四、解答题
17．（2018高二上·梅河口期末）已知抛物线 与直线 相交于 两点.
（1）求证： ；
（2）当S△OAB=时，求 的值.
18．（2017高二上·佳木斯月考）已知椭圆 ，直线 .
（1）若 与椭圆有一个公共点，求 的值；
（2）若 与椭圆相交于 两点，且 等于椭圆的短轴长，求 的值.
19．（2017高二上·佳木斯月考）已知抛物线 ， 为抛物线上一点， 为 关于 轴对称的点， 为坐标原点.
（1）若 的面积为2，求点 的坐标；
（2）若过满足（1）中的点 作直线交 抛物线 于 两点，且斜率分别为 ，且 ，求证：直线 过定点，并求出该定点坐标.
20．（2017高二上·哈尔滨月考）已知过点 的动直线 与抛物线 ： 相交于 两点．当直线 的斜率是 时， .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设线段 的中垂线在 轴上的截距为 ，求 的取值范围．
21．（2015高二上·菏泽期末）已知椭圆 （a＞0，b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2 ，离心率为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在同时满足①②两个条件的直线l？
①过点M（0， ）；
②存在椭圆上与右焦点F2共线的两点A、B，且A、B关于直线l对称．
22．（2017高二上·泰州月考）在平面直角坐标系 中，椭圆 ： （ ）的离心率为 ，连接椭圆 的四个顶点所形成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若椭圆 上点 到定点 （ ）的距离的最小值为1，求 的值及点 的坐标；
（3）如图，过椭圆 的下顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆 于点 ， ，设直线 的斜率为 ，直线 ： 分别与直线 ， 交于点 ， ．记 ， 的面积分别为 ， ，是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出所有直线 的方程；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由 可得 ，
因此 ，且焦点在 轴上，
所以焦点坐标为 .
故答案为：A.
【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解焦点坐标即可得到答案。
2．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设直线与椭圆交点为 ，分别代入椭圆方程，由点差法可知 代入k=1，M(-4，1)，解得 ，
故答案为：C.
【分析】设直线与椭圆交点为 ，分别代入椭圆方程，由点差法可知 代入k=1和弦的中点M(-4，1)，解出a，b的关系式，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而结合椭圆的离心率公式变形求出椭圆的离心率。
3．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的一条渐近线的方程为 ，
即双曲线 的一条渐近线的方程为 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】写出双曲线的标准方程，根据渐近线方程即可得解.
4．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
由焦点坐标为（1，0），得 ，即p=2．
∴抛物的标准方程是y2=4x．
故答案为：B．
【分析】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由焦点坐标可得p的值.
5．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ， ，
由 ， 与 相似，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ， ，
所以双曲线C的渐近线方程为 .
故答案为：C.
【分析】利用三角形 与 相似得 ，结合双曲线的定义求得的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。
6．【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】由题意得直线 与 轴， 轴的交点分别为 ．
∵直线 经过椭圆的左焦点F1，
∴ ，
∴ ．
∵直线 与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N ，
且|MN|=|MF2|，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴椭圆的方程为 ．
故答案为：D．
【分析】利用椭圆的概念和标准方程，结合已知条件|MN|=|MF2|，即可求得结果.
7．【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】 曲线表示交点在 轴的椭圆，
，解得： .
故答案为：A
【分析】根据条件，列出满足条件的不等式，求 的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设 的 ，则离心率为 ， 都增加 个单位，得到 ，则离心率 ，排除B和C两个选项.同理设 的 ，则离心率为 ， 都增加 个单位，得到 ，则离心率 ，排除 选项，
故答案为：D.
【分析】由双曲线的离心率定义，对a，b，c分别取特殊值可排除错误答案，即可得出正确选项.
9．【答案】B,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 ， ， ，实轴长 ，渐近线方程 ，离心率 ，焦距 ；
双曲线 ， ， ，实轴长 ，渐近线方程 ，离心率 ，焦距 ；
综上比较，可知两个双曲线的渐近线，焦距相等.
故答案为：BD
【分析】根据题意由双曲线的性质结合已知条件即可求出两个双曲线的a、b、c由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知椭圆标准方程为 ，则 ，∴ ．
长轴长为 ，A符合题意；两焦点为 ，B不符合题意；离心率为 ，C符合题意；
代入椭圆方程得 ，解得 ，∴ ，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】 化简椭圆方程为标准方程，求出a， b，c，然后求解离心率以及通径，判断选项的正误即可.
11．【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线C： 1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30° ，
可得： ，即 ，故e ．且 ，故渐近线方程为渐近线方程为
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率和渐近线即可．
12．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知 ，圆半径为6．
又线段 的垂直平分线与直线 的交点 恰好在双曲线 上，
所以 ，
若 在右支上，则 ，
若 在左支上，则
即 ， ，所以 ，
双曲线的渐近线方程是 ，A不符合题意；
离心率为 ，B符合题意；
到渐近线的距离为 ，C符合题意；
设 是 的内心， 轴，垂足为 ，由切线长定理得 ，
即 ， ，所以 ，
同理，当 在左支上时， ，D符合题意；
故答案为：BCD．
【分析】 由已知圆的方程可得双曲线的右焦点的坐标以及半径，再根据垂直平分线的性质以及双曲线的定义，即可求出a， b， c的值，由此求出双曲线的方程，离心率，渐近线方程，再根据内切圆的性质以及圆的切线的性质和双曲线的定义，即可求出三角形PF1F2的内切圆的圆心的横坐标，进而可以求解.
13．【答案】18
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】因为 到焦点的距离等于到准线 的距离，
，
则抛物线的方程为 ,
把 代入方程,得 ，或 （舍去），即 ；
把 代入方程，得 ， （舍去），即 ,
则 .
故答案为：18.
【分析】由已知求得p，得到抛物线方程，进一步求得B,A的坐标，即可求出。
14．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为 是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以 ，
解得 ，所以抛物线的方程为： ；
由 ， ，
如图过 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，设 ， ，
则 ， ．
由 ，可得
在△ 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
，又 ， ，
故答案为： ．
【分析】由题可得 ， ， ，过 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，设 ， ，可得 ， ．结合 ，化简可得 ，在△ 中，由余弦定理可得 ，即可求解
15．【答案】6
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】 是椭圆 的右焦点， 是椭圆 的左焦点，
在椭圆内部，
，
当P为 的延长线与椭圆交点时取得最小值.
故答案为：6
【分析】将问题进行转化 ，根据动点到两个定点距离之差的最值求解.
16．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由 可得
∴ ，即 ，
∴
∴
故答案为：
【分析】由 可得 ，计算可得圆 的离心率的取值范围 .
17．【答案】（1）证明： 由方程
消去 后，整理得
设 ， ，由韦达定理
在抛物线 上，
（2）解：设直线与 轴交点为 ，又显然 令 则 ，即
，解得
【知识点】抛物线的应用
【解析】【分析】（1）这个问题建立在抛物线的一个性质上：过（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于A，B两点，则有OA⊥OB(O为坐标原点)。
（2）题设条件可以两种形式表示为k的函数，一种如上解答；另一种可先求弦长AB，再利用点到直线的距离求出三角形的高。
18．【答案】（1）解：设 ， ，
联立 ，得 ，所以 .
解得
（2）解：
，
解得
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）本题利用椭圆与直线相切的位置关系，将椭圆方程与直线方程联立得出关于x的一元二次方程，再利用韦达定理结合相切只有一个交点，即的性质求出m的值。
（2）本题利用椭圆与直线相交的位置关系，将椭圆和直线方程联立，再利用韦达定理，结合两点的距离公式和椭圆短轴长2b相等的关系求出m的值。
19．【答案】（1）解：由题意得， 即P（1，2）
（2）解：设直线AB的方程为x=my+b，
直线与抛物线联立得 且
由 ，得到定点的坐标。
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）本题抛物线上一点满足抛物线方程，求出点P的横坐标和纵坐标的关系式，再利用P和Q两点关于x轴对称，即横坐标相等，纵坐标相反的性质，最后结合三角形面积公式求出点P的坐标。
（2）本题结合第一问求出的点P的坐标设出过点P的直线PA和直线PB，再根据这两条直线与抛物线相交，将这两条直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合已知条件求出定点的坐标。
20．【答案】（1）解：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.
由 得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴①， ②
又∵ ，∴y2＝4y1，③
由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，得抛物线G的方程为x2＝4y。
（2）解：设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
由 得x2－4kx－16k＝0，④
∴ ，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－ (x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4. ∴b∈(2，＋∞)．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）本题利用直线与抛物线相交的位置关系联立二者的方程组，再利用韦达定理和向量是的4倍这一条件，最后求出抛物线的标准方程。
（2）本题利用直线与抛物线相交的位置关系联立二者的方程组，再利用中点坐标公式和直线方程求出x和y与k的关系，再利用中垂线的方程求出线段BC的中垂线在y轴上的截距b与k的关系式，最后利用的关系式求出k的取值范围，从而求得b的取值范围。
21．【答案】（1）解：∵椭圆 （a＞0，b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2 ，离心率为 ，
∴ ，∴a= ，c=1，b= =1，
∴椭圆的标准方程为 =1．
（2）解：①假设存在符合条件的直线l，
当直线l与y轴重合时，两点A、B可位于长轴两个端点，符合条件．
此时l的方程为x=0；
②当直线l与x轴平行时，不符合条件；
③当直线l既不与x轴平行，又不与y轴重合时，
由F2（1，0），可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线l的方程为y=﹣ ，
联立直线AB与椭圆方程 ，
化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
∴ ， ，
y1+y2=k（x1+x2）﹣2k= ，
∴AB的中点坐标为G（ ， ）．
结合题意知点G在直线l上，∴ =﹣ + ，
整理得：2k2﹣3k+1=0，解得k=1或k= ，
此时直线l的方程为y=﹣x+ 或y=﹣2x+ ．
综上所述，存在符合条件的直线l，方程分别为x=0，y=﹣x+ 或y=﹣2x+
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由椭圆定义和离心率，列出方程组，由此能求出椭圆的标准方程．（2）当直线l与y轴重合时，l的方程为x=0；当直线l与x轴平行时，不符合条件； 当直线l既不与x轴平行，又不与y轴重合时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），直线l的方程为y=﹣ ，联立直线AB与椭圆方程，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、根的判别式能求出结果．
22．【答案】（1）解：由题意得： 解得
所以椭圆 的标准方程为
（2）解：设 ，由定点 ，考虑距离的平方：
则 ，
二次函数的图象对称轴为 ，
由椭圆方程知 ，
由题设知 ，
①当 ，即 时，在 时有 ，
解得 ，不符合题意，舍去；
②当 ，即 时，由单调性知：在 时有 ，
解得 或 （舍）．
综上可得： 的值为2，点 的坐标为 ．
（3）解：由（1）知， ，则直线 的方程为 ，
联立 消去 并整理得 ，解得 ；
直线 的方程为 ，同理可得 ．
联立 解得 ，同理可得 ，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
所以 或 ，
故存在直线 ： ， 满足题意．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）本题利用离心率公式和a，b，c三者的关系，在联立四边形面积公式求出a和b的值，代入椭圆标准方程求出椭圆的标准方程。
(2)本题以椭圆为背景设出动点N的坐标，再利用两点距离公式求出有关于x的一元二次函数，再结合此一元二次函数图象，对m分类讨论，利用单调性求出最值，再结合已知条件最小值为1，最后求出m的值，再利用m的值确定出点N的坐标。
（3）本题利用两直线垂直斜率的积等于-1的性质设出两直线方程。再分别与椭圆标准方程联立求出交点M、N、P、Q的横坐标，再将它们代入中，求出k与的关系式，再利用的值求出k的值，从而求出满足题意的直线l的方程。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2020高二上·临沂期中）椭圆 的焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由 可得 ，
因此 ，且焦点在 轴上，
所以焦点坐标为 .
故答案为：A.
【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解焦点坐标即可得到答案。
2．（2019高二上·淄博月考）已知椭圆 的一条弦所在的直线方程是 弦的中点坐标是 则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设直线与椭圆交点为 ，分别代入椭圆方程，由点差法可知 代入k=1，M(-4，1)，解得 ，
故答案为：C.
【分析】设直线与椭圆交点为 ，分别代入椭圆方程，由点差法可知 代入k=1和弦的中点M(-4，1)，解出a，b的关系式，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而结合椭圆的离心率公式变形求出椭圆的离心率。
3．（2019高二上·青岛月考）双曲线 的一条渐近线的方程为 ，则 （　　）
A．3 B． C．4 D．16
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的一条渐近线的方程为 ，
即双曲线 的一条渐近线的方程为 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】写出双曲线的标准方程，根据渐近线方程即可得解.
4．（2019高二上·桂林期末）焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（　　）
A．y2=-4x B．y2=4x C．x2=-4y D．x2=4y
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
由焦点坐标为（1，0），得 ，即p=2．
∴抛物的标准方程是y2=4x．
故答案为：B．
【分析】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由焦点坐标可得p的值.
5．（2020高二上·临沂期中）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点P是C的右支上一点，连接 与y轴交于点M，若 （O为坐标原点）， ，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设 ， ，
由 ， 与 相似，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ， ，
所以双曲线C的渐近线方程为 .
故答案为：C.
【分析】利用三角形 与 相似得 ，结合双曲线的定义求得的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。
6．（2018高二上·河北月考）已知直线 经过椭圆 的左焦点F1，且与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N，F2是椭圆的右焦点，且|MN|=|MF2|，则椭圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】由题意得直线 与 轴， 轴的交点分别为 ．
∵直线 经过椭圆的左焦点F1，
∴ ，
∴ ．
∵直线 与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N ，
且|MN|=|MF2|，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴椭圆的方程为 ．
故答案为：D．
【分析】利用椭圆的概念和标准方程，结合已知条件|MN|=|MF2|，即可求得结果.
7．（2019高二上·菏泽期中）已知方程 表示的曲线是焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】 曲线表示交点在 轴的椭圆，
，解得： .
故答案为：A
【分析】根据条件，列出满足条件的不等式，求 的取值范围.
8．（2018高二上·怀化期中）将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 同时增加 个单位长度，得到离心率为 的双曲线 ，则（　　）
A．对任意的 ，
B．当 时， ；当 时，
C．对任意的 ，
D．当 时， ；当 时，
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设 的 ，则离心率为 ， 都增加 个单位，得到 ，则离心率 ，排除B和C两个选项.同理设 的 ，则离心率为 ， 都增加 个单位，得到 ，则离心率 ，排除 选项，
故答案为：D.
【分析】由双曲线的离心率定义，对a，b，c分别取特殊值可排除错误答案，即可得出正确选项.
二、多选题
9．（2020高二上·济南期末）关于双曲线 与双曲线 下列说法正确的是（　　）
A．它们的实轴长相等 B．它们的渐近线相同
C．它们的离心率相等 D．它们的焦距相等
【答案】B,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 ， ， ，实轴长 ，渐近线方程 ，离心率 ，焦距 ；
双曲线 ， ， ，实轴长 ，渐近线方程 ，离心率 ，焦距 ；
综上比较，可知两个双曲线的渐近线，焦距相等.
故答案为：BD
【分析】根据题意由双曲线的性质结合已知条件即可求出两个双曲线的a、b、c由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2020高二上·黄岛期中）已知椭圆 ： ，关于椭圆 下述正确的是（　　）
A．椭圆 的长轴长为
B．椭圆 的两个焦点分别为 和
C．椭圆 的离心率等于
D．若过椭圆 的焦点且与长轴垂直的直线 与椭圆 交于 ，则
【答案】A,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知椭圆标准方程为 ，则 ，∴ ．
长轴长为 ，A符合题意；两焦点为 ，B不符合题意；离心率为 ，C符合题意；
代入椭圆方程得 ，解得 ，∴ ，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】 化简椭圆方程为标准方程，求出a， b，c，然后求解离心率以及通径，判断选项的正误即可.
11．（2019高二上·淄博月考）已知双曲线 ，右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，若 ，则有（　　）
A．渐近线方程为 B．
C． D．渐近线方程为
【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线C： 1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30° ，
可得： ，即 ，故e ．且 ，故渐近线方程为渐近线方程为
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率和渐近线即可．
12．（2020高二上·山东月考）如图， ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点， 是圆 ： 上一动点，线段 的垂直平分线与直线 的交点 恰好在双曲线 上，则下列结论正确的是（　　）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．双曲线 的离心率为
C．焦点 到双曲线 的渐近线距离为4
D． 内切圆圆心的横坐标为3或
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知 ，圆半径为6．
又线段 的垂直平分线与直线 的交点 恰好在双曲线 上，
所以 ，
若 在右支上，则 ，
若 在左支上，则
即 ， ，所以 ，
双曲线的渐近线方程是 ，A不符合题意；
离心率为 ，B符合题意；
到渐近线的距离为 ，C符合题意；
设 是 的内心， 轴，垂足为 ，由切线长定理得 ，
即 ， ，所以 ，
同理，当 在左支上时， ，D符合题意；
故答案为：BCD．
【分析】 由已知圆的方程可得双曲线的右焦点的坐标以及半径，再根据垂直平分线的性质以及双曲线的定义，即可求出a， b， c的值，由此求出双曲线的方程，离心率，渐近线方程，再根据内切圆的性质以及圆的切线的性质和双曲线的定义，即可求出三角形PF1F2的内切圆的圆心的横坐标，进而可以求解.
三、填空题
13．（2020高二上·临沂期末）已知点 是抛物线 的焦点，点 ， 分别是抛物线上位于第一 四象限的点，若 ，则 　 　.
【答案】18
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】因为 到焦点的距离等于到准线 的距离，
，
则抛物线的方程为 ,
把 代入方程,得 ，或 （舍去），即 ；
把 代入方程，得 ， （舍去），即 ,
则 .
故答案为：18.
【分析】由已知求得p，得到抛物线方程，进一步求得B,A的坐标，即可求出。
14．（2019高二上·淄博月考）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，其中 也是抛物线 的焦点， 与 在一象限的公共点为 ，若直线 斜率为 ，则双曲线离心率 为　 　．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为 是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以 ，
解得 ，所以抛物线的方程为： ；
由 ， ，
如图过 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，设 ， ，
则 ， ．
由 ，可得
在△ 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
，又 ， ，
故答案为： ．
【分析】由题可得 ， ， ，过 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，设 ， ，可得 ， ．结合 ，化简可得 ，在△ 中，由余弦定理可得 ，即可求解
15．（2019高二上·青岛月考） 是椭圆 的右焦点， 是椭圆上的动点， 为定点，则 的最小值为　 　.
【答案】6
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】 是椭圆 的右焦点， 是椭圆 的左焦点，
在椭圆内部，
，
当P为 的延长线与椭圆交点时取得最小值.
故答案为：6
【分析】将问题进行转化 ，根据动点到两个定点距离之差的最值求解.
16．（2019高二上·宁波期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，动弦 过左焦点 .若 恒成立，则椭圆 的离心率的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由 可得
∴ ，即 ，
∴
∴
故答案为：
【分析】由 可得 ，计算可得圆 的离心率的取值范围 .
四、解答题
17．（2018高二上·梅河口期末）已知抛物线 与直线 相交于 两点.
（1）求证： ；
（2）当S△OAB=时，求 的值.
【答案】（1）证明： 由方程
消去 后，整理得
设 ， ，由韦达定理
在抛物线 上，
（2）解：设直线与 轴交点为 ，又显然 令 则 ，即
，解得
【知识点】抛物线的应用
【解析】【分析】（1）这个问题建立在抛物线的一个性质上：过（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于A，B两点，则有OA⊥OB(O为坐标原点)。
（2）题设条件可以两种形式表示为k的函数，一种如上解答；另一种可先求弦长AB，再利用点到直线的距离求出三角形的高。
18．（2017高二上·佳木斯月考）已知椭圆 ，直线 .
（1）若 与椭圆有一个公共点，求 的值；
（2）若 与椭圆相交于 两点，且 等于椭圆的短轴长，求 的值.
【答案】（1）解：设 ， ，
联立 ，得 ，所以 .
解得
（2）解：
，
解得
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）本题利用椭圆与直线相切的位置关系，将椭圆方程与直线方程联立得出关于x的一元二次方程，再利用韦达定理结合相切只有一个交点，即的性质求出m的值。
（2）本题利用椭圆与直线相交的位置关系，将椭圆和直线方程联立，再利用韦达定理，结合两点的距离公式和椭圆短轴长2b相等的关系求出m的值。
19．（2017高二上·佳木斯月考）已知抛物线 ， 为抛物线上一点， 为 关于 轴对称的点， 为坐标原点.
（1）若 的面积为2，求点 的坐标；
（2）若过满足（1）中的点 作直线交 抛物线 于 两点，且斜率分别为 ，且 ，求证：直线 过定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1）解：由题意得， 即P（1，2）
（2）解：设直线AB的方程为x=my+b，
直线与抛物线联立得 且
由 ，得到定点的坐标。
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）本题抛物线上一点满足抛物线方程，求出点P的横坐标和纵坐标的关系式，再利用P和Q两点关于x轴对称，即横坐标相等，纵坐标相反的性质，最后结合三角形面积公式求出点P的坐标。
（2）本题结合第一问求出的点P的坐标设出过点P的直线PA和直线PB，再根据这两条直线与抛物线相交，将这两条直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合已知条件求出定点的坐标。
20．（2017高二上·哈尔滨月考）已知过点 的动直线 与抛物线 ： 相交于 两点．当直线 的斜率是 时， .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设线段 的中垂线在 轴上的截距为 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.
由 得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴①， ②
又∵ ，∴y2＝4y1，③
由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，得抛物线G的方程为x2＝4y。
（2）解：设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
由 得x2－4kx－16k＝0，④
∴ ，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－ (x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4. ∴b∈(2，＋∞)．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）本题利用直线与抛物线相交的位置关系联立二者的方程组，再利用韦达定理和向量是的4倍这一条件，最后求出抛物线的标准方程。
（2）本题利用直线与抛物线相交的位置关系联立二者的方程组，再利用中点坐标公式和直线方程求出x和y与k的关系，再利用中垂线的方程求出线段BC的中垂线在y轴上的截距b与k的关系式，最后利用的关系式求出k的取值范围，从而求得b的取值范围。
21．（2015高二上·菏泽期末）已知椭圆 （a＞0，b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2 ，离心率为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在同时满足①②两个条件的直线l？
①过点M（0， ）；
②存在椭圆上与右焦点F2共线的两点A、B，且A、B关于直线l对称．
【答案】（1）解：∵椭圆 （a＞0，b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2 ，离心率为 ，
∴ ，∴a= ，c=1，b= =1，
∴椭圆的标准方程为 =1．
（2）解：①假设存在符合条件的直线l，
当直线l与y轴重合时，两点A、B可位于长轴两个端点，符合条件．
此时l的方程为x=0；
②当直线l与x轴平行时，不符合条件；
③当直线l既不与x轴平行，又不与y轴重合时，
由F2（1，0），可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线l的方程为y=﹣ ，
联立直线AB与椭圆方程 ，
化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
∴ ， ，
y1+y2=k（x1+x2）﹣2k= ，
∴AB的中点坐标为G（ ， ）．
结合题意知点G在直线l上，∴ =﹣ + ，
整理得：2k2﹣3k+1=0，解得k=1或k= ，
此时直线l的方程为y=﹣x+ 或y=﹣2x+ ．
综上所述，存在符合条件的直线l，方程分别为x=0，y=﹣x+ 或y=﹣2x+
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由椭圆定义和离心率，列出方程组，由此能求出椭圆的标准方程．（2）当直线l与y轴重合时，l的方程为x=0；当直线l与x轴平行时，不符合条件； 当直线l既不与x轴平行，又不与y轴重合时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），直线l的方程为y=﹣ ，联立直线AB与椭圆方程，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、根的判别式能求出结果．
22．（2017高二上·泰州月考）在平面直角坐标系 中，椭圆 ： （ ）的离心率为 ，连接椭圆 的四个顶点所形成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若椭圆 上点 到定点 （ ）的距离的最小值为1，求 的值及点 的坐标；
（3）如图，过椭圆 的下顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆 于点 ， ，设直线 的斜率为 ，直线 ： 分别与直线 ， 交于点 ， ．记 ， 的面积分别为 ， ，是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出所有直线 的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由题意得： 解得
所以椭圆 的标准方程为
（2）解：设 ，由定点 ，考虑距离的平方：
则 ，
二次函数的图象对称轴为 ，
由椭圆方程知 ，
由题设知 ，
①当 ，即 时，在 时有 ，
解得 ，不符合题意，舍去；
②当 ，即 时，由单调性知：在 时有 ，
解得 或 （舍）．
综上可得： 的值为2，点 的坐标为 ．
（3）解：由（1）知， ，则直线 的方程为 ，
联立 消去 并整理得 ，解得 ；
直线 的方程为 ，同理可得 ．
联立 解得 ，同理可得 ，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
所以 或 ，
故存在直线 ： ， 满足题意．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）本题利用离心率公式和a，b，c三者的关系，在联立四边形面积公式求出a和b的值，代入椭圆标准方程求出椭圆的标准方程。
(2)本题以椭圆为背景设出动点N的坐标，再利用两点距离公式求出有关于x的一元二次函数，再结合此一元二次函数图象，对m分类讨论，利用单调性求出最值，再结合已知条件最小值为1，最后求出m的值，再利用m的值确定出点N的坐标。
（3）本题利用两直线垂直斜率的积等于-1的性质设出两直线方程。再分别与椭圆标准方程联立求出交点M、N、P、Q的横坐标，再将它们代入中，求出k与的关系式，再利用的值求出k的值，从而求出满足题意的直线l的方程。
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