3.5 相似三角形的应用 专项测试卷A 湖南省祁阳市浯溪二中2021-2022学年九年级数学上册（Word版含答案）

祁阳市浯溪二中3.5《相似三角形的应用》专项测试卷A
一．选择题（每小题4分，共40分）
1．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝8m，则池塘的宽DE为（　C　）
A．32m B．36m C．48m D．56m
2．小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是12m，那么旗杆的高度（　D　）
A．4.5m B．6m C．7.2m D．8m
3．身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC＝2米，CB＝18米，则旗杆的高度是（　C　）
A．8米 B．14.4米 C．16米 D．20米
4．如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，则草皮的总面积为（　C　）平方米．
A．3 B．9 C．12 D．24
5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（　　）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
6．如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图．等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10米．如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（　　）
A．10米 B．11.7米 C．米 D．米
7．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（　　）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
8．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长为40cm和60cm的两根铁丝绘制作与△ABC相似的三角形框架，如果以其中一根铁丝为一边，从另一根铁丝上截取两段（允许有余料）作为另外两边，可以作成不同的三角形框架有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（　　）
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
二．填空题（每小题4分，共40分）
1．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝　 　m．
12．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为　　步．
13.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是　　步．
14.如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2m，且CE∥BD，并测得BC＝4m，CA＝1m，那么树BD的高度是　　m．
15.如图，阳光通过窗口AB照到室内，在地面上留下一个亮区ED，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE＝2.7m，窗高AB＝0.8m，窗口底边离地面的高度BC＝1m，则亮区宽度ED＝　　m．
16.如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为30cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为　．
17.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是　　．
18.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为　　步．
19．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量的卡钳上A、D两端的距离为4cm，，则容器的内径BC＝　　．
20.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树髙AB为 　．
三．解答题（70分）
21．（6分）已知小聪的身高为1.8米，在太阳光下的地面影长为2.4米，若此时测得一旗杆在同一地面的影长为20米，则旗杆高应为多少米？
22．（8分）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），求小管口径DE的长？．
23．（8分）如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，BE＝3m，那么这棵树CD的高为多少？
参考答案
1．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝8m，则池塘的宽DE为（　C　）
A．32m B．36m C．48m D．56m
【分析】根据相似三角形的性质即可解决问题；【解答】解：∵AB∥DE，∴△ABC∽△DEC，∴＝，∴＝，∴DE＝48m，故选：．
2．小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是12m，那么旗杆的高度（　D　）
A．4.5m B．6m C．7.2m D．8m
【分析】由于光线是平行的，影长都在地面上，那么可得身高与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得旗杆的高度．
【解答】解：设旗杆的高度为xm，
根据题意得：，
解得：x＝8，
即旗杆的高度为8m，
3．身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC＝2米，CB＝18米，则旗杆的高度是（　C　）
A．8米 B．14.4米 C．16米 D．20米
【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
【解答】解：设旗杆高度为h，
由题意得＝，
解得：h＝16米．
4．如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，则草皮的总面积为（　C　）平方米．
A．3 B．9 C．12 D．24
【分析】先根据相似三角形的判定定理得出△AMB∽△CBE，故可得出＝的值，设CE＝x，则BC＝2x，在Rt△CBE中根据勾股定理求出x的值，故可得出CE，AB＝BC，AM＝2AB的值，再根据S草皮＝S△CBE+S△AMB，即可得出结论．
【解答】解：∵△MDE是直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠MAB＝∠BCE＝90°，∠M+∠ABM＝90°，∠ABM+∠CBE＝90°，
∴∠M＝∠CBE，
∴△AMB∽△CBE，
∴＝，
∵MB＝6，BE＝4，
∴＝＝＝，
∵AB＝BC，
∴＝，
设CE＝2x，则BC＝3x，在Rt△CBE中，
BE2＝BC2+CE2，即42＝（3x）2+（2x）2，解得x＝，
∴CE＝，AB＝BC＝，AM＝AB＝，
∴S草皮＝S△CBE+S△AMB＝××+××
＝12．
5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（　　）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【解答】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，
∴，解得x＝45（尺）．
故选：B．
6．如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图．等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10米．如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（　　）
A．10米 B．11.7米 C．米 D．米
【分析】延长BD交EF于H，如图，利用四边形ABHF为矩形得到AF＝BH＝10，HF＝AB＝1.7，再利用△BCD为等腰直角三角形，可判断△BHE为等腰直角三角形，所以EH＝BH＝10，
然后计算EH+HF即可．
【解答】解：延长BD交EF于H，如图，
∵BD∥AF，EF⊥AF，
∴BH⊥EF，
易得四边形ABHF为矩形，
∴AF＝BH＝10，HF＝AB＝1.7，
∵△BCD为等腰直角三角形，
∴∠CBD＝45°，
∴△BHE为等腰直角三角形，
∴EH＝BH＝10，
∴EF＝EH+HF＝10+1.7＝11.7．
答：旗杆EF的高度为11.7m．
故选：B．
7．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（　　）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．
【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝10.5（米）．
故选：B．
8．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由平行得相似，由相似得比例，即可作出判断．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝＝，
故选：B．
9．已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长为40cm和60cm的两根铁丝绘制作与△ABC相似的三角形框架，如果以其中一根铁丝为一边，从另一根铁丝上截取两段（允许有余料）作为另外两边，可以作成不同的三角形框架有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】若以40cm长的钢筋为短边，显然不成立，故有两种不同的截法：（1）以40cm长的钢筋为最长边，（2）以40cm长的钢筋为中边，根据相似三角形的三边对应成比例，列式计算．
【解答】解：有两种不同的截法：
（1）以40cm长的钢筋为最长边，设中边为y，短边长为x，
则有，＝＝，
解得x＝，y＝，
所以从60cm长的钢筋上分别截取cm、cm的两段；
（2）以40cm长的钢筋为中边，
设长边为x，短边长为y，
＝＝
解得x＝，y＝，x+y＞60，不符合题意，
（3）以40cm长的钢筋为最短边，设长边为x，中边长为y，
＝＝，
解得x＝120，y＝100，不合题意，
故选：A．
10．如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（　　）
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC
∴，
设屏幕上的小树高是x，则，
解得x＝18cm．
故选：C．
二．填空题（每小题4分，共40分）
1．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝　100　m．
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
【解答】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，，
解得：AB＝（米）．
故答案为：100．
12．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为　　步．
【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质可求出CK的长．
【解答】解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，
∵AH∥DK，
∴∠CDK＝∠A，
而∠CKD＝∠AHD，
∴△CDK∽△DAH，
∴＝，即＝，
∴CK＝．
答：KC的长为步．
故答案为．
13.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是　　步．
【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．
【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝12﹣x，
∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，∴，
∴，x＝，
如图2，四边形DGFE是正方形，
过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，
设ED＝x，
S△ABC＝AC BC＝AB CP，
12×5＝13CP，
CP＝，
同理得：△CDG∽△CAB，∴，
∴，x＝，
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），
故答案为：．
14.如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2m，且CE∥BD，并测得BC＝4m，CA＝1m，那么树BD的高度是　10　m．
【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽Rt△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长．
【解答】解：∵EC∥AB，BD⊥AB，
∴EC∥BD，∠ACE＝∠ABD＝90°，
在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A＝∠A，∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ABD，
∴，即，解得BD＝10m．
故答案为：10
15.如图，阳光通过窗口AB照到室内，在地面上留下一个亮区ED，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE＝2.7m，窗高AB＝0.8m，窗口底边离地面的高度BC＝1m，则亮区宽度ED＝　1.2　m．
【分析】因为光线是平行的，所以将出现一组相似三角形，根据对应边成比例直接解答即可．
【解答】解：根据题意，易得△DCB∽△ACE，
∴＝，
又因为AB＝0.8米，CE＝2.7米，BC＝1米，
所以＝，
解得ED＝1.2米．
故答案为：1.2．
16.如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为30cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为　9cm　．
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【解答】解：如图所示：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC
∴＝
设屏幕上的小树高是x，则＝，
解得：x＝9．
故答案为：9cm．
17.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是　100米　．
【分析】先可证明△ADB∽△EDC，然后依据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°．
又∵∠ADB＝∠EDC，
∴△ADB∽△EDC．
∴，即．
解得：AB＝100米．
故答案为：100米
18.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为　300　步．
【分析】设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，证明Rt△BEA∽Rt△EDC，利用相似比得到＝，然后利用比例性质求出x即可．
【解答】解：设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，
∵AE∥CD，
∴∠BEA＝∠EDC，
∴Rt△BEA∽Rt△EDC，
∴＝，即＝，
∴x＝300，
即正方形城池的边长为300步．
故答案为300．
19．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量的卡钳上A、D两端的距离为4cm，，则容器的内径BC＝　8cm　．
【分析】连接AD，BC，依题意得：△AOD∽△BOC，则其对应边成比例，由此求得BC的长度．
【解答】解：如图，连接AD，BC，
∵，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴＝＝
又AD＝4cm，
∴BC＝2AD＝8cm．
故答案是：8cm．
20.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树髙AB为　16.5m　．
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
∵DF＝50cm＝0.5m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝20m，
∴由勾股定理求得DE＝40cm，
∴＝，
∴BC＝15米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5（米）．
故答案为：16.5m．
三．解答题（70分）
21．（6分）已知小聪的身高为1.8米，在太阳光下的地面影长为2.4米，若此时测得一旗杆在同一地面的影长为20米，则旗杆高应为多少米？
解：设旗杆高为xm，根据题意得，＝，解得x＝15m．
22．（8分）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），求小管口径DE的长？．
【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可．
【解答】解：∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴CD：CA＝DE：AB
∴20：60＝DE：10
∴DE＝毫米
∴小管口径DE的长是毫米．
23．（8分）如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，BE＝3m，那么这棵树CD的高为多少？
【分析】首先判定△ABE∽△CDE，再根据相似三角形的性质可得＝，然后再代入数据计算即可．
【解答】解：∵AB，CD均垂直于地面，所以AB∥CD，
∴△ABE∽△C′DE，
∵CD在水中的倒影为C′D，
∴△ABE∽△C′DE，
∴＝，
又∵AB＝1.7，BE＝3，BD＝12，
∴＝，
∴CD＝5.1，
24．（12分）数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度EF．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树影子末端重合于点H，测得DH＝1米．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线FD后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2米．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度EF．
25．（12分）如图，果果同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（CD），经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离（BD）为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部C恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？
26．（12分）真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ，于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿QC后退，当退行1.8米到B处时，恰好在镜子中看到塔顶P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，晓静在F处竖立了一根高1.6米的标杆EF，发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上，此时测得FM为2.4米，CF为11.7米，已知PQ⊥QM，AB⊥QM，EF⊥QM，点Q、C、B、F、M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ．
27．（12分）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．
参考答案：
24．数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度EF．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树影子末端重合于点H，测得DH＝1米．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线FD后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2米．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度EF．
解：设广告牌的高度EF为xm，
依题意知：DB＝11m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.6m．
∴GD＝DB﹣BG＝9m，
∵CD⊥BF，EF⊥BF，
∴CD∥EF．
∴△EFH∽△CDH．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴DF＝x﹣1．
由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．
∵AB⊥BF，
∴∠ABG＝90°＝∠EFG．
∴△EFG∽△ABG．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴x＝12.8．
故树的高度EF为12.8m．
25.如图，果果同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（CD），经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离（BD）为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部C恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？
解：如图，过E作EG⊥CD交AB于H，CD于G，
根据题意可得：四边形EFCG是矩形，
∴EF＝HB＝CG＝1.6m，EH＝FB，HG＝BC＝30m，
∴AH＝20m，DG＝30m，
∵AH∥DG，
∴△AEH∽△DEG，
∴＝，
即＝，
∴EH＝60．
答：某同学与教学楼（AB）之间的距离为60米．
26.真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ，于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿QC后退，当退行1.8米到B处时，恰好在镜子中看到塔顶P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，晓静在F处竖立了一根高1.6米的标杆EF，发现地面上的点M、标杆顶点E和塔顶P在一条直线上，此时测得FM为2.4米，CF为11.7米，已知PQ⊥QM，AB⊥QM，EF⊥QM，点Q、C、B、F、M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据已知条件推出△PCQ∽△ACB，求得QC＝1.2PQ，又根据相似三角形的性质得到，于是得到答案．
【解答】解：∵∠PQC＝∠ABC＝90°，∠PCQ＝∠ACB，
∴△PCQ∽△ACB，
∴，∴，∴QC＝1.2PQ，∵∠PQF＝∠EFM＝90°，∠PMQ＝∠EMF，∴△PMQ∽△EMF，∴，∴，即，∴PQ＝47，答：真身宝塔的高度PQ为47米．
27.有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．
【考点】正方形的判定；相似三角形的应用．
【分析】利用相似三角形的性质分别求出正方形的边长，可得结论．
【解答】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
即，
∴x＝．
如图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P．
由勾股定理得：
AC＝，
∵，
∴，
设乙同学加工的桌面边长为ym，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
即，
∴y＝，
∵＞，即x＞y，x2＞y2，
∴甲同学的加工方法更好．
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