2022届高三年级两校联考
数学学科 试题
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则
A． B． C． D．
2．若，，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
3．命题：若，则；命题：函数有且仅有一个零点，则下列为真命题的是
A． B． C． D．
4．函数对任意都有成立，且函数的图像关于点对称，，则
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知函数，,若都有，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
6．设，，，则
A． B． C． D．
7．已知若，则下列结论一定成立的是
A． B． C． D．
8．已知函数若不等式在上有解，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是
A．“且”是“”的充要条件
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．命题“若，则.”的逆否命题为真命题
D．命题：“，使得”，则非：“，”
10．在△中，角的对边分别为，则下列的结论中正确的是
A．若，则△一定是等腰三角形
B．若，则
C．若△是锐角三角形，则
D．已知△不是直角三角形，则
11．下列说法正确的是
A．若，则函数的最小值为
B．若都是正数,且, 则的最小值是3
C．若，则的最小值是4
D．已知，则的最大值为
12．若函数有两个极值点，（），则
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线过点的切线方程为________________.
14．已知，若，则_________.
15．一医用放射性物质原来质量为，每年衰减的百分比相同，当衰减一半时，所用时
间是10年.已知到今年为止，剩余为原来的，到今年为止，该放射物质已经衰减了________年.
16．设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知
（1）化简；
（2）若求的值.
18．（12分）
函数的值域为集合，函数的定义域为集合，记.
（1）若，试判断是的什么条件？（以充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要之一作答）
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．（12分）
已知定义在上的函数满足，且当时，.
（1）解不等式；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
20．（12分）
已知函数(,为常数)在内有两个极值点．
（1）求参数的取值范围；
（2）求证：．
21．（12分）
已知函数．
（1）当时，求的单调性及零点的个数；
（2）当时，求的零点的个数.
22．（12分）
已知函数．
（1）探究函数的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
试卷共4页，第4页2022届高三年级两校联考
数学学科 答案
单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B D A D B B D C
多项选择题
9 10 11 12
BCD BCD BCD ABC
填空题
13.； 14.； 15.5； 16.
四、解答题
17．（10分）
已知
（1）化简；
（2）若求的值.
解：（1）….3分
…………………………5分
（2）
由，可得，
………………………………10分
18．（12分）
函数的值域为集合，函数的定义域为集合，记.
（1）若，试判断是的什么条件？（以充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要之一作答）
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
解：令，因为，所以 ……2分
且 ……………………………………………………………4分
函数的值域也就是函数的值域，………6分
根据二次函数的图像特征可知，函数在上单调递增
于是可求得 ……………………………………………………7分
函数有意义需要，即
，所以 ………… 9分
若，则，是的既不充分也不必要条件 ……………… 10分
若是的充分不必要条件，则，即 ……… 11分
解得： ……………………………………………………………… 12分
19．（12分）
已知定义在上的函数满足，且当时，.
（1）解不等式；
（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
解：（1）函数满足，图像关于直线对称，………….2分
令，则，
设，则，
因为，所以，即，
所以函数在上单调递增，
因为在定义域内为增函数，
所以在上单调递增，……………………………………………….4分
可化为，
即，解得，；………………………………………………………6分
（2）若关于的方程在上有解，
即在上有解，显然
也就是在上有解…………………………………………………..8分
若在上有两根，则，此不等式组无解；..9分
若一根大于而另一根小于1，则，解得，…….10分
若的一个根等于1，则，此时方程为，即，得或不合题意，………………………………………………………………..11分
综上，若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是，.
……………………………………………………………………………………………………………………………………..12分
20. 已知函数(,为常数)在内有两个极值点．
（1）求参数的取值范围；
（2）求证：．
解：(1)由，得．……………1分
记，由题意知，在上存在两个零点．
因为，则
当时，，在上递增，至多只有一个零点，不合题意；……………………………………………………………………………………………………………………….2分
当时，令，得．
（i）若，即时，在上递减，在上递增，
则 ．
当，且，，此时，
从而在和上各有一个零点，
所以，在上存在两个零点．………………………………………4分
（ii）若，即时，在上递减，至多只有一个零点，不合题意．…………………………………………………………………………………………5分
（iii）若，且，即时，此时在上只有一个零点，而在上没有零点，不合题意．
综上所述，． …………………………6分
（2）若函数在上存在两个零点，
即，则，两式相减可得……7分
要证，即证…………………………………….8分
即
令，即……………………………………….9分
设，则………10分
所以在区间上单调递增，则……………………….11分
即，那么原不等式成立………………………………….12分
21．（12分）
已知函数．
（1）当时，求的单调性及零点的个数；
（2）当时，求的零点的个数.
解：（1），，………..1分
当时，，所以单调递减. ……………………………………………2分
又因为，，………………………………..3分
所以，有，所以存在一个零点……….5分
（2）当时，，，
所以单调递增，………………………………………….6分
又，，……………………………………..7分
所以，有，
且有时，，单调递减；…..8分
时，，单调递增，
又因为，，
所以，有.
又当时，，，所以. ……..9分
所以当时，，单调递减；
时，，单调递增，
又，，
所以存在，有，………………………………..10分
当时，，，所以有，
当，有. …….11分
所以，当时，函数有且仅有一个零点………………………..12分
22．（12分）
已知函数．
（1）探究函数的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），得，…………1分
若，则，在上单调递增；………………………2分
②若，则，此时，当时，；时，；所以在区间上单调递增，在上单调递减．…………………………….4分
（2）法一：不等式在上恒成立，相当于在上恒成立．令，
则……………….5分
当时，因在上恒有，因此是的极大值点．所以此时有； ……………………………6分
②当时，，此时，可知分别是函数的极大值点和极小值点，因此，有
；……………………………………8分
③当时，，知在上单调递增，所以,
即，所以；……………………………………………………9分
④当时，同理可知分别是函数的极大值点和极小值点，因此，有；…………………………………………………………….11分
综上可知，实数的取值范围是．…………………………………..12分
（2）法二：不等式变为：………………………………5分
①若，则；………………………………………………………………6分
若，则，
令，则，…………………..7分
令，则，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；所以当时，取得极大值，即
所以，即，……………………………………………………8分
所以………9分
可知是的唯一极大值点，因而也是最大值点．所以；..10分
若，，此时，即在上单调递减，所以；……………………………………………………….. 11分
综上可知，实数的取值范围是．………………………………..12分
