初中数学华师大版七年级上学期第5章5.1.2垂线同步练习
一、单选题
1．（2021七下·娄星期末）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，CD＝4.8，那么点B到AC的距离是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．4.8
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵AC⊥BC，BC=8，
∴点B到AC的距离为8.
故答案为：B.
【分析】根据AC⊥BC，BC=8，结合点到直线的距离的概念进行解答.
2．（2021七下·厦门期末）如图，三角形ABC中，∠ACB＝∠CDB＝90°，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长 B．线段AD的长 C．线段CB的长 D．线段CD的长
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解： ，
点C到直线AB的距离是线段CD的长，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件可知∠CDB=90°，可得到CD⊥AB于点D，利用点到直线的距离的定义，可得答案.
3．（2021七下·涵江期末）如图，点A、C、B在同一直线上，DC⊥EC，若∠BCD＝40°，则∠ACE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵DC⊥EC，
∴∠ECD=90°，
∵∠BCD=40°，
∴∠ACE=180°-90°-40°=50°.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可求出∠ECD的度数，再利用∠ACE=180°-∠ECD-∠BCD，代入计算可求出∠ACE的度数.
4．（2021七下·武安期末）如图，若村庄A要从河流 引水入村，则沿着垂线段AB铺设水管最节省材料，其依据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，经过一点有并且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据题意，把河流l看成一条直线，村庄A看作直线l外一点，过直线外一点向这条直线各点所画的线段中只有垂直线段最短.所以如图所作的依据是垂线段最短.
故答案为：B.
【分析】利用垂线段最短的性质求解即可。
5．（2021七下·防城港期末）如图所示，在三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，那么以下线段大小的比较必定成立的是（ ）
A．CD>AD B．ACBD D．CD【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：A、结合题意CD⊥AB， 却没有说明大小关系，故A不符合题意；
B、结合题意AC⊥BC， 却没有说明大小关系，故B不符合题意；
C、结合题意CD⊥AB，由在直角三角形中斜边比直角边大即可知道BC＞BD，故C符合题意；
D、结合题意CD⊥AB， 却没有说明大小关系，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短即可求解.
6．（2021七下·平邑期末）点A为直线a外一点，点B是直线a上点，点A到直线a的距离为5，则AB的长度一定不是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵A为直线a外一点，B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5，
∴AB最短为5．
∴AB≥5，
∴AB的长度一定不是3．
故答案为：D．
【分析】根据垂线段最短的定理即可得出答案。
7．（2021七下·光明期末）如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，PA=4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：因为垂线段最短，
∴点P到直线l的距离小于4，
故答案为：A．
【分析】本题要准确理解垂线段最短的含义，点P是直线l外一点， 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
8．（2021七下·新宾期中）如图，从人行横道线上的点 处过马路，下列线路中最短的是（ ）
A．线路 B．线路 C．线路 D．线路
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解： 线路中最短的线路PC.
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短，即可得出答案.
9．（2021七下·上海期中）如图所知,已知OA⊥BC,垂足为点A,联结OB,下列说法：①线段OB是O、B两点的距离；②线段AB的长度表示点B到OA的距离；③因为OA⊥BC,所以∠CAO=90°；④线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离.其中错误的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：②线段AB的长度为点B到OA上点的最短距离。
故答案为：A.
【分析】根据垂直的性质，点到直线的距离判断得到答案即可。
10．（2018七上·南山期末）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD>AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正确；
∵∠DAC<∠BAC=90°，∴AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
在ABD中，根据两边之和大于第三边，AD+BD>AB，故⑥正确，
∴正确的为：①④⑤⑥.
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离，垂直、垂线段的定义逐项判断即可.
二、填空题
11．（2021八上·长沙开学考）如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是 .
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】∵PQ⊥l，垂足为Q，
∴依据是垂线段最短的原理，
故答案为：垂线段最短.
【分析】根据垂线段最短的性质，即可解答.
12．（2021七下·浦东期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，那么点B到直线CD的距离是线段 的长.
【答案】BD
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵ CD⊥AB，垂足为点D，
∴ B到直线CD的距离是线段BD的长.
【分析】根据点到直线的距离定义：从点向直线作垂线，这一点和垂足间线段的长度就是这个点到直线的距离，即可得出答案.
13．（2021七下·柳州期末）如图，BC⊥AC，且AB＝13，AC＝12，BC＝5，则点B到AC的距离是 .
【答案】5
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：点B到直线AC的垂线段是BC，即点B到AC的距离是5，
故答案为：5.
【分析】直接根据点到直线的距离的概念进行解答.
14．（2021七下·吉林月考）如图，AB⊥l1，AC⊥l2，若AB=4，BC=3，AC=5，则点A到直线l1的距离是 。
【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵ AB⊥l1，AB=4，
∴ 点A到直线l1的距离是4.
【分析】根据点到直线的距离定义：自点向直线做垂线段，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离，即可得出答案.
15．（2020七上·朝阳期末）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3,2）的点共有 个．
【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
【分析】由于两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，据此解答即可.
三、作图题
16．（2021七下·泾县期末）如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流。
⑴从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由。
⑵从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由。
【答案】解： (1)如图所示：沿线段AB走理由：两点之间线段最短；
(2)如图所示：沿垂线段BD走理由：垂线段最短
----
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【分析】（1）利用线段的性质： 两点之间线段最短进行解答即可；
（2）利用垂线段最短进行解答即可；
四、解答题
17．（2020七下·开江期末）如图，已知直线 和 相交于O点，射线 于O，射线 于O，且 .求 的度数.
【答案】解：因为OF⊥CD，OE⊥AB，
∴∠BOE=∠FOD= ，
∴∠BOF+∠EOF=∠EOF+∠EOD，
∴∠EOD=∠BOF= .
【知识点】垂线
【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠BOE=∠FOD=90°，由此可证得∠EOD=∠BOF，即可求出∠EOD的度数.
五、综合题
18．（2020七下·郑州月考）已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥CD，如图.
（1）过点O作直线MN⊥AB；
（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC=35°，求∠EOF的度数；
（3）若∠BOD：∠DOA=1：5，求∠AOE的度数.
【答案】（1）解：如图，MN为所求
（2）解：若F在射线OM上，
∵MN⊥AB，OE⊥CD，
∴∠AOC+∠COM=90°，∠EOF+∠COM=90°，
则∠EOF＝∠AOC＝35°；
若F'在射线ON上，
∵MN⊥AB，OE⊥CD，
∴∠DON=∠COM=90°-∠AOC=55°，∠EOD=90°
则∠EOF'＝∠DOE＋∠DON＝145°；
综上所述，∠EOF的度数为35°或145°；
（3）解：∵∠BOD：∠DOA=1：5
∴∠BOD：∠BOC＝1：5，
∴∠BOD＝ ∠COD＝30°，
∴∠AOC＝30°，
又∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∴∠AOE＝90°＋30°＝120°.
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义即可作图；（2）分F在射线OM上和在射线ON上分别进行求解即可；（3）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数.
1 / 1初中数学华师大版七年级上学期第5章5.1.2垂线同步练习
一、单选题
1．（2021七下·娄星期末）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，CD＝4.8，那么点B到AC的距离是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．4.8
2．（2021七下·厦门期末）如图，三角形ABC中，∠ACB＝∠CDB＝90°，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．线段CA的长 B．线段AD的长 C．线段CB的长 D．线段CD的长
3．（2021七下·涵江期末）如图，点A、C、B在同一直线上，DC⊥EC，若∠BCD＝40°，则∠ACE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（2021七下·武安期末）如图，若村庄A要从河流 引水入村，则沿着垂线段AB铺设水管最节省材料，其依据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，经过一点有并且只有一条直线与已知直线垂直
5．（2021七下·防城港期末）如图所示，在三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，那么以下线段大小的比较必定成立的是（ ）
A．CD>AD B．ACBD D．CD6．（2021七下·平邑期末）点A为直线a外一点，点B是直线a上点，点A到直线a的距离为5，则AB的长度一定不是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
7．（2021七下·光明期末）如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，PA=4，PB＝7，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
8．（2021七下·新宾期中）如图，从人行横道线上的点 处过马路，下列线路中最短的是（ ）
A．线路 B．线路 C．线路 D．线路
9．（2021七下·上海期中）如图所知,已知OA⊥BC,垂足为点A,联结OB,下列说法：①线段OB是O、B两点的距离；②线段AB的长度表示点B到OA的距离；③因为OA⊥BC,所以∠CAO=90°；④线段OA的长度是点O到直线BC上点的最短距离.其中错误的有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2018七上·南山期末）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD>AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．（2021八上·长沙开学考）如图，要把河中的水引到农田P处，想要挖的水渠最短，我们可以过点P作PQ垂直河边l，垂足为点Q，然后沿PQ开挖水渠，其依据是 .
12．（2021七下·浦东期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，那么点B到直线CD的距离是线段 的长.
13．（2021七下·柳州期末）如图，BC⊥AC，且AB＝13，AC＝12，BC＝5，则点B到AC的距离是 .
14．（2021七下·吉林月考）如图，AB⊥l1，AC⊥l2，若AB=4，BC=3，AC=5，则点A到直线l1的距离是 。
15．（2020七上·朝阳期末）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3,2）的点共有 个．
三、作图题
16．（2021七下·泾县期末）如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流。
⑴从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由。
⑵从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由。
四、解答题
17．（2020七下·开江期末）如图，已知直线 和 相交于O点，射线 于O，射线 于O，且 .求 的度数.
五、综合题
18．（2020七下·郑州月考）已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥CD，如图.
（1）过点O作直线MN⊥AB；
（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），且∠AOC=35°，求∠EOF的度数；
（3）若∠BOD：∠DOA=1：5，求∠AOE的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵AC⊥BC，BC=8，
∴点B到AC的距离为8.
故答案为：B.
【分析】根据AC⊥BC，BC=8，结合点到直线的距离的概念进行解答.
2．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解： ，
点C到直线AB的距离是线段CD的长，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件可知∠CDB=90°，可得到CD⊥AB于点D，利用点到直线的距离的定义，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵DC⊥EC，
∴∠ECD=90°，
∵∠BCD=40°，
∴∠ACE=180°-90°-40°=50°.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可求出∠ECD的度数，再利用∠ACE=180°-∠ECD-∠BCD，代入计算可求出∠ACE的度数.
4．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据题意，把河流l看成一条直线，村庄A看作直线l外一点，过直线外一点向这条直线各点所画的线段中只有垂直线段最短.所以如图所作的依据是垂线段最短.
故答案为：B.
【分析】利用垂线段最短的性质求解即可。
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：A、结合题意CD⊥AB， 却没有说明大小关系，故A不符合题意；
B、结合题意AC⊥BC， 却没有说明大小关系，故B不符合题意；
C、结合题意CD⊥AB，由在直角三角形中斜边比直角边大即可知道BC＞BD，故C符合题意；
D、结合题意CD⊥AB， 却没有说明大小关系，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短即可求解.
6．【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵A为直线a外一点，B是直线a上一点，点A到直线a的距离为5，
∴AB最短为5．
∴AB≥5，
∴AB的长度一定不是3．
故答案为：D．
【分析】根据垂线段最短的定理即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：因为垂线段最短，
∴点P到直线l的距离小于4，
故答案为：A．
【分析】本题要准确理解垂线段最短的含义，点P是直线l外一点， 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
8．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解： 线路中最短的线路PC.
故答案为：C.
【分析】根据垂线段最短，即可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：②线段AB的长度为点B到OA上点的最短距离。
故答案为：A.
【分析】根据垂直的性质，点到直线的距离判断得到答案即可。
10．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正确；
∵∠DAC<∠BAC=90°，∴AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
在ABD中，根据两边之和大于第三边，AD+BD>AB，故⑥正确，
∴正确的为：①④⑤⑥.
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离，垂直、垂线段的定义逐项判断即可.
11．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】∵PQ⊥l，垂足为Q，
∴依据是垂线段最短的原理，
故答案为：垂线段最短.
【分析】根据垂线段最短的性质，即可解答.
12．【答案】BD
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵ CD⊥AB，垂足为点D，
∴ B到直线CD的距离是线段BD的长.
【分析】根据点到直线的距离定义：从点向直线作垂线，这一点和垂足间线段的长度就是这个点到直线的距离，即可得出答案.
13．【答案】5
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：点B到直线AC的垂线段是BC，即点B到AC的距离是5，
故答案为：5.
【分析】直接根据点到直线的距离的概念进行解答.
14．【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵ AB⊥l1，AB=4，
∴ 点A到直线l1的距离是4.
【分析】根据点到直线的距离定义：自点向直线做垂线段，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离，即可得出答案.
15．【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
【分析】由于两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，据此解答即可.
16．【答案】解： (1)如图所示：沿线段AB走理由：两点之间线段最短；
(2)如图所示：沿垂线段BD走理由：垂线段最短
----
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【分析】（1）利用线段的性质： 两点之间线段最短进行解答即可；
（2）利用垂线段最短进行解答即可；
17．【答案】解：因为OF⊥CD，OE⊥AB，
∴∠BOE=∠FOD= ，
∴∠BOF+∠EOF=∠EOF+∠EOD，
∴∠EOD=∠BOF= .
【知识点】垂线
【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠BOE=∠FOD=90°，由此可证得∠EOD=∠BOF，即可求出∠EOD的度数.
18．【答案】（1）解：如图，MN为所求
（2）解：若F在射线OM上，
∵MN⊥AB，OE⊥CD，
∴∠AOC+∠COM=90°，∠EOF+∠COM=90°，
则∠EOF＝∠AOC＝35°；
若F'在射线ON上，
∵MN⊥AB，OE⊥CD，
∴∠DON=∠COM=90°-∠AOC=55°，∠EOD=90°
则∠EOF'＝∠DOE＋∠DON＝145°；
综上所述，∠EOF的度数为35°或145°；
（3）解：∵∠BOD：∠DOA=1：5
∴∠BOD：∠BOC＝1：5，
∴∠BOD＝ ∠COD＝30°，
∴∠AOC＝30°，
又∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∴∠AOE＝90°＋30°＝120°.
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义即可作图；（2）分F在射线OM上和在射线ON上分别进行求解即可；（3）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数.
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