苏科版初中数学八年级上册 1.3 探索三角形全等的条件-ASA 同步训练 （基础版）
一、单选题
1．（2021八上·宜州期末）如图，乐乐书上的三角形墨迹污染了一部分，很快他就画出一个三角形与书上的三角形全等，这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八上·花都期中）如图，在△ABD与△ACD中，已知∠CAD=∠BAD，在不添加任何辅助线的前提下，依据“ASA”证明△ABD≌△ACD，需再添加一个条件，正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．∠BDE=∠CDE C．AB=AC D．BD=CD
3．（2020八上·无锡月考）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
4．（2019八上·无锡期中）如图，AC=DF，∠1=∠2，如果根据“ASA”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（ ）
A．∠A=∠D B．AB=DE C．∠A=∠E D．∠B=∠E
5．（2020八上·朝阳期末）如图， ，若依据“ASA”证明 ，则需添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·方城期末）如图，AD、BC相交于点O， ， ，下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八下·万州期末）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2021八上·溧水期末）如图，点B、C、E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则下列与BC相等的线段是（ ）
A．AC B．AF C．CF D．EF
9．（2020八上·马鞍山期末）如图， 的面积为 ， 为 的角平分线，过点A作 于P，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021八下·爱辉期末）如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．（2019八上·东台期中）已知，如图：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，若以“ASA”为依据，还要添加的条件为 .
12．（2020八上·泰州月考）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，要说明△ABC≌△DEF，若以“ASA”为依据，还要添加的条件为 .
13．（2020八上·永昌期中）如图，已知AB=AC，D、E分别为AB、AC上两点，∠B=∠C，AC=8cm，AD=5cm，则CE= cm.
14．（2020八上·宝应月考）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点.若AB＝13cm，CF＝7cm，则BD＝ cm.
15．（2021八上·苏州期末）如图，点 在 上， ，则 ．
16．（2021八上·石阡期末）在Rt ，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm.
17．（2020八上·通河期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为边BC中点，DE⊥DF，若四边形AEDF的面积是4，则等腰直角△ABC的面积为 ．
18．（2019八上·恩施期中）△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠B′，AB=B′C′，增加条件 可使△ABC≌△B′C′A′（ASA）.
三、解答题
19．（2020八上·襄城期中）如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，AB∥DE.求证：AC=DF.
20．（2020八上·余杭期末）如图，已知点 ， ， ， 在同一条直线上， ，且 ， .求证： .
21．（2021八上·黄陂期末）如图， 于 于 .
求证： .
22．（2021八上·宜兴月考）如图，点D在 上，点E在 上， ， ，求证： .
23．（2020八上·泰州月考）已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证： ABD≌ EBC.
24．（2021八下·合山月考）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE，作BF⊥AE于点O，且点F在CD边上。
（1）求证：△ABE≌△BCF。
（2）若CE=1，CF=2，求AE的长。
25．（2019八上·信阳期中）已知：如图， ，
（1）求证：
（2）求证：
26．（2021八上·拱墅期末）如图，AC与BD相交于点O，且 ， .
（1）求证： ；
（2）直线EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，试判断OE与OF是否相等，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的两角和他们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
故答案为：B.
【分析】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”,据此即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：在△ABD与△ACD中，∵∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴根据ASA只要证明∠ADC=∠ADB即可，
∴可以添加∠BDE=∠CDE即可，
故答案为：B.
【分析】根据题目条件，结合ASA可知只要证明∠ADC=∠ADB即可，可以添加∠BDE=∠CDE即可．
3．【答案】B
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：带②去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃.
故答案为：B.
【分析】根据三角形全等的判定“有两角及夹边的两个三角形全等”可求解.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：需要补充的条件是∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的判定方法ASA只要找出夹AC及DF的另一个角对应相等即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴依据“ASA”证明△ACD≌△ABD，
需添加的一个条件是∠ADC=∠ADB．
故答案为：B．
【分析】根据“ASA”证明三角形全等的方法逐项判定即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：在 和 中
， ≌ ，
， ， ，
、B、D选项正确；
OC与OB不一定相等，C选项错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 根据全等三角形的判定定理ASA，证明 ≌ ，由全等三角形的性质得到 ， ， ，进而得到答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，
∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠PMH＝∠HNQ，
在△MQP和△NQH中，
，
∴△MQP≌△NQH（ASA），
∴PQ＝QH＝5，
∵NQ＝MQ＝9，
∴MH＝MQ﹣HQ＝8﹣5＝4，
故答案为：B.
【分析】由题意根据等角的余角相等可得∠PMH＝∠HNQ，用角边角可证△MQP≌△NQH，由全等三角形的对应边相等可得PQ=QH，结合已知并根据线段的构成MH＝MQ﹣HQ可求解.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠B＝∠ACF＝60°，
，
∵AB＝CE，∠B＝∠E，
，
，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理及平角的定义得出∠BAC=∠FCE，从而利用ASA证△ABC≌△CEF， 再根据全等三角形的对应边相等即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，延长 交 于点 ，
垂直 的平分线 于 ，
∴∠APB=∠QPB=90°，又∠ABP=∠QBP，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP（ASA），
，
， ，
，
故答案为： ．
【分析】延长 交 于点 ，则由条件可知 ， ，则阴影部分的面积为的一半，可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，
∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
，
∴△OAF≌△BCD．
∴BD＝OF＝1，
∴OE＝4+1＝5，
∴OB＝ ．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．
故答案为：C．
【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，因为四边形OABC是平行四边形，得出OA＝BC，由平行四边形的性质可得出∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求。
11．【答案】∠A=∠D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】添加∠ACB=∠F或AC∥DF后可根据ASA判定△ABC≌△DEF.
故填∠A=∠D.
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，加∠A=∠D即可.
12．【答案】∠ACB=∠DFE
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】∠ACB=∠DFE，
理由为：
∵AB∥DE，
∴∠B=∠E，
∵BF=CE，
∴BF+ CF =CE+ CF，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
故答案为：∠ACB=∠DFE.
【分析】已知AB∥DE，可得∠B=∠E，已知了一组对应角和对应边相等，若以“ASA”为依据，只需再添加一组对应角相等即可.
13．【答案】3
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：在△ACD和△ABE中
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD=AE，
∵AD=5cm，
∴AE=5cm
∵AC=8cm，
∴CE=AC-AE=8-5=3cm.
故答案为：3
【分析】根据全等三角形的判定推出△ACD≌△ABE，根据全等三角形的性质得出AD=AE，即可求出答案.
14．【答案】6
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵E为DF的中点，
∴DE=FE，
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF＝9cm，
∵AB＝13cm，
∴BD＝13﹣7＝6cm.
故答案为：6.
【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE＝∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB＝13cm即可求出BD的长.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】∵∠CAD=∠BAE，
∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴AD=AC，∠ACB=∠ADE，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠CAD=45°，
∴∠ADC=67.5°，
∴∠ACB=67.5°，
故答案为：67.5．
【分析】利用已知条件可证得∠BAC=∠DAE，利用ASA证明△ABC≌△AED，再利用全等三角形的性质，可证得AD=AC，∠ACB=∠ADE，利用等边对等角可得到∠ACD=∠ADC，利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数.
16．【答案】3
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°.
∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中，
∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°，
∴△ABC≌△FEC（ASA）.
∴AC=EF.
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5﹣2=3cm.
故答案为：3.
【分析】由同角的余角相等可得∠ECF=∠B，由“角边角”可证△ABC≌△FEC，根据全等三角形的性质和线段的和差可得结果.
17．【答案】8
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边BC中点，
∴AD⊥BC，AD＝CD，∠DAE＝∠C＝45°，
∴∠ADE+∠ADF＝∠CDF+∠ADF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴△ADE的面积＝△CDF的面积，
∴四边形AEDF的面积＝△ACD的面积＝4，
∴S△ABC＝2S△ACD＝8，
故答案为：8．
【分析】连接AD，根据ASA可证△ADE≌△CDF，可得△ADE的面积＝△CDF的面积，从而得出四边形AEDF的面积＝△ACD的面积＝4，根据等腰直角三角形的性质可得S△ABC＝2S△ACD，据此即得结论.
18．【答案】∠B=∠C′
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：添加：∠B=∠C′，
理由：如图所示：
在△ABC和△B′C′A′中
∴△ABC≌△B′C′A′（ASA）.
【分析】由于两三角形中已经具有 ∠A=∠B′，AB=B′C′， 且要根据ASA判断两个三角形全等，故只能添加∠B=∠C′.
19．【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
∴AC=DF
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF，据此可得结论.
20．【答案】证明： ，
，
在 和 中，
，
，
即 .
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据ASA可判定 ，可得 ，即可得 .
21．【答案】证明： ，
，
又
，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先证明 ，再根据 证明 ，然后根据全等三角形的对应边相等得出AB=CD.
22．【答案】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】易证△ACD≌△ABE，由全等三角形的对应边相等可得结论.
23．【答案】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EBD＝∠2＋∠EBD，
∴∠ABD＝∠EBC，
在 ABD和 EBC中，
，
∴ ABD≌ EBC（ASA）.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据∠1＝∠2，可得∠ABD＝∠EBC，然后结合∠C＝∠D，BC＝BD，利用ASA可证明 ABD≌ EBC.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= BC，∠ABC=∠BCD= 90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEB= 90°，
又∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FBC， ．
∴△ABE≌OBCF(ASA)；
（2）∵△ABE≌△BCF，
∴BE=CF= 2，
∴AB=BC=3，
∴AE=
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB= BC，∠ABC=∠BCD= 90°，利用余角的性质可推出∠BAE=∠FBC， 然后利用ASA可证得结论.
（2）利用全等三角形的对应边相等可求出BE的长，再求出AB的长，然后利用勾股定理求出AE的长.
25．【答案】（1）证明：在 和 中，
（2）证明： ，
,
.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据AAS即可判断；
（2）利用全等三角形的对应边相等得出BP=CP，再根据等边对等角即可证明.
26．【答案】（1）证明：由题可知，
在△AOB与△COD中，
，
，
，
；
（2）OE=OF，理由如下：
由（1）可知： ，
∴∠A=∠C，
在△AOE于△COF中，
，
.
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等可得∠AOB=∠COD，利用边角边可证△AOB≌△COD，可得∠B=∠D，然后根据内错角相等两直线平行得出结论；
（2）由（1）可得 ∠A=∠C ，再根据角边角可证△AOE≌△COF，最后根据全等三角形的对应边相等可得结果.
1 / 1苏科版初中数学八年级上册 1.3 探索三角形全等的条件-ASA 同步训练 （基础版）
一、单选题
1．（2021八上·宜州期末）如图，乐乐书上的三角形墨迹污染了一部分，很快他就画出一个三角形与书上的三角形全等，这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的两角和他们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
故答案为：B.
【分析】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”,据此即可得出答案.
2．（2019八上·花都期中）如图，在△ABD与△ACD中，已知∠CAD=∠BAD，在不添加任何辅助线的前提下，依据“ASA”证明△ABD≌△ACD，需再添加一个条件，正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．∠BDE=∠CDE C．AB=AC D．BD=CD
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：在△ABD与△ACD中，∵∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴根据ASA只要证明∠ADC=∠ADB即可，
∴可以添加∠BDE=∠CDE即可，
故答案为：B.
【分析】根据题目条件，结合ASA可知只要证明∠ADC=∠ADB即可，可以添加∠BDE=∠CDE即可．
3．（2020八上·无锡月考）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配一块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【答案】B
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：带②去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃.
故答案为：B.
【分析】根据三角形全等的判定“有两角及夹边的两个三角形全等”可求解.
4．（2019八上·无锡期中）如图，AC=DF，∠1=∠2，如果根据“ASA”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（ ）
A．∠A=∠D B．AB=DE C．∠A=∠E D．∠B=∠E
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：需要补充的条件是∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的判定方法ASA只要找出夹AC及DF的另一个角对应相等即可.
5．（2020八上·朝阳期末）如图， ，若依据“ASA”证明 ，则需添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴依据“ASA”证明△ACD≌△ABD，
需添加的一个条件是∠ADC=∠ADB．
故答案为：B．
【分析】根据“ASA”证明三角形全等的方法逐项判定即可。
6．（2021八上·方城期末）如图，AD、BC相交于点O， ， ，下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：在 和 中
， ≌ ，
， ， ，
、B、D选项正确；
OC与OB不一定相等，C选项错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、 根据全等三角形的判定定理ASA，证明 ≌ ，由全等三角形的性质得到 ， ， ，进而得到答案.
7．（2021八下·万州期末）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，
∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠PMH＝∠HNQ，
在△MQP和△NQH中，
，
∴△MQP≌△NQH（ASA），
∴PQ＝QH＝5，
∵NQ＝MQ＝9，
∴MH＝MQ﹣HQ＝8﹣5＝4，
故答案为：B.
【分析】由题意根据等角的余角相等可得∠PMH＝∠HNQ，用角边角可证△MQP≌△NQH，由全等三角形的对应边相等可得PQ=QH，结合已知并根据线段的构成MH＝MQ﹣HQ可求解.
8．（2021八上·溧水期末）如图，点B、C、E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则下列与BC相等的线段是（ ）
A．AC B．AF C．CF D．EF
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠B＝∠ACF＝60°，
，
∵AB＝CE，∠B＝∠E，
，
，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理及平角的定义得出∠BAC=∠FCE，从而利用ASA证△ABC≌△CEF， 再根据全等三角形的对应边相等即可得出答案.
9．（2020八上·马鞍山期末）如图， 的面积为 ， 为 的角平分线，过点A作 于P，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，延长 交 于点 ，
垂直 的平分线 于 ，
∴∠APB=∠QPB=90°，又∠ABP=∠QBP，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP（ASA），
，
， ，
，
故答案为： ．
【分析】延长 交 于点 ，则由条件可知 ， ，则阴影部分的面积为的一半，可得出答案。
10．（2021八下·爱辉期末）如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，
∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
，
∴△OAF≌△BCD．
∴BD＝OF＝1，
∴OE＝4+1＝5，
∴OB＝ ．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．
故答案为：C．
【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，因为四边形OABC是平行四边形，得出OA＝BC，由平行四边形的性质可得出∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求。
二、填空题
11．（2019八上·东台期中）已知，如图：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，若以“ASA”为依据，还要添加的条件为 .
【答案】∠A=∠D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】添加∠ACB=∠F或AC∥DF后可根据ASA判定△ABC≌△DEF.
故填∠A=∠D.
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，加∠A=∠D即可.
12．（2020八上·泰州月考）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，要说明△ABC≌△DEF，若以“ASA”为依据，还要添加的条件为 .
【答案】∠ACB=∠DFE
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】∠ACB=∠DFE，
理由为：
∵AB∥DE，
∴∠B=∠E，
∵BF=CE，
∴BF+ CF =CE+ CF，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
故答案为：∠ACB=∠DFE.
【分析】已知AB∥DE，可得∠B=∠E，已知了一组对应角和对应边相等，若以“ASA”为依据，只需再添加一组对应角相等即可.
13．（2020八上·永昌期中）如图，已知AB=AC，D、E分别为AB、AC上两点，∠B=∠C，AC=8cm，AD=5cm，则CE= cm.
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：在△ACD和△ABE中
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD=AE，
∵AD=5cm，
∴AE=5cm
∵AC=8cm，
∴CE=AC-AE=8-5=3cm.
故答案为：3
【分析】根据全等三角形的判定推出△ACD≌△ABE，根据全等三角形的性质得出AD=AE，即可求出答案.
14．（2020八上·宝应月考）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点.若AB＝13cm，CF＝7cm，则BD＝ cm.
【答案】6
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵E为DF的中点，
∴DE=FE，
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF＝9cm，
∵AB＝13cm，
∴BD＝13﹣7＝6cm.
故答案为：6.
【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE＝∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB＝13cm即可求出BD的长.
15．（2021八上·苏州期末）如图，点 在 上， ，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】∵∠CAD=∠BAE，
∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴AD=AC，∠ACB=∠ADE，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠CAD=45°，
∴∠ADC=67.5°，
∴∠ACB=67.5°，
故答案为：67.5．
【分析】利用已知条件可证得∠BAC=∠DAE，利用ASA证明△ABC≌△AED，再利用全等三角形的性质，可证得AD=AC，∠ACB=∠ADE，利用等边对等角可得到∠ACD=∠ADC，利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数.
16．（2021八上·石阡期末）在Rt ，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm.
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°.
∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中，
∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°，
∴△ABC≌△FEC（ASA）.
∴AC=EF.
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5﹣2=3cm.
故答案为：3.
【分析】由同角的余角相等可得∠ECF=∠B，由“角边角”可证△ABC≌△FEC，根据全等三角形的性质和线段的和差可得结果.
17．（2020八上·通河期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为边BC中点，DE⊥DF，若四边形AEDF的面积是4，则等腰直角△ABC的面积为 ．
【答案】8
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边BC中点，
∴AD⊥BC，AD＝CD，∠DAE＝∠C＝45°，
∴∠ADE+∠ADF＝∠CDF+∠ADF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴△ADE的面积＝△CDF的面积，
∴四边形AEDF的面积＝△ACD的面积＝4，
∴S△ABC＝2S△ACD＝8，
故答案为：8．
【分析】连接AD，根据ASA可证△ADE≌△CDF，可得△ADE的面积＝△CDF的面积，从而得出四边形AEDF的面积＝△ACD的面积＝4，根据等腰直角三角形的性质可得S△ABC＝2S△ACD，据此即得结论.
18．（2019八上·恩施期中）△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠B′，AB=B′C′，增加条件 可使△ABC≌△B′C′A′（ASA）.
【答案】∠B=∠C′
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：添加：∠B=∠C′，
理由：如图所示：
在△ABC和△B′C′A′中
∴△ABC≌△B′C′A′（ASA）.
【分析】由于两三角形中已经具有 ∠A=∠B′，AB=B′C′， 且要根据ASA判断两个三角形全等，故只能添加∠B=∠C′.
三、解答题
19．（2020八上·襄城期中）如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，AB∥DE.求证：AC=DF.
【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
∴AC=DF
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF，据此可得结论.
20．（2020八上·余杭期末）如图，已知点 ， ， ， 在同一条直线上， ，且 ， .求证： .
【答案】证明： ，
，
在 和 中，
，
，
即 .
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据ASA可判定 ，可得 ，即可得 .
21．（2021八上·黄陂期末）如图， 于 于 .
求证： .
【答案】证明： ，
，
又
，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先证明 ，再根据 证明 ，然后根据全等三角形的对应边相等得出AB=CD.
22．（2021八上·宜兴月考）如图，点D在 上，点E在 上， ， ，求证： .
【答案】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】易证△ACD≌△ABE，由全等三角形的对应边相等可得结论.
23．（2020八上·泰州月考）已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证： ABD≌ EBC.
【答案】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EBD＝∠2＋∠EBD，
∴∠ABD＝∠EBC，
在 ABD和 EBC中，
，
∴ ABD≌ EBC（ASA）.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据∠1＝∠2，可得∠ABD＝∠EBC，然后结合∠C＝∠D，BC＝BD，利用ASA可证明 ABD≌ EBC.
24．（2021八下·合山月考）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE，作BF⊥AE于点O，且点F在CD边上。
（1）求证：△ABE≌△BCF。
（2）若CE=1，CF=2，求AE的长。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= BC，∠ABC=∠BCD= 90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEB= 90°，
又∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FBC， ．
∴△ABE≌OBCF(ASA)；
（2）∵△ABE≌△BCF，
∴BE=CF= 2，
∴AB=BC=3，
∴AE=
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB= BC，∠ABC=∠BCD= 90°，利用余角的性质可推出∠BAE=∠FBC， 然后利用ASA可证得结论.
（2）利用全等三角形的对应边相等可求出BE的长，再求出AB的长，然后利用勾股定理求出AE的长.
25．（2019八上·信阳期中）已知：如图， ，
（1）求证：
（2）求证：
【答案】（1）证明：在 和 中，
（2）证明： ，
,
.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据AAS即可判断；
（2）利用全等三角形的对应边相等得出BP=CP，再根据等边对等角即可证明.
26．（2021八上·拱墅期末）如图，AC与BD相交于点O，且 ， .
（1）求证： ；
（2）直线EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，试判断OE与OF是否相等，并说明理由.
【答案】（1）证明：由题可知，
在△AOB与△COD中，
，
，
，
；
（2）OE=OF，理由如下：
由（1）可知： ，
∴∠A=∠C，
在△AOE于△COF中，
，
.
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等可得∠AOB=∠COD，利用边角边可证△AOB≌△COD，可得∠B=∠D，然后根据内错角相等两直线平行得出结论；
（2）由（1）可得 ∠A=∠C ，再根据角边角可证△AOE≌△COF，最后根据全等三角形的对应边相等可得结果.
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