苏科版初中数学八年级上册 1.3 探索三角形全等的条件-HL 同步训练 （基础版）
一、单选题
1．（2020八下·铜仁期末）如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，据此可以证明△BAD≌△BCD，证明的依据是 （ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴在Rt△BAD和Rt△BCD中，
AB＝CB， BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD (HL)，
故答案为：D.
【分析】由题意可知，两个直角三角形中有一对相等的直角边，还有一对斜边边BD是公共边，所以可用HL定理证明两个三角形全等.
2．如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，可说明三角形全等的方法是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSA D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边，BC、BD是对应的直角边，
∴利用（HL）可说明三角形全等．
故答案为：D
【分析】根据有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等即可求解。
3．（2020八上·苍南期末）如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．DC=BA B．EC=FA C．∠D=∠B D．∠DCE=BAF
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵DE=BF，
∴当添加斜边相等时，即DC=BA时， 可利用“HL”证明△DEC≌△BFA.
故选A.
【分析】 利用“HL”证明Rt△DEC≌Rt△BFA时，已知一对直角边相等（DE=BF），只需要添加斜边相等，据此判断即可.
4．（2019八上·重庆月考）如图，已知 ，添加下列条件后，仍不能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在△ABC和△ADC中，已知 ，AC=AC，
A、添加 后，可根据SSS判定 ，所以本选项不符合题意；
B、添加 后，可根据SAS判定 ，所以本选项不符合题意；
C、添加 后，不能判定 ，所以本选项符合题意；
D、添加 后，可根据HL判定 ，所以本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】在△ABC和△ADC中，由已知和公共边AC，根据SSS，添加 后判定 ，故A不符合题意；根据SAS，添加 后判定 ，故B不符合题意；
根据HL，添加后判定 ，故D不符合题意；添加后，不能判定 ，因为SSA不能判定两三角形全等，故只有C符合题意.综上可得不能判定 的选项条件.
5．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故答案为：B．
【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值．
6．（2019八上·黔南期末）如图，BE=CF，AE⊥BC．DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需添加的一个条件是（ ）。
A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ AE⊥BC．DF⊥BC ，∴∠DFC=∠AEB=90°，
A、如果添加： AE=DF ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ BE=CF ， ∠DFC=∠AEB=90°，AE=DF ，∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (SAS），故A不符合题意；
B、如果添加： ∠A=∠D ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°， ∠A=∠D ，BE=CF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (AAS），故B不符合题意；
C、如果添加： ∠B=∠C ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°，BE=CF ， ∠B=∠C ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (ASA），故C不符合题意；
D、如果添加： AB=DC ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ AB=DC ，BE=CF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (HL），故D符合题意.
故答案为：D。
【分析】根据全等三角形的判定方法：
A、如果添加： AE=DF ，可以利用SAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
B、如果添加：∠A=∠D ，可以利用AAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
C、如果添加： ∠B=∠C ，可以利用ASA判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
D、如果添加： AB=DC ，可以利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△DCF .
7．（2019八下·宁德期末）如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．EC＝FA B．DC＝BA
C．∠D＝∠B D．∠DCE＝∠BAF
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°，
∵DE＝BF，
∴当添加条件DC＝BA时，可利用“HL”证明△DEC≌△BFA．
故答案为：B．
【分析】根据“HL”的判定方法逐项进行判断，即斜边和一组直角边对应相等.
8．（2019八上·荣隆镇月考）有下列条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等.其中能判定两直角三角形全等的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：①两条直角边对应相等，根据“SAS”，正确；
②斜边和一锐角对应相等，根据“AAS”，正确；
③斜边和一直角边对应相等，根据“HL”，正确；
④直角边和一锐角对应相等，根据“ASA”或“AAS”，正确；
故答案为：D.
【分析】根据“SAS”,两条直角边对应相等,两直角肯定也对应相等，能判定两直角三角形全等 ,故①正确；根据“AAS”，斜边和一锐角对应相等，两直角肯定也对应相等，能判定两直角三角形全等 ,故②正确；根据“HL”，斜边和一直角边对应相等，由勾股定理可得另一直角边也相等，根据“SSS”，故③也正确;根据“ASA”或“AAS”,直角边和一锐角对应相等,那么另一锐角和直角也对应相等，故④正确.
综上可得能判定两直角三角形全等的条件的个数.
9．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（ ）
A．AC=A′C′，BC=B′C′ B．∠A=∠A′，AB=A′B′
C．AC=A′C′，AB=A′B′ D．∠B=∠B′，BC=B′C′
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，
Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，
故选C．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BC=BD．如果AC=3cm，那么AE+DE=（ ）
A．2 cm B．4 cm C．3 cm D．5 cm
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵DE⊥AB于D，
在 和 中，
，
∴ED=CE
.∴AE+ED=AE+CE=AC=3cm
故答案为：C
【分析】首先根据BC=BD，EB=EB利用HL判断出Rt△BDE Rt△BCE，根据猤三角形对应边相等得出ED=CE，根据线段的和差及等量代换即可得出结论。
二、填空题
11．（2019八上·广西期中）在 Rt△ABC
和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AB=DE,AC=DF,所以 Rt△ABC Rt△DEF.
【答案】≌
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解:在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故填：≌
【分析】利用HL即可判定Rt△ABC≌Rt△DEF.
12．（2016八上·淮阴期末）如图，已知AB=AD，要使△ABC≌△ADC，那么应添加的一个条件是 ．
【答案】答案不唯一，CB=CD，或∠BAC=∠DAC，或∠B=∠D=90°等．
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC；②添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC；③添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC；
故答案是：答案不唯一，CB=CD，或∠BAC=∠DAC，或∠B=∠D=90°等．
【分析】考查全等的判定，SSS、SAS、HL
13．（2020八上·伊通期末）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．
故答案是：55°．
【分析】根据∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD=35°，根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CFD，再利用全等三角形的性质求解即可。
14．（2020八上·翼城期末）如图， 和 中， ，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你添加一个条件 使 和 全等．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：当 时满足条件；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
故答案是： （答案不唯一）．
【分析】利用“HL”证明三角形全等的判定方法，添加斜边相等即可。
15．（2020八上·临河月考）如图， ， ， ，则 ．
【答案】90°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】证明：∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
在Rt△ACB和Rt△DCE中，
,
∴Rt△ACB≌Rt△DCE（HL），
∴∠A=∠D，
又∵在Rt△ACB中，∠A+∠B=90°，
∴∠B+∠D=90°．
故答案为：90°．
【分析】求出∠ACB=∠DCE=90°，根据HL证Rt△ACB≌Rt△DCE，推出∠A=∠D，根据三角形内角和定理得出即可．
16．（2020八上·无锡月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝5 cm，则△BDE的周长为 .
【答案】5cm
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在△ACD和△AED中, AD=AD，CD=DE，
∴△ACD≌△AED(HL)，
∴AC=AE，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∵AB=5cm，
∴△BDE的周长=5cm.
故答案为：5cm.
【分析】由角平分线的性质可得CD=DE，根据HL可证△ACD≌△AED，可得AC=AE，利用△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB即可求出结论.
17．（2020八上·襄汾期中）如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ， ，则 的长是 ．
【答案】6
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中 ，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，
∴DE＝CD CE＝10 4＝6，
故答案为：6．
【分析】先求出∠AEC＝∠D＝90°，再证明Rt△AEC≌Rt△CDB，即可求解。
18．（2020八上·北部湾月考）如图，在 中， ， ， ，射线 于点A，点E、D分别在线段 和射线 上运动，并始终保持 ，要使 和 全等，则 的长为 .
【答案】5或12
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①当AE=CB时，
∵∠B=∠EAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△DAE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DAE（HL），
即AE=BC=5；
②当E运动到与B点重合时，AE=AB，
在Rt△CBA与Rt△DAE中，
，
∴Rt△CBA≌Rt△DAE（HL），
即AE=AB=12，
∴当点E与点B重合时，△CBA才能和△DAE全等.
综上所述，AE=5或12.
故答案为：5或12.
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△DAE，此时AE=BC=5，可据此求出E点的位置.②Rt△CBA≌Rt△DAE，此时AE=AB=12，E、B重合.
三、解答题
19．（2020八上·珠海期中）如图，已知 ，垂足分别为点 ，且 ．
求证：
【答案】解：
在 和 中
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】证得AB=DE，根据HL证明两个三角形全等即可．
20．（2021八上·姜堰月考）已知，如图AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，且BC=DC.求证：BE=DF.
【答案】证明： 平分 ， 于E 于F，
， .
在 和 中
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】由垂直的概念以及角平分线的性质可得∠F=∠CEB=90°，CE=CF，证明△CEB≌△CFD，据此可得结论.
21．（2020八上·诸暨期中）已知：如图，∠C=∠D=90°，AD=BC.求证：∠ABC=∠BAD.
【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵AB=BA，AD=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠ABC=∠BAD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据HL可证Rt△ABC≌Rt△BAD，利用全等三角形的对应角相等可得∠ABC=∠BAD.
22．已知：AB＝CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且CE＝BF 。
求证：AB∥CD.
【答案】证明：∵CE=BF
∴CF=BE
∵∠AEB=∠DFC，AB=CD
∴△AEB△DFC（HL）
∴∠ABE=∠DCF
∴AB‖CD
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】几何证明，掌握平行定理.
23．（2021八上·宜兴月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性.
【答案】解：猜想：BF⊥AE.
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD=90°.
又BC=AC，BD=AE，
∴△BDC≌△AEC（HL）.
∴∠CBD=∠CAE.
又∴∠CAE+∠E=90°.
∴∠EBF+∠E=90°.
∴∠BFE=90°，即BF⊥AE.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】易得∠ACE=∠BCD=90°，证明△BDC≌△AEC，得到∠CBD=∠CAE，推出∠BFE=90°，据此解答.
24．（2021八上·邗江期末）如图，点C、F在线段BE上，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，请只添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF.
（1）根据“ASA”，需添加的条件是 ；根据“HL”，需添加的条件是 ；
（2）请从（1）中选择一种，加以证明.
【答案】（1）∠ACB＝∠DFE；AC＝DF
（2）解：选择添加条件AC＝DE证明，
证明：∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）根据“ASA”，需添加的条件是∠ACB＝∠DFE，根据“HL”，需添加的条件是AC＝DF，
故答案为：∠ACB＝∠DFE，AC＝DF；
【分析】（1）根据题意添加条件即可；
（2）选择添加条件AC＝DE，根据“HL”证明即可.
25．（2021八上·卧龙期末）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数.
【答案】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE.
又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF.
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°.
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF.
∴∠DEF＝39°.
∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°.
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性质即可求解.
26．（2021八上·桐梓期末）如图， .
（1）求证： ；
（2）试判断 与 的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，
在Rt△ABE与Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（HL），
∴△ABE≌△ECD；
（2）解：AE⊥DE.
理由如下：
∵△ABE≌△ECD，
∴∠AEB=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DE.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）先根据AB⊥BC，DC⊥BC，得出∠B=∠C=90°，再由HL可证Rt△ABE≌Rt△ECD；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出 ∠AEB=∠EDC， 余角的性质可得∠AEB+∠DEC=90°，故∠AED=90°，由此可得出结论.
1 / 1苏科版初中数学八年级上册 1.3 探索三角形全等的条件-HL 同步训练 （基础版）
一、单选题
1．（2020八下·铜仁期末）如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，据此可以证明△BAD≌△BCD，证明的依据是 （ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．HL
2．如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，可说明三角形全等的方法是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSA D．HL
3．（2020八上·苍南期末）如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．DC=BA B．EC=FA C．∠D=∠B D．∠DCE=BAF
4．（2019八上·重庆月考）如图，已知 ，添加下列条件后，仍不能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
6．（2019八上·黔南期末）如图，BE=CF，AE⊥BC．DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需添加的一个条件是（ ）。
A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC
7．（2019八下·宁德期末）如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．EC＝FA B．DC＝BA
C．∠D＝∠B D．∠DCE＝∠BAF
8．（2019八上·荣隆镇月考）有下列条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等.其中能判定两直角三角形全等的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（ ）
A．AC=A′C′，BC=B′C′ B．∠A=∠A′，AB=A′B′
C．AC=A′C′，AB=A′B′ D．∠B=∠B′，BC=B′C′
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BC=BD．如果AC=3cm，那么AE+DE=（ ）
A．2 cm B．4 cm C．3 cm D．5 cm
二、填空题
11．（2019八上·广西期中）在 Rt△ABC
和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AB=DE,AC=DF,所以 Rt△ABC Rt△DEF.
12．（2016八上·淮阴期末）如图，已知AB=AD，要使△ABC≌△ADC，那么应添加的一个条件是 ．
13．（2020八上·伊通期末）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
14．（2020八上·翼城期末）如图， 和 中， ，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你添加一个条件 使 和 全等．
15．（2020八上·临河月考）如图， ， ， ，则 ．
16．（2020八上·无锡月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝5 cm，则△BDE的周长为 .
17．（2020八上·襄汾期中）如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ， ，则 的长是 ．
18．（2020八上·北部湾月考）如图，在 中， ， ， ，射线 于点A，点E、D分别在线段 和射线 上运动，并始终保持 ，要使 和 全等，则 的长为 .
三、解答题
19．（2020八上·珠海期中）如图，已知 ，垂足分别为点 ，且 ．
求证：
20．（2021八上·姜堰月考）已知，如图AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，且BC=DC.求证：BE=DF.
21．（2020八上·诸暨期中）已知：如图，∠C=∠D=90°，AD=BC.求证：∠ABC=∠BAD.
22．已知：AB＝CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且CE＝BF 。
求证：AB∥CD.
23．（2021八上·宜兴月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性.
24．（2021八上·邗江期末）如图，点C、F在线段BE上，∠ABC＝∠DEF＝90°，BC＝EF，请只添加一个合适的条件使△ABC≌△DEF.
（1）根据“ASA”，需添加的条件是 ；根据“HL”，需添加的条件是 ；
（2）请从（1）中选择一种，加以证明.
25．（2021八上·卧龙期末）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数.
26．（2021八上·桐梓期末）如图， .
（1）求证： ；
（2）试判断 与 的位置关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴在Rt△BAD和Rt△BCD中，
AB＝CB， BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD (HL)，
故答案为：D.
【分析】由题意可知，两个直角三角形中有一对相等的直角边，还有一对斜边边BD是公共边，所以可用HL定理证明两个三角形全等.
2．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边，BC、BD是对应的直角边，
∴利用（HL）可说明三角形全等．
故答案为：D
【分析】根据有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等即可求解。
3．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵DE=BF，
∴当添加斜边相等时，即DC=BA时， 可利用“HL”证明△DEC≌△BFA.
故选A.
【分析】 利用“HL”证明Rt△DEC≌Rt△BFA时，已知一对直角边相等（DE=BF），只需要添加斜边相等，据此判断即可.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在△ABC和△ADC中，已知 ，AC=AC，
A、添加 后，可根据SSS判定 ，所以本选项不符合题意；
B、添加 后，可根据SAS判定 ，所以本选项不符合题意；
C、添加 后，不能判定 ，所以本选项符合题意；
D、添加 后，可根据HL判定 ，所以本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】在△ABC和△ADC中，由已知和公共边AC，根据SSS，添加 后判定 ，故A不符合题意；根据SAS，添加 后判定 ，故B不符合题意；
根据HL，添加后判定 ，故D不符合题意；添加后，不能判定 ，因为SSA不能判定两三角形全等，故只有C符合题意.综上可得不能判定 的选项条件.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．
故答案为：B．
【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°-∠1的值．
6．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ AE⊥BC．DF⊥BC ，∴∠DFC=∠AEB=90°，
A、如果添加： AE=DF ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ BE=CF ， ∠DFC=∠AEB=90°，AE=DF ，∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (SAS），故A不符合题意；
B、如果添加： ∠A=∠D ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°， ∠A=∠D ，BE=CF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (AAS），故B不符合题意；
C、如果添加： ∠B=∠C ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ ∠DFC=∠AEB=90°，BE=CF ， ∠B=∠C ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (ASA），故C不符合题意；
D、如果添加： AB=DC ，在Rt△ABE与Rt△DCF ，∵ AB=DC ，BE=CF ， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (HL），故D符合题意.
故答案为：D。
【分析】根据全等三角形的判定方法：
A、如果添加： AE=DF ，可以利用SAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
B、如果添加：∠A=∠D ，可以利用AAS判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
C、如果添加： ∠B=∠C ，可以利用ASA判断出Rt△ABE≌Rt△DCF ；
D、如果添加： AB=DC ，可以利用HL判断出Rt△ABE≌Rt△DCF .
7．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°，
∵DE＝BF，
∴当添加条件DC＝BA时，可利用“HL”证明△DEC≌△BFA．
故答案为：B．
【分析】根据“HL”的判定方法逐项进行判断，即斜边和一组直角边对应相等.
8．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：①两条直角边对应相等，根据“SAS”，正确；
②斜边和一锐角对应相等，根据“AAS”，正确；
③斜边和一直角边对应相等，根据“HL”，正确；
④直角边和一锐角对应相等，根据“ASA”或“AAS”，正确；
故答案为：D.
【分析】根据“SAS”,两条直角边对应相等,两直角肯定也对应相等，能判定两直角三角形全等 ,故①正确；根据“AAS”，斜边和一锐角对应相等，两直角肯定也对应相等，能判定两直角三角形全等 ,故②正确；根据“HL”，斜边和一直角边对应相等，由勾股定理可得另一直角边也相等，根据“SSS”，故③也正确;根据“ASA”或“AAS”,直角边和一锐角对应相等,那么另一锐角和直角也对应相等，故④正确.
综上可得能判定两直角三角形全等的条件的个数.
9．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，
Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，
故选C．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵DE⊥AB于D，
在 和 中，
，
∴ED=CE
.∴AE+ED=AE+CE=AC=3cm
故答案为：C
【分析】首先根据BC=BD，EB=EB利用HL判断出Rt△BDE Rt△BCE，根据猤三角形对应边相等得出ED=CE，根据线段的和差及等量代换即可得出结论。
11．【答案】≌
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解:在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故填：≌
【分析】利用HL即可判定Rt△ABC≌Rt△DEF.
12．【答案】答案不唯一，CB=CD，或∠BAC=∠DAC，或∠B=∠D=90°等．
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC；②添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC；③添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC；
故答案是：答案不唯一，CB=CD，或∠BAC=∠DAC，或∠B=∠D=90°等．
【分析】考查全等的判定，SSS、SAS、HL
13．【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．
故答案是：55°．
【分析】根据∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD=35°，根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CFD，再利用全等三角形的性质求解即可。
14．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：当 时满足条件；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
故答案是： （答案不唯一）．
【分析】利用“HL”证明三角形全等的判定方法，添加斜边相等即可。
15．【答案】90°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】证明：∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
在Rt△ACB和Rt△DCE中，
,
∴Rt△ACB≌Rt△DCE（HL），
∴∠A=∠D，
又∵在Rt△ACB中，∠A+∠B=90°，
∴∠B+∠D=90°．
故答案为：90°．
【分析】求出∠ACB=∠DCE=90°，根据HL证Rt△ACB≌Rt△DCE，推出∠A=∠D，根据三角形内角和定理得出即可．
16．【答案】5cm
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在△ACD和△AED中, AD=AD，CD=DE，
∴△ACD≌△AED(HL)，
∴AC=AE，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∵AB=5cm，
∴△BDE的周长=5cm.
故答案为：5cm.
【分析】由角平分线的性质可得CD=DE，根据HL可证△ACD≌△AED，可得AC=AE，利用△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB即可求出结论.
17．【答案】6
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中 ，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，
∴DE＝CD CE＝10 4＝6，
故答案为：6．
【分析】先求出∠AEC＝∠D＝90°，再证明Rt△AEC≌Rt△CDB，即可求解。
18．【答案】5或12
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①当AE=CB时，
∵∠B=∠EAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△DAE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DAE（HL），
即AE=BC=5；
②当E运动到与B点重合时，AE=AB，
在Rt△CBA与Rt△DAE中，
，
∴Rt△CBA≌Rt△DAE（HL），
即AE=AB=12，
∴当点E与点B重合时，△CBA才能和△DAE全等.
综上所述，AE=5或12.
故答案为：5或12.
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△DAE，此时AE=BC=5，可据此求出E点的位置.②Rt△CBA≌Rt△DAE，此时AE=AB=12，E、B重合.
19．【答案】解：
在 和 中
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】证得AB=DE，根据HL证明两个三角形全等即可．
20．【答案】证明： 平分 ， 于E 于F，
， .
在 和 中
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】由垂直的概念以及角平分线的性质可得∠F=∠CEB=90°，CE=CF，证明△CEB≌△CFD，据此可得结论.
21．【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵AB=BA，AD=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠ABC=∠BAD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据HL可证Rt△ABC≌Rt△BAD，利用全等三角形的对应角相等可得∠ABC=∠BAD.
22．【答案】证明：∵CE=BF
∴CF=BE
∵∠AEB=∠DFC，AB=CD
∴△AEB△DFC（HL）
∴∠ABE=∠DCF
∴AB‖CD
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】几何证明，掌握平行定理.
23．【答案】解：猜想：BF⊥AE.
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD=90°.
又BC=AC，BD=AE，
∴△BDC≌△AEC（HL）.
∴∠CBD=∠CAE.
又∴∠CAE+∠E=90°.
∴∠EBF+∠E=90°.
∴∠BFE=90°，即BF⊥AE.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】易得∠ACE=∠BCD=90°，证明△BDC≌△AEC，得到∠CBD=∠CAE，推出∠BFE=90°，据此解答.
24．【答案】（1）∠ACB＝∠DFE；AC＝DF
（2）解：选择添加条件AC＝DE证明，
证明：∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）根据“ASA”，需添加的条件是∠ACB＝∠DFE，根据“HL”，需添加的条件是AC＝DF，
故答案为：∠ACB＝∠DFE，AC＝DF；
【分析】（1）根据题意添加条件即可；
（2）选择添加条件AC＝DE，根据“HL”证明即可.
25．【答案】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE.
又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF.
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°.
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF.
∴∠DEF＝39°.
∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°.
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性质即可求解.
26．【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，
在Rt△ABE与Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（HL），
∴△ABE≌△ECD；
（2）解：AE⊥DE.
理由如下：
∵△ABE≌△ECD，
∴∠AEB=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DE.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）先根据AB⊥BC，DC⊥BC，得出∠B=∠C=90°，再由HL可证Rt△ABE≌Rt△ECD；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出 ∠AEB=∠EDC， 余角的性质可得∠AEB+∠DEC=90°，故∠AED=90°，由此可得出结论.
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