初中数学华师大版八年级上学期第13章13.2.6斜边直角边同步练习
一、单选题
1．（2020八下·铜仁期末）如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，据此可以证明△BAD≌△BCD，证明的依据是 （ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．HL
2．（2020八上·大同期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB两边上分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB．作图过程用到了△OPM≌△OPN，那么△OPM≌△OPN所用的判定定理是（ ）
A．SSS B．SAS C．HL D．ASA
3．（2020八上·苍南期末）如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．DC=BA B．EC=FA C．∠D=∠B D．∠DCE=BAF
4．（2019八上·江津期中）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等。 B．斜边和一锐角对应相等。
C．斜边和一条直角边对应相等。 D．两锐角相等。
5．（2021七下·垦利期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线一点，点E在BC上，且AE＝CF，∠CAE＝30°，则∠ACF的度数是（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
6．（2021八下·龙华期中）如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
7．（2021八上·南阳期末）在 中， ，E是AB上一点，且 ，过E作 交AC于D，如果 ，则 等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二、填空题
8．（2020八上·五峰期中）如图， 中， 于D，要使 ，若根据“ ”判定，还需要加条件
9．（2020八上·西宁月考）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是
10．（2019八上·广西期中）在 Rt△ABC
和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AB=DE,AC=DF,所以 Rt△ABC Rt△DEF.
11．（2021八下·滦南期末）如图，点A，E，F，C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且AB＝CD．则当点E，F不重合时，BD与EF的关系是 ．
12．（2020八上·伊通期末）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
13．（2017九上·香坊期末）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，连接MN，则△AMN的周长为 ．
三、作图题
14．如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A，B，C，D，E五个点都在小方格的顶点上，现以A，B，C，D，E中的三个点为顶点画三角形．
(1)在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
图甲
(2)在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等．
图乙
四、解答题
15．（2021八上·宜兴月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性.
16．（2021八下·合山月考）如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF
17．（2020八上·渝北期中）如图，在Rt△ABC中，点D为边AB上的一点，点F为线段AB延长线上一点，AD＝BF，AC＝DE且DE⊥EF，求证：∠ABC＝∠F.
五、综合题
18．（2021·三水模拟）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴在Rt△BAD和Rt△BCD中，
AB＝CB， BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD (HL)，
故答案为：D.
【分析】由题意可知，两个直角三角形中有一对相等的直角边，还有一对斜边边BD是公共边，所以可用HL定理证明两个三角形全等.
2．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】在Rt△OMP与Rt△ONP中 ，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠AOP=∠COP，
∴OP平分∠AOC，
故答案为：C.
【分析】根据“HL”可证Rt△OMP≌Rt△ONP，利用全等三角形的对应角相等，可得∠AOP=∠COP，从而求出结论.
3．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵DE=BF，
∴当添加斜边相等时，即DC=BA时， 可利用“HL”证明△DEC≌△BFA.
故选A.
【分析】 利用“HL”证明Rt△DEC≌Rt△BFA时，已知一对直角边相等（DE=BF），只需要添加斜边相等，据此判断即可.
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故答案为：A正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故答案为：B正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故答案为：C正确.
如果在两个直角三角形中，两锐角相等，无法判断两三角形全等，故答案为：D错误.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL即可一一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=15°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）
∴∠BAE=∠BCF=15°，
∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=60°，
故答案为：B．
【分析】由“HL”证出Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE=∠BCF=15°，即可求解。
6．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠BCD＝∠CBE＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形可得∠BCD的度数，再根据“HL”可得△BEC≌△CDB，进而得到∠BCD＝∠CBE，可得∠A的度数。
7．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ，
，
在 和 中
，
≌ ，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS， 根据HL证 ≌ ，推出 ，得出 ，代入求出即可.
8．【答案】AB=AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：还需添加条件AB=AC.
∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
故答案为：AB=AC.
【分析】观察图形可知两个三角形有一条公共边AD，且是直角边，根据HL定理“有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等”可知应添加的条件应该是直角三角形的斜边.
9．【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在 和 中，
，
∴ .
故答案是：HL.
【分析】根据题目条件，利用直角三角形中一组直角边对应相等和斜边对应相等，证明全等.
10．【答案】≌
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解:在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故填：≌
【分析】利用HL即可判定Rt△ABC≌Rt△DEF.
11．【答案】互相平分
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵AE=CF， 点E，F不重合，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
又∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
又∵AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，
∴DE=BF，
又∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，OB=OD，
∴BD和EF互相平分，
故答案为互相平分．
【分析】由已知推出AE+EF=CF+EF，即AF=CE，由DE⊥AC，BF⊥AC，得出∠DEC=∠BFA=90°，即得出Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，即DE=BF，证明得出△DOE≌△BOF，则得出OE=OF，OB=OD，即可得出BD与EF的关系。
12．【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．
故答案是：55°．
【分析】根据∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD=35°，根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CFD，再利用全等三角形的性质求解即可。
13．【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】延长CD、BD，分别交AB于Q，交AC于P，在AC上取一点K，使KP=QM，连接DK，
∵△BDC是顶角为120°的等腰三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BPC=∠CQB=90°，
∴PC= BC，BQ= BC，
∴PC=BQ=AQ=AP= ×5= ，
在Rt△BDQ和Rt△CDP中，
∵ ，
∴Rt△BDQ≌Rt△CDP（HL），
∴DQ=PD，
同理得Rt△DQM≌Rt△DPK，
∴DM=DK，∠QDM=∠PDK，
∵∠BDQ=60°，∠MDN=60°，
∴∠QDM+∠NDP=60°，
∴∠PDK+∠NDP=60°，
即∠NDK=60°，
∴∠NDK=∠MDN=60°，
∵ND=ND，
∴△MDN≌△KDN，
∴MN=NK=NP+PK，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AP+AQ= + =5，
故答案为：5
【分析】做出辅助线，延长CD、BD，分别交AB于Q，交AC于P，在AC上取一点K，使KP=QM，连接DK，根据全等三角形的判定定理，得出Rt△BDQ≌Rt△CDP，Rt△DQM≌Rt△DPK，△MDN≌△KDN，根据全等三角形的性质，可求得△AMN的周长。
14．【答案】解：(1)
(2)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】考查直角三角形全等的判定
15．【答案】解：猜想：BF⊥AE.
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD=90°.
又BC=AC，BD=AE，
∴△BDC≌△AEC（HL）.
∴∠CBD=∠CAE.
又∴∠CAE+∠E=90°.
∴∠EBF+∠E=90°.
∴∠BFE=90°，即BF⊥AE.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】易得∠ACE=∠BCD=90°，证明△BDC≌△AEC，得到∠CBD=∠CAE，推出∠BFE=90°，据此解答.
16．【答案】解：连接BD，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
在Rt△ABD和Rt△BCD中，
∴Rt△ABD≌Rt△BCD(HL)，
∴AD= CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E=∠F= 90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】连接BD，利用垂直的定义可证得∠BAD=∠BCD=90°，利用HL可证得Rt△ABD≌Rt△BCD，利用全等三角形的对应边相等，可得到AD=CD；再利用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF.
17．【答案】证明：∵AD＝BF，
∴AD+BD＝BF+BD，
即AB＝DF，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
在Rt△ACB和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠F.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】 由AD＝BF可推出AB＝DF，然后证明Rt△ACB≌Rt△DEF，据此可得结论.
18．【答案】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）证明：由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由HL可证△AMB≌△CNA即可；
（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由余角关系∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期第13章13.2.6斜边直角边同步练习
一、单选题
1．（2020八下·铜仁期末）如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，据此可以证明△BAD≌△BCD，证明的依据是 （ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴在Rt△BAD和Rt△BCD中，
AB＝CB， BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD (HL)，
故答案为：D.
【分析】由题意可知，两个直角三角形中有一对相等的直角边，还有一对斜边边BD是公共边，所以可用HL定理证明两个三角形全等.
2．（2020八上·大同期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB两边上分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB．作图过程用到了△OPM≌△OPN，那么△OPM≌△OPN所用的判定定理是（ ）
A．SSS B．SAS C．HL D．ASA
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】在Rt△OMP与Rt△ONP中 ，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠AOP=∠COP，
∴OP平分∠AOC，
故答案为：C.
【分析】根据“HL”可证Rt△OMP≌Rt△ONP，利用全等三角形的对应角相等，可得∠AOP=∠COP，从而求出结论.
3．（2020八上·苍南期末）如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．DC=BA B．EC=FA C．∠D=∠B D．∠DCE=BAF
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵DE=BF，
∴当添加斜边相等时，即DC=BA时， 可利用“HL”证明△DEC≌△BFA.
故选A.
【分析】 利用“HL”证明Rt△DEC≌Rt△BFA时，已知一对直角边相等（DE=BF），只需要添加斜边相等，据此判断即可.
4．（2019八上·江津期中）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等。 B．斜边和一锐角对应相等。
C．斜边和一条直角边对应相等。 D．两锐角相等。
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故答案为：A正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故答案为：B正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故答案为：C正确.
如果在两个直角三角形中，两锐角相等，无法判断两三角形全等，故答案为：D错误.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL即可一一判断得出答案.
5．（2021七下·垦利期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线一点，点E在BC上，且AE＝CF，∠CAE＝30°，则∠ACF的度数是（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=15°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）
∴∠BAE=∠BCF=15°，
∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=60°，
故答案为：B．
【分析】由“HL”证出Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE=∠BCF=15°，即可求解。
6．（2021八下·龙华期中）如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠BCD＝∠CBE＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形可得∠BCD的度数，再根据“HL”可得△BEC≌△CDB，进而得到∠BCD＝∠CBE，可得∠A的度数。
7．（2021八上·南阳期末）在 中， ，E是AB上一点，且 ，过E作 交AC于D，如果 ，则 等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ，
，
在 和 中
，
≌ ，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS， 根据HL证 ≌ ，推出 ，得出 ，代入求出即可.
二、填空题
8．（2020八上·五峰期中）如图， 中， 于D，要使 ，若根据“ ”判定，还需要加条件
【答案】AB=AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：还需添加条件AB=AC.
∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
故答案为：AB=AC.
【分析】观察图形可知两个三角形有一条公共边AD，且是直角边，根据HL定理“有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等”可知应添加的条件应该是直角三角形的斜边.
9．（2020八上·西宁月考）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是
【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在 和 中，
，
∴ .
故答案是：HL.
【分析】根据题目条件，利用直角三角形中一组直角边对应相等和斜边对应相等，证明全等.
10．（2019八上·广西期中）在 Rt△ABC
和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AB=DE,AC=DF,所以 Rt△ABC Rt△DEF.
【答案】≌
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解:在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故填：≌
【分析】利用HL即可判定Rt△ABC≌Rt△DEF.
11．（2021八下·滦南期末）如图，点A，E，F，C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且AB＝CD．则当点E，F不重合时，BD与EF的关系是 ．
【答案】互相平分
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵AE=CF， 点E，F不重合，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
又∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
又∵AB=CD，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，
∴DE=BF，
又∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，OB=OD，
∴BD和EF互相平分，
故答案为互相平分．
【分析】由已知推出AE+EF=CF+EF，即AF=CE，由DE⊥AC，BF⊥AC，得出∠DEC=∠BFA=90°，即得出Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，即DE=BF，证明得出△DOE≌△BOF，则得出OE=OF，OB=OD，即可得出BD与EF的关系。
12．（2020八上·伊通期末）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．
故答案是：55°．
【分析】根据∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD=35°，根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CFD，再利用全等三角形的性质求解即可。
13．（2017九上·香坊期末）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，连接MN，则△AMN的周长为 ．
【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】延长CD、BD，分别交AB于Q，交AC于P，在AC上取一点K，使KP=QM，连接DK，
∵△BDC是顶角为120°的等腰三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BPC=∠CQB=90°，
∴PC= BC，BQ= BC，
∴PC=BQ=AQ=AP= ×5= ，
在Rt△BDQ和Rt△CDP中，
∵ ，
∴Rt△BDQ≌Rt△CDP（HL），
∴DQ=PD，
同理得Rt△DQM≌Rt△DPK，
∴DM=DK，∠QDM=∠PDK，
∵∠BDQ=60°，∠MDN=60°，
∴∠QDM+∠NDP=60°，
∴∠PDK+∠NDP=60°，
即∠NDK=60°，
∴∠NDK=∠MDN=60°，
∵ND=ND，
∴△MDN≌△KDN，
∴MN=NK=NP+PK，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AP+AQ= + =5，
故答案为：5
【分析】做出辅助线，延长CD、BD，分别交AB于Q，交AC于P，在AC上取一点K，使KP=QM，连接DK，根据全等三角形的判定定理，得出Rt△BDQ≌Rt△CDP，Rt△DQM≌Rt△DPK，△MDN≌△KDN，根据全等三角形的性质，可求得△AMN的周长。
三、作图题
14．如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A，B，C，D，E五个点都在小方格的顶点上，现以A，B，C，D，E中的三个点为顶点画三角形．
(1)在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
图甲
(2)在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等．
图乙
【答案】解：(1)
(2)
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】考查直角三角形全等的判定
四、解答题
15．（2021八上·宜兴月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性.
【答案】解：猜想：BF⊥AE.
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD=90°.
又BC=AC，BD=AE，
∴△BDC≌△AEC（HL）.
∴∠CBD=∠CAE.
又∴∠CAE+∠E=90°.
∴∠EBF+∠E=90°.
∴∠BFE=90°，即BF⊥AE.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】易得∠ACE=∠BCD=90°，证明△BDC≌△AEC，得到∠CBD=∠CAE，推出∠BFE=90°，据此解答.
16．（2021八下·合山月考）如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF
【答案】解：连接BD，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
在Rt△ABD和Rt△BCD中，
∴Rt△ABD≌Rt△BCD(HL)，
∴AD= CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E=∠F= 90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】连接BD，利用垂直的定义可证得∠BAD=∠BCD=90°，利用HL可证得Rt△ABD≌Rt△BCD，利用全等三角形的对应边相等，可得到AD=CD；再利用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF.
17．（2020八上·渝北期中）如图，在Rt△ABC中，点D为边AB上的一点，点F为线段AB延长线上一点，AD＝BF，AC＝DE且DE⊥EF，求证：∠ABC＝∠F.
【答案】证明：∵AD＝BF，
∴AD+BD＝BF+BD，
即AB＝DF，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
在Rt△ACB和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠F.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】 由AD＝BF可推出AB＝DF，然后证明Rt△ACB≌Rt△DEF，据此可得结论.
五、综合题
18．（2021·三水模拟）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
【答案】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）证明：由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由HL可证△AMB≌△CNA即可；
（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由余角关系∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．
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