初中数学华师大版八年级上学期第13章13.3.1等腰三角形的性质同步练习
一、单选题
1．（2021八上·义乌月考）已知在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝α，则α的取值范围是（ ）
A．a≤45° B．0° ＜ α ＜ 90°
C．α＝90° D．90° ＜ α ＜ 180°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝α，
∴∠B=∠C＝α，
∵三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C＜180°，
即：2α＜180°，
∴α＜90°，
又由题意可知，α＞0° ，
∴0°＜α＜90°.
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C＝α，根据内角和定理可得∠B+∠C＜180°，据此求出α的范围.
2．（2021七下·漳州期末）如果等腰三角形的两边长分别为3和6，那么它的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15.
故答案为：C.
【分析】利用三角形三边关系定理可知此等腰三角形的腰长只能为6，然后求出它的周长.
3．（2021八下·顺德期末）若等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ）
A．40° B．70° C．80° D．100°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为 ＝70°．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，可以求出底角的度数。
4．（2021·兰州模拟）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于点D，则∠DCB＝（ ）
A．46° B．67° C．44° D．23°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵∠A=46°，
∴∠ABC = ×（180°-46°）= ×134°=67°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCB=90°-∠ABC=90°-67°=23°.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得结果.
5．（2021八上·义乌月考）在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（ ）
A．20 B．16 C．16或20 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若AB为等腰三角形的腰，则BC即为底边，
由题意：AB=2BC，
∴2AB+BC=40，即：5BC=40，
解得：BC=8，
∴AB=16，
此时，等腰三角形三边为：16、16、8，满足三角形的三边关系，符合题意；
②若AB为等腰三角形的底边，则BC即为腰，
由题意：AB=2BC，
∴2BC+AB=40，即：2AB=40，
解得：AB=20，
∴BC=10，
此时，等腰三角形三边为：10、10、20，
但是10+10=20，不满足三角形的三边关系，不符合题意，舍去；
∴AB的长为16.
故答案为：B.
【分析】①若AB为等腰三角形的腰，则BC即为底边，结合AB=2BC及三角形的周长为40，求出AB、BC的值，得到等腰三角形的三边，然后根据三边关系判断是否能构成三角形；②若AB为等腰三角形的底边，则BC即为腰，同理可得三角形的三边，然后根据三边关系判断是否能构成三角形，据此即可得出答案.
6．（2021九上·三明开学考）如图， 中， ， 是 中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． 平分 D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 中， ， 是 中点
，（故 正确）
，（故 正确）
（故 正确）
无法得到 ，（故 不正确）.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，据此判断.
7．如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
A．36° B．54° C．18° D．64°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠CBD=90°-∠C=90°-72°=18°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°-18°=54°.
故答案为：B.
【分析】首先由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=72°，然后在Rt△BCD中，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠CBD的度数，接下来根据角的和差关系进行求解.
8．（2019八下·慈溪期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是（ ）
A．∠B＝∠CAD B．∠BED＝∠CAD
C．∠ADB＝∠AED D．∠BED＝∠ADC
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：作AF⊥BC于F，
∵AD=AC，
∴∠CAD=2∠DAF，
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠EDA=∠DAF，
∵EA=ED，
∠EAD=∠EDA，
∴∠BED=2∠EAD，
∴ ∠BED＝∠CAD ；
故答案为：B.
【分析】 作AF⊥BC于F．首先证明∠EAD=∠EDA=∠DAF=∠CAF，由∠BED=2∠EAD，∠DAC=2∠DAF，可得∠BED＝∠CAD ．
二、填空题
9．（2021八下·南城期中）在 中， ， ，则 ．
【答案】72
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=72°
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠C即可。
10．（2021·兴庆模拟）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在 处测得灯塔 在北偏东 方向上，海监船继续向东航行1小时到达 处，此时测得灯塔 在北偏东 方向上. 处到灯塔 的距离是 海里.
【答案】60
【知识点】钟面角、方位角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：依题意可得∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，
∴∠APB＝180° ∠PAB ∠ABP＝30°，
∴PB＝AB＝60海里
故答案为：60.
【分析】根据题意可知∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，利用三角形内角和定理可求出∠APB的度数，从而可证得∠PAB=∠APB=30°，利用等角对等边，可求出PB的长.
11．（2021八上·义乌月考）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成 cm和 cm两部分，则等腰三角形的底边长是 cm．
【答案】13或9
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
△ABC 是等腰三角形，BD是腰AC上的中线，
设BC=x，AD=y， 则CD=y，AB=AC=2y ，
由题意，分以下两种情况：
当AB+AD=15cm，BC+CD=18cm时 ，
则 ，
解得 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ， ， ，满足三角形的三边关系定理，
因此，这个等腰三角形的底边长为 ；
②当AB+AD=18cm，BC+CD=15cm时 ，
则 ，
解得 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ， ， ，满足三角形的三边关系定理，
因此，这个等腰三角形的底边长为 ；
综上，这个等腰三角形的底边长为 或 ．
故答案为：13或9．
【分析】画出图形，设BC=x，AD=y，则CD=y，AB=AC=2y，接下来分①AB+AD=15cm，BC+CD=18cm；②AB+AD=18cm，BC+CD=15cm，求出x、y，得到等腰三角形的三边长，利用三边关系判断是否能构成三角形，据此解答.
12．（2021八上·哈尔滨开学考）一个等腰三角形的三边长为 ， ， ，则其周长为 ．
【答案】2
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①x是底边，则2x-1=5x-3，
解得 ，
三角形的三边分别为 ，不能组成三角形；
②2x-1是底边，则x=5x-3，
解得 ，
三角形的三边分别为 ，
能组成三角形，周长 ；
③5x-3是底边，则x=2x-1，
解得x=1，
三角形的三边分别为1、1、2，
不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为2．
故答案为：2．
【分析】先根据等腰三角形有两边相等分别讨论如果x=2x-1，x=5x-3，5x-3=2x-1时的情况，注意检查是否能组成三角形。
13．（2021·娄底）如图， 中， 是 上任意一点， 于点 于点F，若 ，则 .
【答案】1
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，如下图，
于点 于点 ，
，
，
，
故答案是：1.
【分析】连接 ，由=1，即可求出结论.
三、解答题
14．（2021八上·义乌月考）一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数．
【答案】解：①当都是底角时，设其为x，则x＝2x﹣30°，
解得：x＝30°，180°－30°－30°＝120°，
所以三个角为30°，30°，120°；
②当顶角比底角2倍少30°时，设底角为x，则2x+(2x-30)＝180°，
解得x＝52.5°，则2x-30＝75°，
所以三个角为52.5°，52.5°，75°．
③当底角比顶角2倍少30°时，设顶角为x，则x+2(2x-30)＝180°，
解得x＝48°，则2x-30＝66°，
所以三个角为48°，66°，66°.
综上所述：这个三角形的三个内角的度数为30°，30°，120°或48°，66°，66°或52.5°，52.5°，75°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】①当都是底角时，设其为x，则x＝2x-30°，求出x，进而得到三个内角的度数；②当顶角比底角2倍少30°时，设底角为x，则2x+(2x-30)＝180°，同理可得内角的度数；③当底角比顶角2倍少30°时，设顶角为x，则x+2(2x-30)＝180°，同理可得内角的度数.
15．（2021九上·北京开学考）如图，在 中，以点B为圆心， 长为半径画弧，交 边于点D，连接 ．若 ， ，求 的度数．
【答案】解： ，
由作图可知，
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先求出∠BAC=108°，再求出∠BAD=70°，最后计算求解即可。
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期第13章13.3.1等腰三角形的性质同步练习
一、单选题
1．（2021八上·义乌月考）已知在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝α，则α的取值范围是（ ）
A．a≤45° B．0° ＜ α ＜ 90°
C．α＝90° D．90° ＜ α ＜ 180°
2．（2021七下·漳州期末）如果等腰三角形的两边长分别为3和6，那么它的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
3．（2021八下·顺德期末）若等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ）
A．40° B．70° C．80° D．100°
4．（2021·兰州模拟）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于点D，则∠DCB＝（ ）
A．46° B．67° C．44° D．23°
5．（2021八上·义乌月考）在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为（ ）
A．20 B．16 C．16或20 D．以上都不对
6．（2021九上·三明开学考）如图， 中， ， 是 中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． 平分 D．
7．如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
A．36° B．54° C．18° D．64°
8．（2019八下·慈溪期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是（ ）
A．∠B＝∠CAD B．∠BED＝∠CAD
C．∠ADB＝∠AED D．∠BED＝∠ADC
二、填空题
9．（2021八下·南城期中）在 中， ， ，则 ．
10．（2021·兴庆模拟）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在 处测得灯塔 在北偏东 方向上，海监船继续向东航行1小时到达 处，此时测得灯塔 在北偏东 方向上. 处到灯塔 的距离是 海里.
11．（2021八上·义乌月考）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成 cm和 cm两部分，则等腰三角形的底边长是 cm．
12．（2021八上·哈尔滨开学考）一个等腰三角形的三边长为 ， ， ，则其周长为 ．
13．（2021·娄底）如图， 中， 是 上任意一点， 于点 于点F，若 ，则 .
三、解答题
14．（2021八上·义乌月考）一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数．
15．（2021九上·北京开学考）如图，在 中，以点B为圆心， 长为半径画弧，交 边于点D，连接 ．若 ， ，求 的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝α，
∴∠B=∠C＝α，
∵三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C＜180°，
即：2α＜180°，
∴α＜90°，
又由题意可知，α＞0° ，
∴0°＜α＜90°.
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C＝α，根据内角和定理可得∠B+∠C＜180°，据此求出α的范围.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15.
故答案为：C.
【分析】利用三角形三边关系定理可知此等腰三角形的腰长只能为6，然后求出它的周长.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为 ＝70°．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，可以求出底角的度数。
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵∠A=46°，
∴∠ABC = ×（180°-46°）= ×134°=67°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCB=90°-∠ABC=90°-67°=23°.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得结果.
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若AB为等腰三角形的腰，则BC即为底边，
由题意：AB=2BC，
∴2AB+BC=40，即：5BC=40，
解得：BC=8，
∴AB=16，
此时，等腰三角形三边为：16、16、8，满足三角形的三边关系，符合题意；
②若AB为等腰三角形的底边，则BC即为腰，
由题意：AB=2BC，
∴2BC+AB=40，即：2AB=40，
解得：AB=20，
∴BC=10，
此时，等腰三角形三边为：10、10、20，
但是10+10=20，不满足三角形的三边关系，不符合题意，舍去；
∴AB的长为16.
故答案为：B.
【分析】①若AB为等腰三角形的腰，则BC即为底边，结合AB=2BC及三角形的周长为40，求出AB、BC的值，得到等腰三角形的三边，然后根据三边关系判断是否能构成三角形；②若AB为等腰三角形的底边，则BC即为腰，同理可得三角形的三边，然后根据三边关系判断是否能构成三角形，据此即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 中， ， 是 中点
，（故 正确）
，（故 正确）
（故 正确）
无法得到 ，（故 不正确）.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，据此判断.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠CBD=90°-∠C=90°-72°=18°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°-18°=54°.
故答案为：B.
【分析】首先由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠C=72°，然后在Rt△BCD中，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠CBD的度数，接下来根据角的和差关系进行求解.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：作AF⊥BC于F，
∵AD=AC，
∴∠CAD=2∠DAF，
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠EDA=∠DAF，
∵EA=ED，
∠EAD=∠EDA，
∴∠BED=2∠EAD，
∴ ∠BED＝∠CAD ；
故答案为：B.
【分析】 作AF⊥BC于F．首先证明∠EAD=∠EDA=∠DAF=∠CAF，由∠BED=2∠EAD，∠DAC=2∠DAF，可得∠BED＝∠CAD ．
9．【答案】72
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=72°
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠C即可。
10．【答案】60
【知识点】钟面角、方位角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：依题意可得∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，
∴∠APB＝180° ∠PAB ∠ABP＝30°，
∴PB＝AB＝60海里
故答案为：60.
【分析】根据题意可知∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，利用三角形内角和定理可求出∠APB的度数，从而可证得∠PAB=∠APB=30°，利用等角对等边，可求出PB的长.
11．【答案】13或9
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
△ABC 是等腰三角形，BD是腰AC上的中线，
设BC=x，AD=y， 则CD=y，AB=AC=2y ，
由题意，分以下两种情况：
当AB+AD=15cm，BC+CD=18cm时 ，
则 ，
解得 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ， ， ，满足三角形的三边关系定理，
因此，这个等腰三角形的底边长为 ；
②当AB+AD=18cm，BC+CD=15cm时 ，
则 ，
解得 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ， ， ，满足三角形的三边关系定理，
因此，这个等腰三角形的底边长为 ；
综上，这个等腰三角形的底边长为 或 ．
故答案为：13或9．
【分析】画出图形，设BC=x，AD=y，则CD=y，AB=AC=2y，接下来分①AB+AD=15cm，BC+CD=18cm；②AB+AD=18cm，BC+CD=15cm，求出x、y，得到等腰三角形的三边长，利用三边关系判断是否能构成三角形，据此解答.
12．【答案】2
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①x是底边，则2x-1=5x-3，
解得 ，
三角形的三边分别为 ，不能组成三角形；
②2x-1是底边，则x=5x-3，
解得 ，
三角形的三边分别为 ，
能组成三角形，周长 ；
③5x-3是底边，则x=2x-1，
解得x=1，
三角形的三边分别为1、1、2，
不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为2．
故答案为：2．
【分析】先根据等腰三角形有两边相等分别讨论如果x=2x-1，x=5x-3，5x-3=2x-1时的情况，注意检查是否能组成三角形。
13．【答案】1
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，如下图，
于点 于点 ，
，
，
，
故答案是：1.
【分析】连接 ，由=1，即可求出结论.
14．【答案】解：①当都是底角时，设其为x，则x＝2x﹣30°，
解得：x＝30°，180°－30°－30°＝120°，
所以三个角为30°，30°，120°；
②当顶角比底角2倍少30°时，设底角为x，则2x+(2x-30)＝180°，
解得x＝52.5°，则2x-30＝75°，
所以三个角为52.5°，52.5°，75°．
③当底角比顶角2倍少30°时，设顶角为x，则x+2(2x-30)＝180°，
解得x＝48°，则2x-30＝66°，
所以三个角为48°，66°，66°.
综上所述：这个三角形的三个内角的度数为30°，30°，120°或48°，66°，66°或52.5°，52.5°，75°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】①当都是底角时，设其为x，则x＝2x-30°，求出x，进而得到三个内角的度数；②当顶角比底角2倍少30°时，设底角为x，则2x+(2x-30)＝180°，同理可得内角的度数；③当底角比顶角2倍少30°时，设顶角为x，则x+2(2x-30)＝180°，同理可得内角的度数.
15．【答案】解： ，
由作图可知，
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先求出∠BAC=108°，再求出∠BAD=70°，最后计算求解即可。
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