初中数学华师大版八年级上学期第13章13.5逆命题与逆定理法同步练习
一、单选题
1．（2021八上·沭阳月考）如图， 平分 ， 于点A，点Q是射线 上一个动点，若 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021八下·中原期中）A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
3．（2021·岳阳模拟）如图，在 中， ，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 ，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D，若CD=4，则点D到 的距离为（ ）
A．4 B．3 C． D．1
4．（2021八上·义乌月考）如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE=150°，则∠BAC的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·永州）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（2021九上·青岛开学考）如图， 中， ， 平分 ， 于点 ， 于点 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2021·梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（ ）
A．10.5 B．12 C．15 D．18
8．（2021七下·漳州期末）如图，在 中， 是 的平分线， ，垂足为 ，若 ， ，则 的面积是（ ）
A．4 B．12 C．24 D．48
9．（2020八上·温州期中）如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，以△ABC的一条边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则这样的点有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
10．（2020八上·抚顺月考）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90 ②∠ADE＝∠CDE ③AD＝AB＋CD ④DE＝BE.四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
二、填空题
11．（2021·成都模拟）“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸被称为“十天干”：子 丑 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戍 亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子 乙丑 丙寅…癸酉；甲戌 乙亥 丙子…癸未；甲申 乙酉 丙戌…癸已；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法“中的 .
12．（2021八上·沭阳月考）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E.若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为 cm2
13．（2021七下·漳州期末）如图，已知 是线段 的垂直平分线，点 在 上，若 ，则 长为 .
14．（2021七下·三明期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是
15．（2021八上·天心期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E.已知CB＝8，BE＝5，则点E到AB的距离为 .
16．（2021八上·咸安期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点O，过点O作 交 于E，交 于F，过点O作 于D，有下列结论：① ；②点O到 各边的距离相等；③ ；④ .其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）.
三、解答题
17．（2021八上·沭阳月考）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点D、E， 的垂直平分线分别交 、 于点F、G.求 的周长.
18．（2021八上·姜堰月考）已知，如图AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，且BC=DC.求证：BE=DF.
四、综合题
19．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N．
（1）如图①，若∠BAC=110°，求∠EAN的度数；
（2）如图②，若∠BAC=80°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=α(α≠90°)，直接写出∠EAN的大小(用含α的代数式表示)．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PB⊥OM于B，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，
∴PB＝PA＝3，
∴PQ的最小值为3.
故答案为：C.
【分析】过点P作PB⊥OM于B，由角平分线的性质可得PB＝PA＝3，然后根据垂线段最短的性质进行解答.
2．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：因为文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，
所以点P是 三边垂直平分线的交点，
因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，
且 ，
所以 是直角三角形，则活动中心P的位置应在斜边AB的中点，
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知：点P是△ABC三边垂直平分线的交点；根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，于是可得活动中心P的位置应在斜边AB的中点.
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得 平分 ，
过D作 于E，则 （角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】由作法得BD平分∠ABC，过D作DE⊥AB于E，角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DC，据此解答.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，
∴DA=DB，EA=EC，
∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC．
∵∠BAC+∠DAE=150°，①
∴∠B+∠C+2∠DAE=150°．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴180°-∠BAC+2∠DAE=150°，
即∠BAC-2∠DAE=30°．②
由①②组成的方程组 ，
解得∠BAC=110°．
故答案为：B.
【分析】由垂直平分线的性质得DA=DB，EA=EC，由等腰三角形的性质得∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，结合已知条件可得∠B+∠C+2∠DAE=150°，由内角和定理可得∠BAC-2∠DAE=30°，联立求解即可.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°.
故答案为：A.
【分析】由作法得MN垂直平分AB，由线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，根据等腰三角形的性质可得∠DAB＝∠B＝50°，∠C＝∠B＝50°，然后由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，最后根据∠CAD＝∠BAC-∠DAB计算即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过D作DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DG=DE=2，
∵AB=6，AC=4，
∴ =
∴
∴BF=5
故答案为：C
【分析】先求出DG=DE=2，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴BD=DC
∴AB=AD+BD=AD+DC=9
∵AC=6
∴△ACD的周长=AD+DC+AC=9+6=15
故答案为：C
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得BD=DC，根据AB的长，可得到AD+DC=9，由此可求出△ACD的周长.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB，
∵ 是 的平分线， ，DF⊥AB， ，
∴DE=DF=4，
∵ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点D作DF⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出DF的长；再利用三角形的面积公式，可求出△ABD的面积.
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
共有6种情况.
故答案为：B.
【分析】①以B为圆心，以BC为半径画弧交AC于D点，△BCD为所求；②以A为圆心，以AC为半径画弧交AC于点E，△ACE为所求；③以C为圆心，以BC为半径画弧交AC于点F，△BCF为所求；④作AC的垂直平分线交AB于点H，△AHC为所求；⑤作AB的垂直平分线交AC于点G，△AGB为所求；⑥作BC的垂直平分线交AB于点I，△BGI为所求.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以④错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以③正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，所以①正确.
故答案为：B.
【分析】过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC＝EF＝BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，也可得到AD＝AF＋FD＝AB＋DC，∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，即可判断出正确的结论.
11．【答案】庚午
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：需要弄清“干支”纪年是从公元4年开始，故可以列一个数字对应表.用公元年数字的最后一个数字来对应“天干”，用公元年数字除以12，余数对应“地支”.
例如公元2021年的个位数是1，对应“天干”的“辛”；2021÷4得到余数是5，对应“地支”中“丑”，故是“辛丑”年；
同样公元2050年的个位数是0，对应“天干”的“庚”；2050÷4得到余数是10，对应“地支”中“午”.
故答案为：庚午.
地支 子 丑 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戍 亥
数字 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
数字 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
【分析】需要弄清“干支”纪年是从公元4年开始，故可以列一个数字对应表.用公元年数字的最后一个数字来对应“天干”，用公元年数字除以12，余数对应“地支”，据此解答即可.
12．【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作 ，
∵CD是角平分线，DE⊥AC，
∴ ，
又∵BC＝6cm，
∴.
故答案为：6.
【分析】作DF⊥BC，由角平分线的性质可得DE=DF=2cm，然后根据三角形的面积公式进行计算.
13．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵ 是线段 的垂直平分线，点 在 上，
∴ ＝
故答案为：5
【分析】直接根据线段垂直平分线的性质进行解答.
14．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，则DE就是点D到直线AB的距离，
根据角平分线的性质可得DE=CD=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DE⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出点D到AB的距离.
15．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：AE平分∠CAB，
∵CB＝8，BE＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣5＝3，
∵∠C＝90°，
∴EC⊥AC，
∴点E到AB的距离为3.
故答案为：3.
【分析】根据作图过程可知AE平分∠CAB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出结论.
16．【答案】①②③④
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90° ∠A，
∴∠BOC=180° （∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确.
在Rt△AMO与Rt△ADO中，
∵OM=OD，AO=AO，
∴Rt△AMO≌Rt△ADO
∴AM=AD，
同理BM=BN，CD=CN，
∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，
∴AD= （AB+AC BC）故④正确，
故答案为：①②③④.
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③ 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；根据HL可以证出△AMO与△ADO全等，根据全等三角形的对应边相等得出AM=AD，同理BM=BN，CD=CN，最后算 （AB+AC BC）即可得出判断出④.
17．【答案】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长 .
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AG=CG，据此不难求出△AEG的周长.
18．【答案】证明： 平分 ， 于E 于F，
， .
在 和 中
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】由垂直的概念以及角平分线的性质可得∠F=∠CEB=90°，CE=CF，证明△CEB≌△CFD，据此可得结论.
19．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∴∠BAE=∠B，
同理可得，C CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，C B+∠C= 180°-∠BAC= 180°-110°= 70°，
∴∠EAN= 110°-70° = 40°．
（2）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∴∠BAE=∠B，
同理可得，∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C= 180°-∠BAC= 180°-80° = 100°，
∴∠EAN= 100°-80°= 20°．
（3）解：当0°<α<90°时，∠EAN= 180°-2α；
当90°
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的两点到线段两端点的距离相等，可得 AE=BE， 再根据等边对等角可得 ∠BAE=∠B， 同理可得， ∠CAN=∠C，再利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C ，再根据 ∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN 代入数据进行计算即可；
（2）同（1）的思路，最后根据 ∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC 代入数据进行计算即可；
（3）根据前两问的求解思路，分 0°<α<90° ， 90°1 / 1初中数学华师大版八年级上学期第13章13.5逆命题与逆定理法同步练习
一、单选题
1．（2021八上·沭阳月考）如图， 平分 ， 于点A，点Q是射线 上一个动点，若 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PB⊥OM于B，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，
∴PB＝PA＝3，
∴PQ的最小值为3.
故答案为：C.
【分析】过点P作PB⊥OM于B，由角平分线的性质可得PB＝PA＝3，然后根据垂线段最短的性质进行解答.
2．（2021八下·中原期中）A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：因为文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，
所以点P是 三边垂直平分线的交点，
因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，
且 ，
所以 是直角三角形，则活动中心P的位置应在斜边AB的中点，
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知：点P是△ABC三边垂直平分线的交点；根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，于是可得活动中心P的位置应在斜边AB的中点.
3．（2021·岳阳模拟）如图，在 中， ，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 ，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交AC于点D，若CD=4，则点D到 的距离为（ ）
A．4 B．3 C． D．1
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得 平分 ，
过D作 于E，则 （角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】由作法得BD平分∠ABC，过D作DE⊥AB于E，角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DC，据此解答.
4．（2021八上·义乌月考）如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE=150°，则∠BAC的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，
∴DA=DB，EA=EC，
∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC．
∵∠BAC+∠DAE=150°，①
∴∠B+∠C+2∠DAE=150°．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴180°-∠BAC+2∠DAE=150°，
即∠BAC-2∠DAE=30°．②
由①②组成的方程组 ，
解得∠BAC=110°．
故答案为：B.
【分析】由垂直平分线的性质得DA=DB，EA=EC，由等腰三角形的性质得∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，结合已知条件可得∠B+∠C+2∠DAE=150°，由内角和定理可得∠BAC-2∠DAE=30°，联立求解即可.
5．（2021·永州）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°.
故答案为：A.
【分析】由作法得MN垂直平分AB，由线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，根据等腰三角形的性质可得∠DAB＝∠B＝50°，∠C＝∠B＝50°，然后由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，最后根据∠CAD＝∠BAC-∠DAB计算即可.
6．（2021九上·青岛开学考）如图， 中， ， 平分 ， 于点 ， 于点 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过D作DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DG=DE=2，
∵AB=6，AC=4，
∴ =
∴
∴BF=5
故答案为：C
【分析】先求出DG=DE=2，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
7．（2021·梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（ ）
A．10.5 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴BD=DC
∴AB=AD+BD=AD+DC=9
∵AC=6
∴△ACD的周长=AD+DC+AC=9+6=15
故答案为：C
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得BD=DC，根据AB的长，可得到AD+DC=9，由此可求出△ACD的周长.
8．（2021七下·漳州期末）如图，在 中， 是 的平分线， ，垂足为 ，若 ， ，则 的面积是（ ）
A．4 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB，
∵ 是 的平分线， ，DF⊥AB， ，
∴DE=DF=4，
∵ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点D作DF⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出DF的长；再利用三角形的面积公式，可求出△ABD的面积.
9．（2020八上·温州期中）如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，以△ABC的一条边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则这样的点有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
共有6种情况.
故答案为：B.
【分析】①以B为圆心，以BC为半径画弧交AC于D点，△BCD为所求；②以A为圆心，以AC为半径画弧交AC于点E，△ACE为所求；③以C为圆心，以BC为半径画弧交AC于点F，△BCF为所求；④作AC的垂直平分线交AB于点H，△AHC为所求；⑤作AB的垂直平分线交AC于点G，△AGB为所求；⑥作BC的垂直平分线交AB于点I，△BGI为所求.
10．（2020八上·抚顺月考）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90 ②∠ADE＝∠CDE ③AD＝AB＋CD ④DE＝BE.四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以④错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以③正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，所以①正确.
故答案为：B.
【分析】过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC＝EF＝BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，也可得到AD＝AF＋FD＝AB＋DC，∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，即可判断出正确的结论.
二、填空题
11．（2021·成都模拟）“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸被称为“十天干”：子 丑 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戍 亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子 乙丑 丙寅…癸酉；甲戌 乙亥 丙子…癸未；甲申 乙酉 丙戌…癸已；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法“中的 .
【答案】庚午
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：需要弄清“干支”纪年是从公元4年开始，故可以列一个数字对应表.用公元年数字的最后一个数字来对应“天干”，用公元年数字除以12，余数对应“地支”.
例如公元2021年的个位数是1，对应“天干”的“辛”；2021÷4得到余数是5，对应“地支”中“丑”，故是“辛丑”年；
同样公元2050年的个位数是0，对应“天干”的“庚”；2050÷4得到余数是10，对应“地支”中“午”.
故答案为：庚午.
地支 子 丑 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戍 亥
数字 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
数字 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
【分析】需要弄清“干支”纪年是从公元4年开始，故可以列一个数字对应表.用公元年数字的最后一个数字来对应“天干”，用公元年数字除以12，余数对应“地支”，据此解答即可.
12．（2021八上·沭阳月考）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E.若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为 cm2
【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作 ，
∵CD是角平分线，DE⊥AC，
∴ ，
又∵BC＝6cm，
∴.
故答案为：6.
【分析】作DF⊥BC，由角平分线的性质可得DE=DF=2cm，然后根据三角形的面积公式进行计算.
13．（2021七下·漳州期末）如图，已知 是线段 的垂直平分线，点 在 上，若 ，则 长为 .
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵ 是线段 的垂直平分线，点 在 上，
∴ ＝
故答案为：5
【分析】直接根据线段垂直平分线的性质进行解答.
14．（2021七下·三明期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，则DE就是点D到直线AB的距离，
根据角平分线的性质可得DE=CD=3.
故答案为：3.
【分析】过点D作DE⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出点D到AB的距离.
15．（2021八上·天心期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E.已知CB＝8，BE＝5，则点E到AB的距离为 .
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：AE平分∠CAB，
∵CB＝8，BE＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣5＝3，
∵∠C＝90°，
∴EC⊥AC，
∴点E到AB的距离为3.
故答案为：3.
【分析】根据作图过程可知AE平分∠CAB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出结论.
16．（2021八上·咸安期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点O，过点O作 交 于E，交 于F，过点O作 于D，有下列结论：① ；②点O到 各边的距离相等；③ ；④ .其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）.
【答案】①②③④
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90° ∠A，
∴∠BOC=180° （∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确.
在Rt△AMO与Rt△ADO中，
∵OM=OD，AO=AO，
∴Rt△AMO≌Rt△ADO
∴AM=AD，
同理BM=BN，CD=CN，
∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，
∴AD= （AB+AC BC）故④正确，
故答案为：①②③④.
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③ 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；根据HL可以证出△AMO与△ADO全等，根据全等三角形的对应边相等得出AM=AD，同理BM=BN，CD=CN，最后算 （AB+AC BC）即可得出判断出④.
三、解答题
17．（2021八上·沭阳月考）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点D、E， 的垂直平分线分别交 、 于点F、G.求 的周长.
【答案】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长 .
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AG=CG，据此不难求出△AEG的周长.
18．（2021八上·姜堰月考）已知，如图AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，且BC=DC.求证：BE=DF.
【答案】证明： 平分 ， 于E 于F，
， .
在 和 中
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】由垂直的概念以及角平分线的性质可得∠F=∠CEB=90°，CE=CF，证明△CEB≌△CFD，据此可得结论.
四、综合题
19．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N．
（1）如图①，若∠BAC=110°，求∠EAN的度数；
（2）如图②，若∠BAC=80°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=α(α≠90°)，直接写出∠EAN的大小(用含α的代数式表示)．
【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∴∠BAE=∠B，
同理可得，C CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，C B+∠C= 180°-∠BAC= 180°-110°= 70°，
∴∠EAN= 110°-70° = 40°．
（2）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∴∠BAE=∠B，
同理可得，∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C= 180°-∠BAC= 180°-80° = 100°，
∴∠EAN= 100°-80°= 20°．
（3）解：当0°<α<90°时，∠EAN= 180°-2α；
当90°【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的两点到线段两端点的距离相等，可得 AE=BE， 再根据等边对等角可得 ∠BAE=∠B， 同理可得， ∠CAN=∠C，再利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C ，再根据 ∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN 代入数据进行计算即可；
（2）同（1）的思路，最后根据 ∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC 代入数据进行计算即可；
（3）根据前两问的求解思路，分 0°<α<90° ， 90°1 / 1