初中数学华师大版八年级上学期第14章14.1勾股定理同步练习
一、单选题
1．（2021九上·哈尔滨月考）已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．（2021八上·青羊月考）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＝b2+c2，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90°
C．∠C＝90° D．∠C＝∠A+∠B
3．（2021八上·滕州月考）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B． ， ，
C．16，63，65 D．5，12，14
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且b2-c2=a2 ，则下列说法正确的是（ ）
A．∠A是直角 B．∠B是直角 C．∠C是直角 D．无法确定
5．（2021八上·滕州月考）如图， 中， ，将 沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2021八上·西安开学考）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， ， ，则 的长为
A． B． C． D．
7．如图，以直角三角形的三边为边向外作了三个正方形．已知正方形A面积为225，正方形B面积为289，则正方形C的边长为（ ）
A．64 B．514 C．8 D．11
8．（2020八上·牡丹期中）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9 B．3 C． D．
二、填空题
9．（2021八上·牡丹月考）勾股数为一组连续自然数的是
10．（2021八上·青羊月考）如图，长方体长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则BD′= .
11．在△ABC中，∠B=90° ，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a=5，b=12，则c2=
12．（2021八上·滕州月考）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是 ．
13．如图所示，有一个直角三角形纸板，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长度为
cm．
14．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD的长为正整数，则点D的个数共有
15．如图，△ABC中，点E在边AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE交BE的延长线于点D，BD=8，AC=11，则BC2的值为
三、解答题
16．（2021八上·滕州月考）如图，在 中， 于点 ， ， ， ．求 与 的面积．
17．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90° ，AB=3，BC=5，CD=12，BD= 13，求四边形ABDC的面积．
四、综合题
18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2=AE2+AC2．
（1）求证：∠A=90°；
（2）若AC=6，BD=5，求△AEC的周长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12，
∴第三边长= =13，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理即可得出结论。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵a2＝b2+c2，
∴∠A＝90°.
故答案为：A.
【分析】直接根据勾股定理逆定理，在一个三角形中如果较小两边的平方和等于较大边长的平方，那么这个三角形是直角三角形，且较大的边所对的角是直角，据此进行解答.
3．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：由勾股数都是为正整数，故可直接排除A、B选项，
对于C选项，由 ，符合勾股定理，故符合题意；
对于D选项，由 可得不是勾股数，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用勾股数的定义对每个选项一一判断即可。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵b2-c2=a2 ，
∴b2=a2+c2 ，
∴b为斜边，即∠B是直角.
故答案为：B.
【分析】将已知等式变形，可得b2=a2+c2 ，由勾股定理的逆定理得出该三角形是以b为斜边的直角三角形，即可解答.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= =10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中∵ ，
∴ ，
解得x= ，
∴CE= 8 = ，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出AB=10，再求出x= ，最后计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过 作 于 ，
在 中， ， ， ，
，
，
平分 交 于点 ， ， ，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】过D作DE⊥AB于E，由勾股定理求出AB，由角平分线的性质可得DE=CD，然后根据S△ABC=S△ABD+S△ACD可得CD，进而求得BD.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 以直角三角形的三边为边向外作了三个正方形
∴SA+SC=SB，
∵正方形A面积为225，正方形B面积为289，
∴SC=289-225=64
∴正方形的边长为.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理可知SA+SC=SB，代入计算可求出正方形C的面积，然后求出正方形C的边长.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形的底边上的高分别为h1、h2、h3
∴h1=AC，h2=BC，h3=AB
∴阴影部分的面积为××AC×AC+××BC×BC+××AB×AB
=（AC2+BC2+AB2）
在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得
AC2+BC2=AB2，AB=3
∴阴影部分的面积=×2AB2=
故答案为：D.
【分析】根据题意，由勾股定理以及三角形的面积公式表示出等腰三角形的面积，阴影部分的面积等于三个等腰三角形的面积之和。
9．【答案】3、4、5
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：根据题意：
，
所以3、4、5为勾股数．
故答案为：3、4、5．
【分析】利用勾股数的定义求解即可。
10．【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
则BD= =5cm，
BD′= =13cm.
故答案为：13.
【分析】连接BD，首先由勾股定理求出BD，再次利用勾股定理就可求出BD′.
11．【答案】119
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∴c==119.
故答案为：119.
【分析】因为∠B=90°，根据勾股定理解答即可.
12．【答案】66
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1=42+52，S2=32+42，
于是S3=S1+S2，
即可得S3=16+25+9+16=66．
故答案是：66．
【分析】根据题意求出S1=42+52，S2=32+42，再根据S3=S1+S2，计算求解即可。
13．【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设CD=xcm，则BD=（8-x）cm，
由折叠知：CD=DE=xcm，DE⊥AB，AC=AE=6cm，
在Rt△ABC中， AC=6 cm，BC=8 cm ，
∴AB==10cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4cm，
在Rt△BED中，BE2+DE2=BD2，
即16+x2=（8-x）2，解得x=3，
∴CD=3cm.
【分析】设CD=xcm，则BD=（8-x）cm，由折叠知CD=DE=xcm，DE⊥AB，AC=AE=6cm，先由勾股定理求出AB，从而求出BE，在Rt△BED中，由BE2+DE2=BD2可得方程，求出x值即可.
14．【答案】3个
【知识点】垂线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】过A作AE⊥BC，
∵AB=AC，∴EC=BE=BC=4，
∴AE==3，
∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，
∴3≤AD＜5，
∵AD的长为正整数，∴AD=3或4，
∴点D的个数共有3个.
【分析】过A作AE⊥BC，当点D与E重合时，AD最短，先利用等腰三角形的性质可得EC=BE=BC=4，然后利用勾股定理求出AE，从而得出AD的范围，据此分析即得结论.
15．【答案】80
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：延长BD到F，使得DF=BD，连接CF，∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC=CF，．∴∠F=∠CBD，过点C作CH∥AB，交BF于点H，又
∵EA=EB，∴∠A=∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F，易知∠F=∠FCH，
∴HF=HC，∴CH∥AB，∴∠ABE=∠CHE，∠BAE=∠ECH，
∴∠CHE=∠ECH，∴EH= CE，
∴EA=EB，∴AC=BH，∵BD=8，AC=11，∴DH= BH- BD=AC- BD=3，
∴HF=HC=8-3=5，在Rt△CDH中，由勾股定理可知CD=4， ．
∴在Rt△BCD中， BC2 =BD2 +CD2=82+42=80，故答案为80．
【分析】先求出∠F=∠FCH，再求出HF=HC=5，再利用勾股定理求解即可。
16．【答案】解： 于点 ， ， ，
，
，
，
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】利用勾股定理求出CD=12，再求出AD=16，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
17．【答案】解：Rt△ABC中，
由勾股定理得：AC=4．
在△BCD中，
因为BC2+CD2 = 169，BD2=169，
所以BC2+CD2= BD2．
即△BCD是直角三角形．
所以S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=6+ 30= 36．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 Rt△ABC中，由勾股定理求出AC=4， 利用勾股定理的逆定理判断出△BCD是直角三角形且∠BCD=90°，根据S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD进行计算即可 ．
18．【答案】（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥CB，
∴EB= EC，
∵BE2=AE2 +AC2
∴EC2=EA2+AC2
∴∠A=90°．
（2）解：∵D是BC的中点，BD=5，
∴BC=2BD= 10，
∵∠A=90° ，AC=6，
∴AB2=BC2 -AC2= 102-62=64，
∴AB=8，
∵EB=EC，
∴△AEC的周长=AE+EC+AC=AE+ EB+AC= AB+AC=8+6= 14．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先求出 EB= EC， 再求出 EC2=EA2+AC2 ，最后求解即可；
（2）先求出BC=10，再利用勾股定理求出AB=8，最后求三角形的周长即可。
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期第14章14.1勾股定理同步练习
一、单选题
1．（2021九上·哈尔滨月考）已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12，
∴第三边长= =13，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理即可得出结论。
2．（2021八上·青羊月考）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＝b2+c2，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90°
C．∠C＝90° D．∠C＝∠A+∠B
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵a2＝b2+c2，
∴∠A＝90°.
故答案为：A.
【分析】直接根据勾股定理逆定理，在一个三角形中如果较小两边的平方和等于较大边长的平方，那么这个三角形是直角三角形，且较大的边所对的角是直角，据此进行解答.
3．（2021八上·滕州月考）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B． ， ，
C．16，63，65 D．5，12，14
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：由勾股数都是为正整数，故可直接排除A、B选项，
对于C选项，由 ，符合勾股定理，故符合题意；
对于D选项，由 可得不是勾股数，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用勾股数的定义对每个选项一一判断即可。
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且b2-c2=a2 ，则下列说法正确的是（ ）
A．∠A是直角 B．∠B是直角 C．∠C是直角 D．无法确定
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵b2-c2=a2 ，
∴b2=a2+c2 ，
∴b为斜边，即∠B是直角.
故答案为：B.
【分析】将已知等式变形，可得b2=a2+c2 ，由勾股定理的逆定理得出该三角形是以b为斜边的直角三角形，即可解答.
5．（2021八上·滕州月考）如图， 中， ，将 沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= =10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中∵ ，
∴ ，
解得x= ，
∴CE= 8 = ，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出AB=10，再求出x= ，最后计算求解即可。
6．（2021八上·西安开学考）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， ， ，则 的长为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过 作 于 ，
在 中， ， ， ，
，
，
平分 交 于点 ， ， ，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】过D作DE⊥AB于E，由勾股定理求出AB，由角平分线的性质可得DE=CD，然后根据S△ABC=S△ABD+S△ACD可得CD，进而求得BD.
7．如图，以直角三角形的三边为边向外作了三个正方形．已知正方形A面积为225，正方形B面积为289，则正方形C的边长为（ ）
A．64 B．514 C．8 D．11
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 以直角三角形的三边为边向外作了三个正方形
∴SA+SC=SB，
∵正方形A面积为225，正方形B面积为289，
∴SC=289-225=64
∴正方形的边长为.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理可知SA+SC=SB，代入计算可求出正方形C的面积，然后求出正方形C的边长.
8．（2020八上·牡丹期中）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形的底边上的高分别为h1、h2、h3
∴h1=AC，h2=BC，h3=AB
∴阴影部分的面积为××AC×AC+××BC×BC+××AB×AB
=（AC2+BC2+AB2）
在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得
AC2+BC2=AB2，AB=3
∴阴影部分的面积=×2AB2=
故答案为：D.
【分析】根据题意，由勾股定理以及三角形的面积公式表示出等腰三角形的面积，阴影部分的面积等于三个等腰三角形的面积之和。
二、填空题
9．（2021八上·牡丹月考）勾股数为一组连续自然数的是
【答案】3、4、5
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：根据题意：
，
所以3、4、5为勾股数．
故答案为：3、4、5．
【分析】利用勾股数的定义求解即可。
10．（2021八上·青羊月考）如图，长方体长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，则BD′= .
【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
则BD= =5cm，
BD′= =13cm.
故答案为：13.
【分析】连接BD，首先由勾股定理求出BD，再次利用勾股定理就可求出BD′.
11．在△ABC中，∠B=90° ，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a=5，b=12，则c2=
【答案】119
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∴c==119.
故答案为：119.
【分析】因为∠B=90°，根据勾股定理解答即可.
12．（2021八上·滕州月考）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是 ．
【答案】66
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1=42+52，S2=32+42，
于是S3=S1+S2，
即可得S3=16+25+9+16=66．
故答案是：66．
【分析】根据题意求出S1=42+52，S2=32+42，再根据S3=S1+S2，计算求解即可。
13．如图所示，有一个直角三角形纸板，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长度为
cm．
【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设CD=xcm，则BD=（8-x）cm，
由折叠知：CD=DE=xcm，DE⊥AB，AC=AE=6cm，
在Rt△ABC中， AC=6 cm，BC=8 cm ，
∴AB==10cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4cm，
在Rt△BED中，BE2+DE2=BD2，
即16+x2=（8-x）2，解得x=3，
∴CD=3cm.
【分析】设CD=xcm，则BD=（8-x）cm，由折叠知CD=DE=xcm，DE⊥AB，AC=AE=6cm，先由勾股定理求出AB，从而求出BE，在Rt△BED中，由BE2+DE2=BD2可得方程，求出x值即可.
14．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD的长为正整数，则点D的个数共有
【答案】3个
【知识点】垂线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】过A作AE⊥BC，
∵AB=AC，∴EC=BE=BC=4，
∴AE==3，
∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，
∴3≤AD＜5，
∵AD的长为正整数，∴AD=3或4，
∴点D的个数共有3个.
【分析】过A作AE⊥BC，当点D与E重合时，AD最短，先利用等腰三角形的性质可得EC=BE=BC=4，然后利用勾股定理求出AE，从而得出AD的范围，据此分析即得结论.
15．如图，△ABC中，点E在边AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE交BE的延长线于点D，BD=8，AC=11，则BC2的值为
【答案】80
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：延长BD到F，使得DF=BD，连接CF，∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC=CF，．∴∠F=∠CBD，过点C作CH∥AB，交BF于点H，又
∵EA=EB，∴∠A=∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F，易知∠F=∠FCH，
∴HF=HC，∴CH∥AB，∴∠ABE=∠CHE，∠BAE=∠ECH，
∴∠CHE=∠ECH，∴EH= CE，
∴EA=EB，∴AC=BH，∵BD=8，AC=11，∴DH= BH- BD=AC- BD=3，
∴HF=HC=8-3=5，在Rt△CDH中，由勾股定理可知CD=4， ．
∴在Rt△BCD中， BC2 =BD2 +CD2=82+42=80，故答案为80．
【分析】先求出∠F=∠FCH，再求出HF=HC=5，再利用勾股定理求解即可。
三、解答题
16．（2021八上·滕州月考）如图，在 中， 于点 ， ， ， ．求 与 的面积．
【答案】解： 于点 ， ， ，
，
，
，
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】利用勾股定理求出CD=12，再求出AD=16，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
17．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90° ，AB=3，BC=5，CD=12，BD= 13，求四边形ABDC的面积．
【答案】解：Rt△ABC中，
由勾股定理得：AC=4．
在△BCD中，
因为BC2+CD2 = 169，BD2=169，
所以BC2+CD2= BD2．
即△BCD是直角三角形．
所以S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=6+ 30= 36．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 Rt△ABC中，由勾股定理求出AC=4， 利用勾股定理的逆定理判断出△BCD是直角三角形且∠BCD=90°，根据S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD进行计算即可 ．
四、综合题
18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2=AE2+AC2．
（1）求证：∠A=90°；
（2）若AC=6，BD=5，求△AEC的周长．
【答案】（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥CB，
∴EB= EC，
∵BE2=AE2 +AC2
∴EC2=EA2+AC2
∴∠A=90°．
（2）解：∵D是BC的中点，BD=5，
∴BC=2BD= 10，
∵∠A=90° ，AC=6，
∴AB2=BC2 -AC2= 102-62=64，
∴AB=8，
∵EB=EC，
∴△AEC的周长=AE+EC+AC=AE+ EB+AC= AB+AC=8+6= 14．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）先求出 EB= EC， 再求出 EC2=EA2+AC2 ，最后求解即可；
（2）先求出BC=10，再利用勾股定理求出AB=8，最后求三角形的周长即可。
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