初中数学华师大版八年级上学期第14章14.2勾股定理的应用同步练习
一、单选题
1．（2021八下·南川期末）放学以后，红红和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若红红和晓晓行走的速度都是50米/分，红红用12分钟到家，晓晓用16分钟到家，红红家和晓晓家的直线距离为（ ）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，∵红红和晓晓行走的速度都是50米/分，红红用12分钟到家，晓晓用16分钟到家，
∴OA=50×12=600（米），OB=50×16=800（米），
在Rt△AOB中，
∵AB2=OA2+OB2，
∴AB= =1000（米）.
故答案为：C.
【分析】画出平面图，易得OA、OB的值，然后利用勾股定理可求出AB的值.
2．（2021八下·老河口期末）如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（ ）
A．140米 B．120米 C．100米 D．90米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】因为两点之间线段最短，所以AC的长即为从A到C的最短距离，
根据矩形的对边相等，得BC=AD=80米，
再根据勾股定理，得，AC= =100（米）.
故答案为：C.
【分析】根据两点之间线段最短可知AC的长即为从A到C的最短距离，然后用勾股定理可求解.
3．（2021八下·咸宁期末）将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC=
=13，则在杯外的最小长度是24-13=11cm.
所以h的取值范围是11≤h≤12.
故答案为：C
【分析】由题意可知：当筷子垂直放置在杯内壁时，筷子在杯内的长度最小，杯外的长度最大；当筷子斜放置在杯内壁且与底面圆直径、杯壁构成直角三角形时，筷子在杯内的长度最大，杯外的长度最小，分别计算h的值，即可求解.
4．（2021八下·龙湖期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x 1）2＋52＝x2．
故答案为：B．
【分析】建立数学模型，运用勾股定理进行计算即可
5．（2021八上·槐荫月考）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口 处出发先往东走 ，又往北走 ，遇到障碍后又往西走 ，再向北走到 处往东拐，仅走了 ，就找到了宝藏，则门口 到藏宝点 的直线距离是（ ）
A．20km B．14km C．11km D．10km
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】过点B作BC⊥AC，且AC，BC交于C点，
∴∠ACB=90°，
由图中可以得：AC=（8-3+1）千米=6千米，BC=（2+6）千米=8千米，
在Rt△ABC中，AC=6千米，BC=8千米
则根据勾股定理 千米，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出A、B两地的水平距离和竖直距离，运用勾股定理求出AB的长。
6．（2021八上·槐荫月考）如图，圆柱的高为4cm，底面半径为 cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（ ）cm．
A．5 B．5π C．3+ D．3+
【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：把圆柱体沿着直线 AC 剪开，得到矩形如下：
则线段 的长度为所求的最短距离.
由题意得圆柱的高为： 底面半径为 ，
所以蚂蚁至少要爬行5cm路程才能吃到食物.
故答案为：A
【分析】根据两点之间线段最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接两点求出距离即可。
7．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别2F为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶。上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A．20dm B．25 dm C．30 dm D．35 dm
【答案】B
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的应用
【解析】【解答】三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是AB的长，
∴AB==25dm，
故答案为：B.
【分析】先将图形平面展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可.
8．（2020八上·遂宁期末）如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（ ）
A． B．17 C． D．
【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，
蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：
H′E＝ ，
②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，
则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：
H′E＝
∵17＞
∴蚂蚁到达饼干的最短距离是 ，
故答案为：A．
【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
二、填空题
9．在求一些高度、长度、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的 三角形，也就是把实际问题转化为数学模型，进而把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用 进行解决．
【答案】直角；勾股定理
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在求一些高度、长度、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把实际问题转化为数学模型，进而把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行解决.
故答案为：直角；勾股定理.
【分析】在解直角三角形时，首先需找出要求的边所在的直角三角形，然后根据勾股定理进行求解.
10．（2021·姜堰模拟）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 尺，秋千踏板离地的距离 和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为 .
【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：
OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
（x+1﹣5）2+102＝x2.
故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2.
【分析】由题意知：OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，在Rt△OCP'中，由勾股定理建立方程即可.
11．（2020八上·宁夏期中）下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角 ，而走“捷径 ”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路 ”.已知 米， 米，只为少走 米的路.
【答案】20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=40m，BC=30m，则：AC= =50m
所以少走的路为40+30-50=20m.
故答案为：20 .
【分析】先用勾股定理求出AC的长，然后用AB+BC-AC求出少走的路即可.
12．（2021八上·滕州月考）印度数学家什迦罗（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？如图所示：荷花茎与湖面的交点为O，点O距荷花的底端A的距离为0.5尺；被强风吹一边后，荷花底端与湖面交于点B，点B到点O的距离为2尺，则湖水深度 的长是 尺．
【答案】3.75
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水深 尺，则荷花茎的长度为 ，
根据勾股定理得：
解得： ．
答：湖水深3.75尺．
故答案为：3.75．
【分析】先求出，再解方程求解即可。
13．小彬到某产业示范村参观，看到一个贴有“年”字的圆柱形粮仓非常漂亮(如图①)，回家后小彬制作了一个底面圆周长为6cm，高为4cm的圆柱形粮仓模型．如图②，BC是底面圆的直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点(接头不计)，则装饰带的长度最小为
【答案】10 cm
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC=A'C，且点C为BB'的中点，
易知AB=4 cm， BC= ×6=3( cm)，
在Rt△ABC中，AC2 =AB2+BC2=42+32=52，AC=5 cm，
∴装饰带的长度最小为2AC=2×5= 10( cm)．
【分析】有平面图形的折叠及立体球形的表面积展开图的特点解题。
三、解答题
14．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺？
【答案】解：圆柱体的侧面展开如图所示，
由题意得：AB= 20，CD= ×20=4， AC= 3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC2+CD2=AD2，
32+42=AD2，
所以AD= 5．
所以缠绕五周后的最短长度是5×5=25(尺)．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】首先画出圆柱体的侧面展开图，由题意可得：AB=20，CD=×20=4，AC=3，然后在Rt△ACD中，应用勾股定理可求得AD的值，进而求得缠绕五周后的最短长度.
四、综合题
15．（2021八下·宜州期中）如图，一架25米长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，梯子底端 离墙 有7米.
（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？
（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米.”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由.
【答案】（1）解：如图，
由题意得 ， ，
∴
∴
即顶端A距地面有24米
（2）解：她的说法不正确；
由题意得 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴梯子水平滑动了8米，
∴她的说法不正确.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意可得AB=25，OB=7，然后在Rt△AOB中，应用勾股定理求解即可；
（2）由题意可得A1B1=25，AA1=4，A1O=20，然后由勾股定理求出B1O的值，进而得到B1B的值，据此进行判断.
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期第14章14.2勾股定理的应用同步练习
一、单选题
1．（2021八下·南川期末）放学以后，红红和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若红红和晓晓行走的速度都是50米/分，红红用12分钟到家，晓晓用16分钟到家，红红家和晓晓家的直线距离为（ ）
A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定
2．（2021八下·老河口期末）如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（ ）
A．140米 B．120米 C．100米 D．90米
3．（2021八下·咸宁期末）将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八下·龙湖期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021八上·槐荫月考）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口 处出发先往东走 ，又往北走 ，遇到障碍后又往西走 ，再向北走到 处往东拐，仅走了 ，就找到了宝藏，则门口 到藏宝点 的直线距离是（ ）
A．20km B．14km C．11km D．10km
6．（2021八上·槐荫月考）如图，圆柱的高为4cm，底面半径为 cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（ ）cm．
A．5 B．5π C．3+ D．3+
7．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别2F为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶。上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A．20dm B．25 dm C．30 dm D．35 dm
8．（2020八上·遂宁期末）如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐內点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形ABCD的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（ ）
A． B．17 C． D．
二、填空题
9．在求一些高度、长度、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的 三角形，也就是把实际问题转化为数学模型，进而把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用 进行解决．
10．（2021·姜堰模拟）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 尺，秋千踏板离地的距离 和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为 .
11．（2020八上·宁夏期中）下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角 ，而走“捷径 ”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路 ”.已知 米， 米，只为少走 米的路.
12．（2021八上·滕州月考）印度数学家什迦罗（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？如图所示：荷花茎与湖面的交点为O，点O距荷花的底端A的距离为0.5尺；被强风吹一边后，荷花底端与湖面交于点B，点B到点O的距离为2尺，则湖水深度 的长是 尺．
13．小彬到某产业示范村参观，看到一个贴有“年”字的圆柱形粮仓非常漂亮(如图①)，回家后小彬制作了一个底面圆周长为6cm，高为4cm的圆柱形粮仓模型．如图②，BC是底面圆的直径，AB是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点(接头不计)，则装饰带的长度最小为
三、解答题
14．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺？
四、综合题
15．（2021八下·宜州期中）如图，一架25米长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，梯子底端 离墙 有7米.
（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？
（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米.”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，∵红红和晓晓行走的速度都是50米/分，红红用12分钟到家，晓晓用16分钟到家，
∴OA=50×12=600（米），OB=50×16=800（米），
在Rt△AOB中，
∵AB2=OA2+OB2，
∴AB= =1000（米）.
故答案为：C.
【分析】画出平面图，易得OA、OB的值，然后利用勾股定理可求出AB的值.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】因为两点之间线段最短，所以AC的长即为从A到C的最短距离，
根据矩形的对边相等，得BC=AD=80米，
再根据勾股定理，得，AC= =100（米）.
故答案为：C.
【分析】根据两点之间线段最短可知AC的长即为从A到C的最短距离，然后用勾股定理可求解.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC=
=13，则在杯外的最小长度是24-13=11cm.
所以h的取值范围是11≤h≤12.
故答案为：C
【分析】由题意可知：当筷子垂直放置在杯内壁时，筷子在杯内的长度最小，杯外的长度最大；当筷子斜放置在杯内壁且与底面圆直径、杯壁构成直角三角形时，筷子在杯内的长度最大，杯外的长度最小，分别计算h的值，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x 1）2＋52＝x2．
故答案为：B．
【分析】建立数学模型，运用勾股定理进行计算即可
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】过点B作BC⊥AC，且AC，BC交于C点，
∴∠ACB=90°，
由图中可以得：AC=（8-3+1）千米=6千米，BC=（2+6）千米=8千米，
在Rt△ABC中，AC=6千米，BC=8千米
则根据勾股定理 千米，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出A、B两地的水平距离和竖直距离，运用勾股定理求出AB的长。
6．【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：把圆柱体沿着直线 AC 剪开，得到矩形如下：
则线段 的长度为所求的最短距离.
由题意得圆柱的高为： 底面半径为 ，
所以蚂蚁至少要爬行5cm路程才能吃到食物.
故答案为：A
【分析】根据两点之间线段最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接两点求出距离即可。
7．【答案】B
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的应用
【解析】【解答】三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是AB的长，
∴AB==25dm，
故答案为：B.
【分析】先将图形平面展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可.
8．【答案】A
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，
蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：
H′E＝ ，
②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，
则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：
H′E＝
∵17＞
∴蚂蚁到达饼干的最短距离是 ，
故答案为：A．
【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
9．【答案】直角；勾股定理
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在求一些高度、长度、宽度等量时，首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把实际问题转化为数学模型，进而把要求的量看作直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行解决.
故答案为：直角；勾股定理.
【分析】在解直角三角形时，首先需找出要求的边所在的直角三角形，然后根据勾股定理进行求解.
10．【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：
OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
（x+1﹣5）2+102＝x2.
故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2.
【分析】由题意知：OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，在Rt△OCP'中，由勾股定理建立方程即可.
11．【答案】20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=40m，BC=30m，则：AC= =50m
所以少走的路为40+30-50=20m.
故答案为：20 .
【分析】先用勾股定理求出AC的长，然后用AB+BC-AC求出少走的路即可.
12．【答案】3.75
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水深 尺，则荷花茎的长度为 ，
根据勾股定理得：
解得： ．
答：湖水深3.75尺．
故答案为：3.75．
【分析】先求出，再解方程求解即可。
13．【答案】10 cm
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC=A'C，且点C为BB'的中点，
易知AB=4 cm， BC= ×6=3( cm)，
在Rt△ABC中，AC2 =AB2+BC2=42+32=52，AC=5 cm，
∴装饰带的长度最小为2AC=2×5= 10( cm)．
【分析】有平面图形的折叠及立体球形的表面积展开图的特点解题。
14．【答案】解：圆柱体的侧面展开如图所示，
由题意得：AB= 20，CD= ×20=4， AC= 3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC2+CD2=AD2，
32+42=AD2，
所以AD= 5．
所以缠绕五周后的最短长度是5×5=25(尺)．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】首先画出圆柱体的侧面展开图，由题意可得：AB=20，CD=×20=4，AC=3，然后在Rt△ACD中，应用勾股定理可求得AD的值，进而求得缠绕五周后的最短长度.
15．【答案】（1）解：如图，
由题意得 ， ，
∴
∴
即顶端A距地面有24米
（2）解：她的说法不正确；
由题意得 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴梯子水平滑动了8米，
∴她的说法不正确.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意可得AB=25，OB=7，然后在Rt△AOB中，应用勾股定理求解即可；
（2）由题意可得A1B1=25，AA1=4，A1O=20，然后由勾股定理求出B1O的值，进而得到B1B的值，据此进行判断.
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