安徽省示范高中2013届高三9月摸底考试（数学理）含解析

2013届安徽省示范高中高三9月模底考试
数学（理科）
一、选择题
1、已知i是虚数单位，复数的虚部为（　　）
A、－2　B、2　C、－2i　　D、2i
2、已知集合A＝{1，10，}，B＝{y|y=lgx，xA},则AB＝（　　）
A、{}　　B、{10}　　 C、{1}　　D、
3、已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，向量a与b的夹角为，c＝a＋2b，则｜c｜＝（　　）
A、　　B、　　C、2　　D、3
4、样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为＝（　　）
　A、　　B、　　C、　　D、2
5、函数的图象大致是（　　）
6、如图所示程序框图的输出的所有　都在函数（　　）
A、y＝x＋1的图象上　　B、y＝2x的图象上
C、y＝的图象上　　　D、y＝的图象上
7、“1＜a＜2”是“对任意的正数x，2”的（　　）
A、充分不必要条件　　B、必要不充分条件
C、充要条件　　　　　D、既不充分也不必要条件
8、已知Sn是等差数列{}的前n项和，且S3＝S8，S7＝Sk，则k的值为（　　）
　A、3　　B、4　　C、5　　D、6
9、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为（1,4）的“同族函数”共有（　　）
　A、7个　　B、8个　　C、9个　　D、10个
10、已知函数f（x）＝sinx和g（x）＝cosx的定义均为［a，b］，若g（a）·g（b）＜0，则下列判断错误的是（　　）
A、f（x）在［a，b］必有最小值　　B、g（x）在［a，b］必有最大值　　　
C、f（x）在［a，b］必有极值　　　D、g（x）在［a，b］必有极值　
二、填空题
11、从集合{－1，1，2，3}中随机选取一个数记为m，从集合{－1，1，2}中随机选取一个数记为n，则方程＝1表示双曲线的概率为＿＿＿＿
12、若实数x，y满足，则x＋2y的值域为＿＿＿＿
13、已知（x2＋）n的展开式的各系数和为32，则展开式中x的系数为＿＿＿＿
14、某几何体的三视图（单位：m）如图所示，则其表面积为＿＿＿
15、设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当｜AB｜取最小值时，切线l的方程为＿＿＿＿
三、解答题（75分）
16、（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设向量m＝（a，b），n＝（sinB，sinA），p＝（b－2，a－2）。
（I）若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形。
（II）若m⊥p，∠C＝，c＝2，求△ABC的面积。
17、（本小题满分12分）
　　从甲、乙两个班级各随机抽取10名同学的数学成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格。
　　（I）从每班抽取的同学中各抽取一人，求至少有一人及格的概率；
　　（II）从甲班10人中抽取一个，乙班10人中抽取两人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望。
18、（本小题满分12分）
递增的等比数列{}的前n项和为Sn，且
（I）求数列{}的通项公式。
（II）若＝，数列{}的前n项和为Tn，求成立的最小正整数n的值。
19、（本小题满分12分）
如图，四棱锥P－ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E，F分别是AB，BC的中点N在轴上
（I）求证：PF⊥FD；
（II）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；
（III）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值。
20、（本小题满分13分）
如图，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，AB⊥AF2。
（I）求椭圆C的离心率。
（II）D是过A，B，F2三点的圆上的点，D到直线l：－3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程。
21、（本小题满分13分）
已知函数f（x）＝a（lnx－x）（aR）。
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若函数y＝f（x）的　图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数
g（x）＝在区间（2,3）上总存在极值，求实数m的取值范围。
答案
1.B 解析: ，所以虚部为2
2.C 解析:，所以.
3.A 解析: .
4.D 解析:
5.B 解析:∵是奇函数,排除A；排除D；
,排除C；选B.
6.D 解析:依程序框图可知输出的点为（1,1）、（2,2）、（3,4）、（4,8），结合选项可知选D.
7.A 解析: 故选A.
8.B 解析:
9. C 解析:由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：函数解析式为，值域为，那么定义域内的元素可为，则定义域可为下列的9种：，，因此“同族函数”有9个.
10.D 解析:
11. 解析:由题意知基本事件总数为12，表示双曲线的要求为．当m=-1时，n=1、2；当n=-1时，m=1、2、3.故表示双曲线的概率为．
12. 解析:可行域如图.设则.易知点，为最优解.
,,
又可行域过原点，.
13.10 解析: 令=1,得展开式的各项系数和为=,
令
14. 解析：依题意可得该几何体是一个组合体，
它的上部分与下部分都是四棱锥，中间是—个正方体，
上部分的表面积为=m2，
中间部分的表面积为(m2)，
下部分的表面积为(m2)，
故所求的表面积为m2．
15. 解析：设A,B的坐标为，则AB的直线方程为，即，因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理得，即，所以，当且仅当时取等号，又，所以的最小值为，此时，即，切线方程为，即.
16.解析：（Ⅰ）………………………………3分
即，其中R是△ABC外接圆半径，
为等腰三角形 ……………………………………………6分
（Ⅱ）由题意可知 ……8分
由余弦定理可知，
…………………………10分
………………………………………12分
17.解析：（Ⅰ）由茎叶图知甲班有4人及格，乙班有5人及格.………………2分
事件“从每班抽取的同学中各抽取一人，至少有一人及格”记作，
则………………………………………………5分
（Ⅱ）取值为0，1，2，3.…………………………………………………6分
所以的分布列为
0 1 2 3
…………………11分
所以…………………………………………………………12分
18.解析：（Ⅰ），………………………………2分
∵数列递增，∴，∴…………………………………5分
（Ⅱ）,
设…………..①
………..②
①-②得: ,
,………………………………………………………..10分
，即,
∴正整数的最小值是5…………………………………………………12分
19.解析：（Ⅰ）连接AF，则AF＝，DF＝，
又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，
又PA∩AF＝A， ……………4分
（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，
∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．
从而满足AG＝AP的点G为所求． ………………8分
（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA⊥平面ABCD ，所以是与平面所成的角．
又由已知可得，所以，所以
．
设平面的法向量为，由得，
令，解得：，所以．
又因为，所以是平面的法向量，
所以．
由图知，二面角的余弦值为． ……………………13分
20.解析：（Ⅰ）设B（x0，0），由（c，0），A（0，b），
知
，
由 知为中点，故
，即，故椭圆C的离心率 ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知得，于是（，0）, B，
△ABF的外接圆圆心为（，0），半径r=,
D到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，
所以，解得=2，∴c =1，b=，
所以椭圆C的方程为. ………………13分
21.解析：（Ⅰ）易知的定义域为.………………………1分
当时,令即解得增区间为.同理减区间为(0,1);
当时,令即解得增区间为(0,1).同理减区间为;
当时, 不是单调函数. 　…………………………………………………6分
（Ⅱ）∵的图像在点处的切线的倾斜角为45°，
∴ ……………………………………7分
……………………………9分
,
要使函数在区间（2，3）上总存在极值,只需
…………………………………………………13分