2018-2019学年湖南省益阳市安化县龙塘中学九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2018-2019学年湖南省益阳市安化县龙塘中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题。（每题4分，共40分）
1．（4分）若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣2＝0是一元二次方程，则m满足（　　）
A．m≠1 B．m≠﹣1
C．m≠0 D．m为任意实数
2．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
3．（4分）若点A（2，a）与B（1，b）是反比例函数y＝﹣的图象是两点，则a与b的大小关系是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定
4．（4分）如果甲乙两地相距25cm，那么在1：1000000的地图上它们相距（　　）
A．2.5km B．25km C．0.25km D．250km
5．（4分）如下图，在函数y＝的图象上取A、C两点，由这两点分布向x轴作垂线，垂足B、D，设△AOB、△COD的面积分别为s1、s2，则下列正确的是（　　）
A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．不能确定
6．（4分）反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k在同一坐标系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）如果反比例函数y＝的图象经过点（1，1），则一次函数y＝kx﹣2的图象不经过的象限是（　　）
A．一 B．二 C．三 D．四
8．（4分）如图，D为△ABC的AB边上的一点，∠DCA＝∠B，若AC＝cm，AB＝3cm，则AD的长为（　　）
A．cm B．cm C．2cm D．cm
9．（4分）如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC等于（　　）
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
10．（4分）如果一个三角形三边长分别为，3，4，5与它相似的另一个三角形一边长为6，则另一个三角形周长为（　　）
A．24 B．18
C．18或24 D．18或24或
二、填空题（每题4分，共32分）
11．（4分）一元二次方程x2＝2x的根是　 　．
12．（4分）已知一元二次方程x2+px+3＝0的一个根是﹣1，则p＝　 　．
13．（4分）已知代数式x2+3x+5的值是7，则代数式2x2+6x﹣2的值是 　 　．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不等实根，则k的取值范围是 　 　．
15．（4分）深圳经济开发区1月份工业产值为72亿元，3月份工业产值为50亿元，设平均每月降低的百分率为x，可列方程为 　 　．
16．（4分）如图，P为反比例函数y＝﹣的图象上任意一点，作PE垂直x轴于点E，作PF垂直y轴于点F，则四边形PEOF的面积为 　 　．
17．（4分）如图，G是平行四边形ABCD边CD的延长线上一点，图中相似三角形有 　 　．
18．（4分）图，△ABC中，BC＝2，DE是它的中位线，下面三个结论：①DE＝1；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．其中正确的有 　 　．
三、解答题（19题20分，20～25题各8分，26题10分，共78分）
19．（20分）解方程
（1）x2﹣2x+1＝4；
（2）x（2x﹣3）＝2（2x﹣3）；
（3）x2﹣x﹣6＝0；
（4）（x+2）（x+3）＝﹣1．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为2，求它的另一个根及m的值．
21．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，其中a＝6，b＝8，且关于x的方程x2﹣cx+25＝0有两个相等的实数根，试判断三角形ABC的形状．
22．（8分）某专卖店每天销售20件商品时，每件商品可获得40元的利润．经过调查发现，此商品的单价每降低1元，则平均每天可多售出2件商品，若该店想获得1200元的利润，并且考虑要尽可能多的让利于顾客，每件商品应该降价多少元？
23．（8分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm，点P、Q同时从B、A出发，分别向终点A、C移动，P、Q的速度分别是2cm/s，1cm/s，问经过几s后，三角形APQ的面积是2cm2？
24．（8分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．
（1）求证：△ADE∽△EFC；
（2）AD：DB＝2：3，AB＝15，BC＝10，求四边形BDEF的周长．
25．（8分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且CD2＝AD BC．
（1）求证：△APD∽△PBC；
（2）求∠APB的度数．
26．（10分）Rt△AOB在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为原点，点A（0，8），点B（6，0），点P在线段AB上，且AP＝6．
（1）求点P的坐标；
（2）x轴上是否存在点Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2018-2019学年湖南省益阳市安化县龙塘中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（每题4分，共40分）
1．（4分）若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣2＝0是一元二次方程，则m满足（　　）
A．m≠1 B．m≠﹣1
C．m≠0 D．m为任意实数
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣2＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
解得m≠1．
故选：A．
2．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【分析】计算出方程的判别式为Δ＝m2+4，可知其大于0，可判断出方程根的情况．
【解答】解：
方程x2+mx﹣1＝0的判别式为Δ＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．（4分）若点A（2，a）与B（1，b）是反比例函数y＝﹣的图象是两点，则a与b的大小关系是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0，
∴图象在二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大，
∵点A（2，a）与点B（1，b）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且2＞1，
∴a＞b．
故选：A．
4．（4分）如果甲乙两地相距25cm，那么在1：1000000的地图上它们相距（　　）
A．2.5km B．25km C．0.25km D．250km
【分析】由比例尺定义可知，图上距离＝实际距离×比例尺，依题意列式即可得出图上距离．
【解答】解：根据图上距离＝实际距离×比例尺，得实际距离＝25cm×1000000＝250km，
故选：D．
5．（4分）如下图，在函数y＝的图象上取A、C两点，由这两点分布向x轴作垂线，垂足B、D，设△AOB、△COD的面积分别为s1、s2，则下列正确的是（　　）
A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．不能确定
【分析】由于A、C两点在反比例函数图象上，则直角三角形AOB与直角三角形COD的面积都为|k|，相等．
【解答】解：∵在函数y＝的图象上取A、C两点，由这两点分布向x轴作垂线，垂足B、D，
∴直角三角形AOB与直角三角形COD的面积S1＝S2＝|k|．
故选：C．
6．（4分）反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k在同一坐标系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y＝的图象在二，四象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、二、四象限，选项C符合；
当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y＝的图象在一、三象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、三、四象限，无符合选项．
故选：C．
7．（4分）如果反比例函数y＝的图象经过点（1，1），则一次函数y＝kx﹣2的图象不经过的象限是（　　）
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】首先把（1，1）代入反比例函数解析式求得k；从而可得一次函数解析式，即可判断直线经过的象限．
【解答】解：根据题意，得：
函数的图象经过点（1，1），
∴k＝1，
则函数y＝kx﹣2即为y＝x﹣2，它的图象过一、三、四象限，一定不过第一象限．
故选：A．
8．（4分）如图，D为△ABC的AB边上的一点，∠DCA＝∠B，若AC＝cm，AB＝3cm，则AD的长为（　　）
A．cm B．cm C．2cm D．cm
【分析】先判断△ADC与△ACB相似，再利用相似三角形对应边成比例求解即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠DCA＝∠B，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∵AC＝cm，AB＝3cm，
∴AD：＝：3，
解得AD＝2cm．
故选：C．
9．（4分）如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，那么AE：AC等于（　　）
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
【分析】由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，得S△ADE：S△ABC＝1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝AE2：AC2，
∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，
∴S△ADE：S△ABC＝1：9，
∴AE：AC＝1：3．
故选：B．
10．（4分）如果一个三角形三边长分别为，3，4，5与它相似的另一个三角形一边长为6，则另一个三角形周长为（　　）
A．24 B．18
C．18或24 D．18或24或
【分析】先求出已知三角形的周长，然后分对应边的不同，分三种情况，根据相似三角形周长的比等于相似比列式计算即可得解．
【解答】解：由题意，三角形的周长为3+4+5＝12，
设另一个与它相似的三角形的周长为x，
①6与3是对应边时，
∵两三角形相似，
∴＝，
解得x＝24；
②6与4是对应边时，
∵两三角形相似，
∴＝，
解得x＝18；
③6与5是对应边时，
∵两三角形相似，
∴＝，
解得x＝；
综上，这个三角形的周长可能是24或18或．
故选：D．
二、填空题（每题4分，共32分）
11．（4分）一元二次方程x2＝2x的根是　x1＝0，x2＝2　．
【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．
【解答】解：移项，得x2﹣2x＝0，
提公因式得，x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
12．（4分）已知一元二次方程x2+px+3＝0的一个根是﹣1，则p＝　4　．
【分析】将x＝﹣1代入一元二次方程x2+px+3＝0，即可求得p的值，本题得以解决．
【解答】解：∵一元二次方程x2+px+3＝0有一个根为﹣1，
∴（﹣1）2+p×（﹣1）+3＝0，
解得，p＝4，
故答案为：4．
13．（4分）已知代数式x2+3x+5的值是7，则代数式2x2+6x﹣2的值是 　2　．
【分析】由已知得x2+3x＝2，再将所求式子变形为含x2+3x的形式，整体代入即可得答案．
【解答】解：∵x2+3x+5＝7，
∴x2+3x＝2，
∴2x2+6x﹣2＝2（x2+3x）﹣2＝2×2﹣2＝2，
故答案为：2．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不等实根，则k的取值范围是 　k＜1且k≠0　．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k＞0，
解得k＜1且k≠0．
故答案为k＜1且k≠0．
15．（4分）深圳经济开发区1月份工业产值为72亿元，3月份工业产值为50亿元，设平均每月降低的百分率为x，可列方程为 　72（1﹣x）2＝50　．
【分析】三月份的产值＝一月份工业产值×（1﹣平均每月增长的百分率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份工业产值达72亿元，平均每月增长的百分率为x，
∴二月份的工业产值为72（1﹣x），
∴三月份的工业产值为72（1﹣x）（1﹣x）＝50（1﹣x）2，
∴可列方程为72（1﹣x）2＝50，
故答案为：72（1﹣x）2＝50．
16．（4分）如图，P为反比例函数y＝﹣的图象上任意一点，作PE垂直x轴于点E，作PF垂直y轴于点F，则四边形PEOF的面积为 　2　．
【分析】根据反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，即可求解．
【解答】解：四边形PEOF的面积为|﹣2|＝2．
故答案是：2．
17．（4分）如图，G是平行四边形ABCD边CD的延长线上一点，图中相似三角形有 　6对　．
【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∵△ABE∽△CGE，△AEF∽△CEB，△GFD∽△GBC，△ABF∽△DGF，△ABF∽△GBC五对，还有一对特殊的相似即△ABC≌△ADC，
∴共6对．
故答案为：6对．
18．（4分）图，△ABC中，BC＝2，DE是它的中位线，下面三个结论：①DE＝1；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．其中正确的有 　①②③　．
【分析】首先由DE是△ABC的中位线即可得出DE的长，由此对①进行判断；接下来根据三角形中位线的性质可得DE∥BC，再结合相似三角形的判定定理可对②进行判断；然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得到△ADE的面积与△ABC的面积比，由此可对③进行判定．
【解答】解：①∵DE是它的中位线，BC＝2，
∴DE＝×BC＝1．
故①正确；
②在△ABC中，BC＝2，DE是它的中位线，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
故②正确；
③∵△ADE∽△ABC，相似比为1：2，
∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．
故③正确．
故答案为：①②③．
三、解答题（19题20分，20～25题各8分，26题10分，共78分）
19．（20分）解方程
（1）x2﹣2x+1＝4；
（2）x（2x﹣3）＝2（2x﹣3）；
（3）x2﹣x﹣6＝0；
（4）（x+2）（x+3）＝﹣1．
【分析】（1）（2）（3）利用因式分解求解即可；
（4）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝4，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x（2x﹣3）＝2（2x﹣3），
x（2x﹣3）﹣2（2x﹣3）＝0，
（2x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得x1＝，x2＝2；
（3）x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣2．
（4）（x+2）（x+3）＝﹣1，
x2+5x+7＝0，
∵a＝1，b＝5，c＝7，
∴b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣4＜0，
∴原方程无实数跟．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为2，求它的另一个根及m的值．
【分析】设方程的另一个根为a，由根与系数的关系得出a+2＝3，a×2＝m，求出即可．
【解答】解：设方程的另一个根为a，
则由根与系数的关系得：a+2＝3，a×2＝m，
解得：a＝1，m＝2，
另一根为1，m＝2．
21．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边，其中a＝6，b＝8，且关于x的方程x2﹣cx+25＝0有两个相等的实数根，试判断三角形ABC的形状．
【分析】先利用判别式的意义得Δ＝（﹣c）2﹣4×25＝0，所以c＝10，然后根据勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣cx+25＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣c）2﹣4×25＝0，
而c＞0，
∴c＝10，
∵a＝6，b＝8，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
22．（8分）某专卖店每天销售20件商品时，每件商品可获得40元的利润．经过调查发现，此商品的单价每降低1元，则平均每天可多售出2件商品，若该店想获得1200元的利润，并且考虑要尽可能多的让利于顾客，每件商品应该降价多少元？
【分析】设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，利用每天获得的利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽可能多的让利于顾客，即可得出每件商品应该降价20元．
【解答】解：设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵要尽可能多的让利于顾客，
∴x＝20．
答：每件商品应该降价20元．
23．（8分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm，点P、Q同时从B、A出发，分别向终点A、C移动，P、Q的速度分别是2cm/s，1cm/s，问经过几s后，三角形APQ的面积是2cm2？
【分析】在Rt△ABC中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB的长，过点Q作QM⊥AB于点M，设运动时间为ts，则AP＝（16﹣2t）cm，QM＝tcm，由三角形APQ的面积是2cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm，
∴AB＝2BC＝16cm.
过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
设运动时间为ts，则AP＝（16﹣2t）cm，AQ＝tcm，QM＝AQ＝tcm，
依题意得：×t （16﹣2t）＝2，
整理得：t2﹣8t+4＝0，
解得：t1＝4+2，t2＝4﹣2．
答：经过（4﹣2）s或（4+2）s后，三角形APQ的面积是2cm2．
24．（8分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．
（1）求证：△ADE∽△EFC；
（2）AD：DB＝2：3，AB＝15，BC＝10，求四边形BDEF的周长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AED＝∠C，∠EFC＝∠B，∠ADE＝∠B，等量代换得到∠ADE＝∠EFC，即可求解；
（2）由DE∥BC，EF∥AB，推出四边形BDEF是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DE＝BF，BD＝EF，由于△ADE∽△EFC，△ADE∽△ABC，AD：DB＝2：3，得到BD＝9，DE＝4，即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，∠EFC＝∠B，∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
（2）解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE＝BF，BD＝EF，
∵△ADE∽△EFC，△ADE∽△ABC，AD：DB＝2：3，
∴AD：AB＝2：5＝DE：BC，
∵AB＝15，BC＝10，
∴AD＝6，BD＝9，DE＝4，
∴四边形BDEF的周长＝2×（BD+DE）＝24．
25．（8分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且CD2＝AD BC．
（1）求证：△APD∽△PBC；
（2）求∠APB的度数．
【分析】（1）CD2＝AD BC可得AD：PC＝PD：BC，又由△PCD是等边三角形，所以可求出∠ADP＝∠BCP＝120°，进而证明△ACP∽△PDB；
（2）由△APD∽△PBC，可得∠APD＝∠B，则可求得∠APB的大小．
【解答】解：（1）证明：
∵△PCD是等边三角形，
∴PD＝PC＝DC，∠PDC＝∠PCD＝60°，
∴∠ADP＝∠BCP＝120°，
∵CD2＝AD BC，
∴AD：PC＝PD：BC，
∴△APD∽△PBC；
（2）∵△APD∽△PBC，
∴∠APD＝∠B，
∵∠B+∠BPC＝60°，
∴∠APD+∠BPC＝60°，
∴∠APB＝60°+∠DPC＝120°．
26．（10分）Rt△AOB在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为原点，点A（0，8），点B（6，0），点P在线段AB上，且AP＝6．
（1）求点P的坐标；
（2）x轴上是否存在点Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】本题需要用到勾股定理以及三角形相似等方面的知识点，在求坐标的时候用方程思想可以更方便些．问题一可直接运用三角形相似求出结果，问题二则需要分情况讨论，Q点坐标不止一个．
【解答】解：（1）由勾股定理得AB＝10，设p点坐标为（x，y），
则由三角形相似可得＝代入数值可得x＝3.6．
＝，
解得y＝3.2
故P点坐标为（3.6，3.2）．
（2）假设Q点坐标为（q，0），若BP为斜边则q＝3.6．
若BQ为斜边，则＝，解得BQ＝，
因为OB＝6，
所以q＝﹣．
故Q点坐标为（3.6，0）或（﹣，0）．