2020-2021学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每题4分，满分40分）
1．（4分）已知两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形的对角平分线的比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
2．（4分）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2+5向右平移4个单位，得到的抛物线为（　　）
A．y＝x2+9 B．y＝x2﹣9 C．y＝（x﹣4）2+5 D．y＝（x+4）2+5
3．（4分）A、B两地的实际距离是400m，画在地图上的距离为2cm，则这幅地图的比例尺是（　　）
A．1：20 B．1：200 C．1：2000 D．1：20000
4．（4分）如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝2CE，BC＝6，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（4分）反比例函数y＝的图象，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（　　）
A．k≥2 B．k≤﹣2 C．k＞2 D．k＜﹣2
6．（4分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝﹣1，则下列四个结论中，错误的是（　　）
A．abc＞0 B．2a﹣b≠0 C．4ac﹣b2＜0 D．4a+c＜2b
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边BC、AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为（　　）
A． B． C．或 D．或
9．（4分）反比例函数y＝的一个分支与一次函数y＝x+5图象如图所示，若点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上，则k的值可能为（　　）
A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
10．（4分）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P从点D出发（不与点D重合），向点C运动，连接AP交射线BC于点Q，若DP＝x，BQ＝y，则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分
11．（5分）已知＝＝（b+d≠0），则的值为 　 　．
12．（5分）如图，点A（6，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则m的值为 　 　．
13．（5分）在△ABC中，∠ACD＝∠B，作DE∥BC交AC于点E，若AD：DB＝4：5，AC＝9，AD的长为 　 　．
14．（5分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，仅存在两个整数t使点P在x轴下方，则实数a的取值范围是 　 　．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，5）与（1，2）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）判断此二次函数与x轴交点的个数．
16．（8分）如图，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．
（1）AB＝3，求BC；
（2）EF＝7.5，BE的长．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是关于点P为位似中心的位似图形．其中A的坐标（8，3），B的坐标（5，0），C的坐标（7，0）．
（1）在图中标出位似中心点P的位置；并写出P的坐标；
（2）以O（0，0）为位似中心，将△A1B1C1作位似变换缩小为△A2B2C2，位似比为2：1；
（3）在（2）条件下，若点M（a，b）在△A1B1C1上直接写出M在△A2B2C2上的对应点M2的坐标．
18．（8分）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x﹣2的图象交于点A（a，2）和点B，连接OA，OB．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出满足y1＞y2的实数x的取值范围．
20．（10分）一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为1000元（不含套餐成本）．若每份售价为10元，每天可销售400份；若每份售价每提高1元，每天的销售量就减少20份．设每份套餐的提高x（元），用y（元）表示该店日净收入．（日净收入＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每份套餐的售价应提高多少元，才能使该店日净收入最大？最大值为多少？
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在CA上（不与A、C重合），DE与AB相交于点F．（1）求证：△BCD∽△DAF；
（2）若BC＝2，设CD＝x，AF＝y；
①求y关于x的函数解析式及自变量的取值范围；
②当AF最大时，判断△ADF的形状？
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE．
（1）当DE∥BC时，如图1．
①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长；
②若DE平分△ABC的周长，求AD的长；
（2）如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图MQ⊥PN于点O，点A在∠MON的角平分线上，作∠BAC＝45°，∠BAC的两边分别交OM，ON交于点C，B，交OP，OQ交于点E，D．
（1）求证：OA2＝OD OE；
（2）若AC＝OD，求OC：OD的值；
（3）若OB＝1，OE＝4．求tan∠CEO．
2020-2021学年安徽省合肥市庐阳区寿春中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每题4分，满分40分）
1．（4分）已知两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形的对角平分线的比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，
∴这两个三角形对应角平分线的比为1：4．
故选：B．
2．（4分）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2+5向右平移4个单位，得到的抛物线为（　　）
A．y＝x2+9 B．y＝x2﹣9 C．y＝（x﹣4）2+5 D．y＝（x+4）2+5
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：把抛物线y＝x2+5向右平移4个单位，得到的抛物线为y＝（x﹣4）2+5，
故选：C．
3．（4分）A、B两地的实际距离是400m，画在地图上的距离为2cm，则这幅地图的比例尺是（　　）
A．1：20 B．1：200 C．1：2000 D．1：20000
【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离计算．
【解答】解：400m＝40000cm，
则这幅地图的比例尺
2：40000，
＝1：20000，
故选：D．
4．（4分）如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝2CE，BC＝6，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，从而，代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AE＝2CE，
∴AC＝2CE，
∴，
∴DE＝4，
故选：B．
5．（4分）反比例函数y＝的图象，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（　　）
A．k≥2 B．k≤﹣2 C．k＞2 D．k＜﹣2
【分析】当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＜0时y随x的增大而增大，
∴2﹣k＜0，
解得k＞2．
故选：C．
6．（4分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D．在Rt△ABD中，根据正弦函数的定义即可得答案．
【解答】解：如图，过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D．
在Rt△ABD中，
∵BD＝4，AD＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴sinB＝＝，
故选：A．
7．（4分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝﹣1，则下列四个结论中，错误的是（　　）
A．abc＞0 B．2a﹣b≠0 C．4ac﹣b2＜0 D．4a+c＜2b
【分析】根据图象得出a，b，c的符号，即可判断A选项，由对称轴的位置即可判断B选项，由抛物线与x轴的交点个数即可判断C选项，由图象知x＝﹣2和x＝0时y的值相等，由此可判断D选项．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，
故A选项不合题意，
∵b＝2a，
∴b﹣2a＝0，
故B选项不合题意，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，
∴C选项不合题意，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣2和x＝0时，y的值相等，
∴4a﹣2b+c＝c＞0，
∴4a+c＞2b，
∴D选项符合题意，
故选：D．
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边BC、AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为（　　）
A． B． C．或 D．或
【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得CE的长，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
当△CDE∽△CBA时，
则，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，
∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4﹣CE，
∴，
解得CE＝；
当△CDE∽△CAB时，
则，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，
∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4﹣CE，
∴，
解得CE＝；
由上可得，CE的长为或，
故选：D．
9．（4分）反比例函数y＝的一个分支与一次函数y＝x+5图象如图所示，若点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上，则k的值可能为（　　）
A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
【分析】由一次函数的解析式求得A、B的坐标，然后根据图象得到关于k的不等式组，解不等式组求得k的取值范围即可．
【解答】解：∵点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上，
∴a+5＝1，b＝﹣2+5，
∴a＝﹣4，b＝3，
∴A（﹣4，1），B（﹣2，3），
由图象可知，，
解得﹣6＜k＜﹣4，
∴k的值可能为﹣5，
故选：B．
10．（4分）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P从点D出发（不与点D重合），向点C运动，连接AP交射线BC于点Q，若DP＝x，BQ＝y，则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】通过相似三角形△ADP∽△QBA的对应边成比例列出比例式，从而得到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象．
【解答】解：根据题意知△ADP∽△QBA，
则＝，即，
∴y＝（0＜x≤4），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．
A、B的图象都是直线的一部分，D的图象是抛物线的一部分，C的图象是双曲线的一部分．
故选：C．
二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分
11．（5分）已知＝＝（b+d≠0），则的值为 　　．
【分析】设a＝2020m，b＝2021m，c＝2020n，d＝2021n，代入代数式即可得到结论．
【解答】解：∵＝＝，
∴设a＝2020m，b＝2021m，c＝2020n，d＝2021n，
∴＝＝，
故答案为：．
12．（5分）如图，点A（6，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则m的值为 　8　．
【分析】如图，作AH⊥x轴于H．根据cosα＝＝，OH＝6，求出OA，再利用勾股定理求出AH即可解决问题．
【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H．
∵cosα＝＝，OH＝6，
∴OA＝10，
∴AH＝＝8，
∴m＝8，
故答案为：8．
13．（5分）在△ABC中，∠ACD＝∠B，作DE∥BC交AC于点E，若AD：DB＝4：5，AC＝9，AD的长为 　6　．
【分析】根据平行线分线段成比例可得AE＝4，再证明△ADE∽△ACD，则AD：AC＝AE：AD，代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴AD：BD＝AE：CE＝4：5，
∵AC＝9，
∴AE＝4，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠ADE，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴AD：AC＝AE：AD，
∴AD2＝AC×AE＝9×4＝36，
∵AD＞0，
∴AD＝6，
故答案为：6．
14．（5分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，仅存在两个整数t使点P在x轴下方，则实数a的取值范围是 　﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4　．
【分析】根据二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，设出P点坐标，由P在x轴下方得到t2﹣（a+1）t+a＜0，即（t﹣a）（t﹣1）＜0，分两种情况谈论，即可解答．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+1）x+a图象与直线x＝t相交于点P，
∴点P坐标为：（t，t2﹣（a+1）t+a），
∵点P在x轴下方，
∴t2﹣（a+1）t+a＜0，即（t﹣a）（t﹣1）＜0，
①当a＞1时，则1＜t＜a，
∵t仅有两个整数，
∴3＜a≤4；
②当a＜1时，则a＜t＜1，
又∵t仅有两个整数，
∴﹣2≤a＜﹣1．
综上所述，实数a的取值范围为：﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4．
故答案为：﹣2≤a＜﹣1或3＜a≤4．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，5）与（1，2）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）判断此二次函数与x轴交点的个数．
【分析】（1）根据二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，5）与（1，2），可以求得b、c的值，从而可以写出二次函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式，计算出b2﹣4ac的值，然后和0比较大小，即可得到此二次函数与x轴交点的个数．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，5）与（1，2），
∴，
解得，
该函数的解析式为y＝x2﹣4x+5；
（2）∵y＝x2﹣4x+5，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴此二次函数与x轴交点的个数为0．
16．（8分）如图，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．
（1）AB＝3，求BC；
（2）EF＝7.5，BE的长．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式＝，把已知数据代入计算即可．
（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式＝，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AD＝2，DE＝4，AB＝3，
∴＝，
解得：BC＝6；
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，
∴＝，
解得：BE＝5．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是关于点P为位似中心的位似图形．其中A的坐标（8，3），B的坐标（5，0），C的坐标（7，0）．
（1）在图中标出位似中心点P的位置；并写出P的坐标；
（2）以O（0，0）为位似中心，将△A1B1C1作位似变换缩小为△A2B2C2，位似比为2：1；
（3）在（2）条件下，若点M（a，b）在△A1B1C1上直接写出M在△A2B2C2上的对应点M2的坐标．
【分析】（1）延长A1A、C1C、B1B，它们的交点为P点，再写出P点坐标；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）利用（2）中坐标变换规律求解．
【解答】解：（1）如图，点P为所作，P点坐标为（8，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）M2的坐标为（a，b）．
18．（8分）小强在地面E处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时EA＝25米，CE＝2.5米．已知眼睛距离地面的高度DC＝1.6米，请计算出教学楼AB的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）
【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质得＝，即可求出AB．
【解答】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴Rt△AEB∽Rt△CED，
∴＝，
即＝，
解得：AB＝16（米）．
答：教学楼AB的高度为16米．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x﹣2的图象交于点A（a，2）和点B，连接OA，OB．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出满足y1＞y2的实数x的取值范围．
【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式可求反比例函数解析式和点B坐标；
（2）由题意可得一次函数与y轴的交点，根据三角形的面积公式可求△AOB的面积；
（3）根据图象可求解．
【解答】解：（1）∵点A在一次函数y2＝x﹣2的图象上，
∴2＝a﹣2
∴a＝4
∴点A坐标（4，2）
∵点A在反比例函数图象上，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为：y＝
∵
解得：，
∴点B（﹣2，﹣4）
（2）∵一次函数y2＝x﹣2的图象与y轴相交，
∴交点坐标（0，﹣2）
∴S△AOB＝＝6
（3）由图象可得：当x＜﹣2或0＜x＜4时，y1＞y2．
20．（10分）一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为1000元（不含套餐成本）．若每份售价为10元，每天可销售400份；若每份售价每提高1元，每天的销售量就减少20份．设每份套餐的提高x（元），用y（元）表示该店日净收入．（日净收入＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每份套餐的售价应提高多少元，才能使该店日净收入最大？最大值为多少？
【分析】（1）根据“日净收入＝（售价﹣成本）×（原销售量﹣20×提高的价格）﹣每天的固定收入”列式化简即可；
（2）将以上所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，y＝（10+x﹣5）（400﹣20x）﹣1000
＝﹣20x2+300x+1000；
（2）∵y＝﹣20x2+300x+1000＝﹣20（x﹣7.5）2+2125，
∴当x＝7.5时，y取得最大值，最大值为2125，
答：每份套餐的售价应提高7.5元，才能使该店日净收入最大，最大值为2125．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在CA上（不与A、C重合），DE与AB相交于点F．（1）求证：△BCD∽△DAF；
（2）若BC＝2，设CD＝x，AF＝y；
①求y关于x的函数解析式及自变量的取值范围；
②当AF最大时，判断△ADF的形状？
【分析】（1）由题意可知△ABC与△BDE都是等边三角形，可得∠A＝∠C＝∠BDE＝60°，易求∠ADF＝∠DBC，即可求解；
（2）①由（1）可知△BCD∽△DAF，根据线段比例关系，即可求解；
②根据①所求的解析式变式可求即当AF最大时，CD＝1，根据角的转换，可求得∠AFD＝90°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝∠BDE＝60°，
∵∠ADF+BDE＝∠C+∠DBC，
∴∠ADF＝∠DBC，
∴△BCD∽△DAF；
（2）解：①∵△BCD∽△DAF，
∴，
∵BC＝2，
设CD＝x，AF＝y，
∴，
∴y＝﹣x2+x（0＜x＜1）；
②△ADF为直角三角形，理由如下：
由①可得y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，y存在最大值为，即当AF最大时，CD＝1，
∴CD＝AD＝AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDE＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠AFD＝90°，即DF⊥AF，
∴△ADF为直角三角形．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AC上，点E在AB上，连接DE．
（1）当DE∥BC时，如图1．
①若DE平分△ABC的面积（即把△ABC的面积分成相等的两部分），求AD的长；
②若DE平分△ABC的周长，求AD的长；
（2）如图2，试问：是否存在DE将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出AD的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算；
②根据勾股定理求出AB，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；
（2）过点E作EF⊥AC于F，根据相似三角形的性质用x表示出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）①∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∵DE平分△ABC的面积，
∴＝，
∴＝，即，
解得：AD＝；
②在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，
∵DE平分△ABC的周长，
∴AD+AE＝6，即AE＝6﹣AD，
∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝；
（2）过点E作EF⊥AC于F，
设DE将△ABC的周长平分，
则AD+AE＝6，
设AD＝x，则AE＝6﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：EF＝，
∴S△ADE＝×AD×EF＝×x×＝﹣x2+36x，
当DE将△ABC的面积平分时，﹣x2+4x＝×3×4×，
解得：x1＝，x2＝，
∵0＜x＜3，
∴x＝，
当AD＝时，DE将△ABC的周长和面积同时平分．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图MQ⊥PN于点O，点A在∠MON的角平分线上，作∠BAC＝45°，∠BAC的两边分别交OM，ON交于点C，B，交OP，OQ交于点E，D．
（1）求证：OA2＝OD OE；
（2）若AC＝OD，求OC：OD的值；
（3）若OB＝1，OE＝4．求tan∠CEO．
【分析】（1）由∠AOE＝135°得∠AEO+∠EAO＝45°，又∠DAO+∠EAO＝45°，得∠AEO＝∠DAO，于是△AOE∽△DOE，命题得证；
（2）作OE∥AC交AD于E，△DOE∽△DCA，再推出△AOC≌△DEO，从而得OE＝OC，进而由比例式得出关于OC的一元二次方程，解之可得；
（3）作BH⊥AE于H，由△AOB∽△EAB求得AB，进而解斜三角形ABE即可．
【解答】（1）如图1，
证：∴OM⊥ON，
∴∠POC＝∠DOB＝∠MON＝90°，
∵OA平分∠MON，
∴∠AOC＝∠AOB＝＝45°，
∴∠AOE＝∠AOD＝135°，
∴∠AEO+∠EAO＝45°，
∵∠EAD＝45°，
∴∠DAO+∠EAO＝45°，
∴∠AEO＝∠DAO，
∴△AOE∽△DOE，
∴＝，
∴OA2＝OD OE；
（2）如图2，
由（1）知，
∠CAO＝∠BOD，
作OE∥AC交AD于E，
∴∠AOC＝∠DEO＝∠CAD＝45°，△DOE∽△DCA，
∴＝，
∵AC＝OD，
∴△AOC≌△DEO（AAS），
∴OE＝OC，
∴＝，
∴OC2+OD OC﹣OD2＝0，
∴OC＝
＝，
∴或＝（舍去），
∴＝；
（3）如图3，
作BH⊥AE于H，
由（1）知，
∠AOB＝∠AEB，
∵∠ABO＝∠ABE，
∴△AOB∽△EAB，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝，
在Rt△ABH中，
BH＝AB sin45°
＝
＝，
∴EH＝
＝
＝，
∴tan∠CEO＝＝．