2020-2021学年湖南省永州市道县八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省永州市道县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列各式：①；②；③；④，其中是分式的是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
2．（4分）下列各式中，正确的是（　　）
A．＝0 B．＝x+y
C．＝ D．＝
3．（4分）已知某种感冒病毒的直径约为89nm，如果1nm＝10﹣9米，那么这种病毒的直径用科学记数法表示为（　　）m．
A．8.9×10﹣10 B．89×10﹣9 C．8.9×10﹣8 D．0.89×10﹣7
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．2a3 a4＝2a12 B．（﹣3a2）3＝﹣9a6
C．a2÷a×＝a2 D．a a3+a2 a2＝2a4
5．（4分）解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（　　）
A．﹣2x＝1﹣（2﹣x） B．﹣2x＝（2﹣x）+1
C．2x＝（x﹣2）﹣1 D．2x＝（x﹣2）+1
6．（4分）某服装制造厂要在开学前赶制3000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配人力使每天完成的校服比原计划多20%，结果提前4天完成任务．问：原计划每天能完成多少套校服？设原来每天完成校服x套，则可列出方程（　　）
A．+＝4 B．﹣＝4
C．＝+4 D．＝4+
7．（4分）小晶有两根长度为5cm、8cm的木条，她想钉一个三角形的木框，现在有长度分别为2cm、3cm、8cm、15cm的木条供她选择，那她第三根应选择（　　）
A．2cm B．3cm C．8cm D．15cm
8．（4分）下列命题中是真命题的是（　　）
A．相等的两个角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
D．若﹣a＞﹣b，则a＞b
9．（4分）等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　）
A．30° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
10．（4分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．7
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卷的答案栏内）
11．（4分）分式的值等于0时，则x＝　 　．
12．（4分）化简x2÷（）2的结果为　 　．
13．（4分）分式，，﹣的最简公分母是　 　．
14．（4分）如果m2+2m﹣3＝0，那么的值为 　 　．
15．（4分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　 　°（点A，B，P是网格线交点）．
16．（4分）如图，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于点O，∠BOC＝130°，则∠A＝　 　°．
17．（4分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为　 　．
18．（4分）已知a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，以此类推，则a2020的值为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（8分）计算：（﹣）﹣2+4×（﹣1）2019﹣|﹣23|+（π﹣5）0
20．（8分）解分式方程：
（1）＝
（2）＝﹣3
21．（8分）先化简，再求值（﹣）÷，其中a＝﹣1．
22．（10分）新冠肺炎疫情期间，道县某小区计划购买甲、乙两种品牌的洗手液，乙品牌洗手液每瓶的价格比甲品牌洗手液每瓶价格的2倍少20元，已知用240元购买甲品牌洗手液的数量与用320元购买乙品牌洗手液的数量相同．求甲、乙两种品牌洗手液每瓶的价格各是多少元？
23．（10分）如图为一机器零件，小明测得∠BDC＝100°，∠C＝38°，∠B＝25°，已知∠A＝35°的时候是合格的．请问该机器零件是否合格并说明你的理由．
24．（10分）如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，DE∥BC．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若∠A＝25°，∠BDC＝60°，求∠DEC的度数．
25．（12分）如图：△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB．
（1）求证：∠BAD＝∠BDE；
（2）若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．
26．（12分）如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
利用上述结论解答下列问题：
（1）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，若BC＝2，则AB＝　 　；
（2）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，若D是AB的中点，连接CD，求证：CD＝AB．
2020-2021学年湖南省永州市道县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列各式：①；②；③；④，其中是分式的是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
【分析】根据判断分式的依据：看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式进行判断，找出分式的个数即可．
【解答】解：②；④分母中均不含字母，故不是分式，
①；③分母中都含有字母，故是分式．
故选：C．
2．（4分）下列各式中，正确的是（　　）
A．＝0 B．＝x+y
C．＝ D．＝
【分析】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，分式的值不变；分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变，可得答案．
【解答】解：A、分子分母都除以同一个不为零的整式，分式的值不变为1，故A错误；
B、分子分母都除以同一个不为零的整式，分式的值不变为x+y，故B正确；
C、不符合分式的基本性质，故C错误；
D、不符合分式的基本性质，故D错误．
故选：B．
3．（4分）已知某种感冒病毒的直径约为89nm，如果1nm＝10﹣9米，那么这种病毒的直径用科学记数法表示为（　　）m．
A．8.9×10﹣10 B．89×10﹣9 C．8.9×10﹣8 D．0.89×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：89nm＝89×10﹣9米＝8.9×10﹣8米，
故选：C．
4．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．2a3 a4＝2a12 B．（﹣3a2）3＝﹣9a6
C．a2÷a×＝a2 D．a a3+a2 a2＝2a4
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、分式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、2a3 a4＝2a7，故此选项错误；
B、（﹣3a2）3＝﹣27a6，故此选项错误；
C、a2÷a×＝1，故此选项错误；
D、a a3+a2 a2＝2a4，正确．
故选：D．
5．（4分）解分式方程，去分母后得到的方程正确的是（　　）
A．﹣2x＝1﹣（2﹣x） B．﹣2x＝（2﹣x）+1
C．2x＝（x﹣2）﹣1 D．2x＝（x﹣2）+1
【分析】分式方程两边乘以（x﹣2）即可得到结果．
【解答】解：去分母得：2x＝（x﹣2）+1，
故选：D．
6．（4分）某服装制造厂要在开学前赶制3000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配人力使每天完成的校服比原计划多20%，结果提前4天完成任务．问：原计划每天能完成多少套校服？设原来每天完成校服x套，则可列出方程（　　）
A．+＝4 B．﹣＝4
C．＝+4 D．＝4+
【分析】设原来每天完成校服x套，则实际每天完成校服（1+20%）x套，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原来每天完成校服x套，则实际每天完成校服（1+20%）x套，
依题意，得：＝4+．
故选：D．
7．（4分）小晶有两根长度为5cm、8cm的木条，她想钉一个三角形的木框，现在有长度分别为2cm、3cm、8cm、15cm的木条供她选择，那她第三根应选择（　　）
A．2cm B．3cm C．8cm D．15cm
【分析】设第三根木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：设第三根木条的长度为xcm，
则8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13．
故选：C．
8．（4分）下列命题中是真命题的是（　　）
A．相等的两个角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
D．若﹣a＞﹣b，则a＞b
【分析】利用对顶角的定义、平行线的性质与判定，不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，是真命题，符合题意；
D、若﹣a＞﹣b，则a＜b，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
故选：C．
9．（4分）等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　）
A．30° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2＝20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
故选：B．
10．（4分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．7
【分析】根据AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，
【解答】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卷的答案栏内）
11．（4分）分式的值等于0时，则x＝　﹣2　．
【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值等于0，
∴，解得x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（4分）化简x2÷（）2的结果为　　．
【分析】先乘方，再算除法．
【解答】解：原式＝x2÷
＝x2×
＝
故答案为：
13．（4分）分式，，﹣的最简公分母是　12a2b　．
【分析】根据最简公分母的定义找出即可．
【解答】解：分式，，﹣的最简公分母是12a2b，
故答案为：12a2b．
14．（4分）如果m2+2m﹣3＝0，那么的值为 　3　．
【分析】根据分式的除法法则把原式化简，把给出的已知条件变形，代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝m（m+2）
＝m2+2m，
∵m2+2m﹣3＝0，
∴m2+2m＝3，
∴原式＝3，
故答案为：3．
15．（4分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　45　°（点A，B，P是网格线交点）．
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
16．（4分）如图，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于点O，∠BOC＝130°，则∠A＝　80　°．
【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，再根据三角形内角和定理计算出∠OBC+∠OCB的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∵∠BOC＝130°，
∴∠OBC+∠OCB＝180° 130°＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，
∴∠A＝180° 100°＝80°，
故答案为：80．
17．（4分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为　20cm　．
【分析】由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AC的长与AD＝CD；又由△ABD的周长为12cm，即可求得AB+BC的长，继而求得△ABC的周长．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8cm，AD＝CD，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+BD+AD＝12cm，
即AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝12+8＝20（cm）．
故答案为：20cm．
18．（4分）已知a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，以此类推，则a2020的值为 　　．
【分析】先计算a2、a3、a4、a5，通过计算结果得到规律，利用发现的规律得出a2020的值．
【解答】解：a1＝，
a2＝＝＝＝5，
a3＝＝＝﹣，
a4＝＝＝＝，
a5＝a2＝5，a6＝a3＝﹣，…，
通过计算发现三个一循环．
∵2020÷3＝673.....1，
∴a2020＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（8分）计算：（﹣）﹣2+4×（﹣1）2019﹣|﹣23|+（π﹣5）0
【分析】根据零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式＝（﹣3）2+4×（﹣1）﹣8+1
＝9﹣4﹣8+1
＝﹣2
20．（8分）解分式方程：
（1）＝
（2）＝﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：3（x﹣1）＝2（x+1），
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
（2）去分母得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的增根，故原方程无解．
21．（8分）先化简，再求值（﹣）÷，其中a＝﹣1．
【分析】先把分式约分，计算括号里面，再计算除法，最后化简分式并代入求值．
【解答】解：原式＝
＝（﹣）
＝
＝，
当a＝﹣1时，
原式＝．
22．（10分）新冠肺炎疫情期间，道县某小区计划购买甲、乙两种品牌的洗手液，乙品牌洗手液每瓶的价格比甲品牌洗手液每瓶价格的2倍少20元，已知用240元购买甲品牌洗手液的数量与用320元购买乙品牌洗手液的数量相同．求甲、乙两种品牌洗手液每瓶的价格各是多少元？
【分析】设甲品牌洗手液每瓶的价格为x元，则乙品牌洗手液每瓶的价格为（2x﹣20）元，利用数量＝总价÷单价，结合用240元购买甲品牌洗手液的数量与用320元购买乙品牌洗手液的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出甲品牌洗手液每瓶的价格，再将其代入（2x﹣20）中即可求出乙品牌洗手液每瓶的价格．
【解答】解：设甲品牌洗手液每瓶的价格为x元，则乙品牌洗手液每瓶的价格为（2x﹣20）元，
依题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴2x﹣20＝2×30﹣20＝40．
答：甲品牌洗手液每瓶的价格为30元，乙品牌洗手液每瓶的价格为40元．
23．（10分）如图为一机器零件，小明测得∠BDC＝100°，∠C＝38°，∠B＝25°，已知∠A＝35°的时候是合格的．请问该机器零件是否合格并说明你的理由．
【分析】作直线AD，根据三角形的外角性质可得：∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠C+∠2，从而推出∠BAC＝∠1+∠2＝∠3+∠4 ∠B ∠D＝37°．
【解答】解：该机器零件不合格．
理由：作射线AD，
∴∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠C+∠2，
由（1）、（2）得：∠3+∠4＝∠B+∠C+∠1+∠2，
即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC，
∵∠BDC＝100°，∠C＝38°，∠B＝25°，
∴∠BAC＝100° 38° 25°＝27°≠35°，
∴该机器零件不合格．
24．（10分）如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，DE∥BC．
（1）求证：CE＝DE；
（2）若∠A＝25°，∠BDC＝60°，求∠DEC的度数．
【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质，说明∠ECD＝∠EDC，再利用等腰三角形的判定得结论；
（2）利用外角和内角的关系先求出∠ACD，再利用三角形的内角和定理求出∠DEC的度数．
【解答】证明：（1）∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠ECD＝∠EDC．
∴CE＝DE．
（2）∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠A＝25°，∠BDC＝60°，
∴∠ACD＝35°，
∴∠EDC＝∠ECD＝35°，
∴∠DEC＝180°﹣35°﹣35°＝110°．
25．（12分）如图：△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB．
（1）求证：∠BAD＝∠BDE；
（2）若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质以及余角的性质即可求解；
（2）根据三角形面积公式，以及中点的性质即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠B+∠EDB＝90°，
∴∠BAD＝∠BDE；
（2）∵AB＝AC＝6，DE＝2，
∴，
∵D为BC边的中点，
∴S△ADC＝S△ADB＝6，
∴S△ABC＝12．
26．（12分）如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
利用上述结论解答下列问题：
（1）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，若BC＝2，则AB＝　4　；
（2）在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，若D是AB的中点，连接CD，求证：CD＝AB．
【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质可直接求解；
（2）由含30°角的直角三角形的性质及中点的定义可得BD＝BC，进而可证明△BCD为等边三角形，根据等边三角形的性质可证明结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
∵BC＝2，
∴AB＝4，
故答案为4；
（2）∵D是AB的中点，
∴BD＝AB，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB，
∴BD＝BC，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°
∴∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴，即．