2021-2022学年安徽省合肥三十中九年级（上）期中数学模拟练习试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年安徽省合肥三十中九年级（上）期中数学模拟练习试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 437.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-05 09:13:52 | ||
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文档简介
2021-2022学年安徽省合肥三十中九年级（上）期中数学模拟练习试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
2．（4分）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1）．若函数图象经过（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）三点，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
3．（4分）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
4．（4分）已知二次函数y＝﹣（x+a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB＝2，则AC的长约为（ ）
A．1.543 B．1.236 C．1.123 D．1.618
6．（4分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
7．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为（1，5）；③当x＞2时，y随x的增大而减少；④3是方程ax2+bx+c＝x的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（4分）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，点C距灯柱AB的水平距离为1.6米，点C距水平地面的距离为2.5米，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2米，灯柱AB＝1.5米，则灯罩D到水平地面的距离为（ ）
A．1.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.4米
9．（4分）矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，图象的对称轴为 ，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y≤0，则a的取值范围为 ．
12．（5分）已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为 ．
13．（5分）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为 ．
14．（5分）如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数图象的对称轴；
（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值；
（3）直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x﹣2与双曲线交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值．
（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是6，直接写出点P的坐标 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知xyz≠0且，求k的值．
18．（8分）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12．求EG，FG的长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）新冠肺炎疫情期间，某药店进了一批口罩，每包进价10元，每包销售价定为25元时，每天销售1000包．经一段时间调查，发现每包销售单价每上涨1元，每天就少卖40包．其销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%．设每包销售价为x元（x为正整数）．
（1）请直接写出x的取值范围．
（2）设每天的总利润为w元，当每包销售价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
20．（10分）如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）求证：△AMF∽△BGM；
（2）请你再写出两对相似三角形．
六、（本题满分12分）
21．（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
八、（本题满分14分）
23．（14分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件） 60 65 70
销售量y（件） 1400 1300 1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
2021-2022学年安徽省合肥三十中九年级（上）期中数学模拟练习试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）
故选：A．
2．（4分）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1）．若函数图象经过（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）三点，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】先判断出二次函数的开口方向，再求出点（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．
【解答】解：∵图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1）．
∴对称轴为直线x＝﹣2，开口向下，
∵（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）与对称轴的距离y2最近，y3最远，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
3．（4分）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2），
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点（0，﹣8），故选项B错误；
当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；
当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；
故选：D．
4．（4分）已知二次函数y＝﹣（x+a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】观察二次函数图象，找出a＜0，b＞0，再结合反比例（一次）函数图象与系数的关系，即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象，发现：抛物线的顶点坐标在第四象限，开口向下，对称在y轴右侧，
∴﹣a＞0，﹣b＜0，
∴a＜0，b＞0．
∵反比例函数中ab＜0，
∴反比例函数图象在第二、四象限；
∵一次函数y＝ax+b，a＜0，b＞0，
∴一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限．
故选：D．
5．（4分）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB＝2，则AC的长约为（ ）
A．1.543 B．1.236 C．1.123 D．1.618
【分析】根据黄金分割点的定义，当AC是较长线段时，AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．
【解答】解：∵线段AB＝2，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC时，
∴AC＝AB＝×2＝﹣1≈1.236，
故选：B．
6．（4分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，且∠APD＝∠B+∠PFB＝∠APC+∠CPD，
∴∠APC＝∠BFP，且∠A＝∠B，
∴△APG∽△BFP，故选项C不合题意，
∵∠A＝∠CPD，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD，故选项B不合题意，
∵∠B＝∠CPD，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP，故选项D不合题意，
由条件无法证明△CGE∽△CBP，
故选项A符合题意，
故选：A．
7．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为（1，5）；③当x＞2时，y随x的增大而减少；④3是方程ax2+bx+c＝x的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据表格数据确定抛物线的对称轴和开口方向，进而求解．
【解答】解：①由表格数据可知，x＝0和x＝3的函数值都是3，
∵二次函数的对称轴为直线x＝（0+3）＝1.5，
从表格看，对称轴右侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向下，
故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线x＝1.5，
故②错误，不符合题意；
③由①知，x＞1.5时，y随x的增大而减小，
故当x＞2时，y随x的增大而减小，正确，符合题意；
④方程ax2+（b﹣1）x+c＝0可化为方程ax2+bx+c＝x，
由表格数据可知，x＝3时，y＝3，则3是方程ax2+bx+c＝x的一个根，从而也是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，
故本选项正确，符合题意；
故选：B．
8．（4分）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，点C距灯柱AB的水平距离为1.6米，点C距水平地面的距离为2.5米，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2米，灯柱AB＝1.5米，则灯罩D到水平地面的距离为（ ）
A．1.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.4米
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到点B和点D关于点C所在的直线对称，点C为抛物线的顶点，然后根据二次函数图象具有对称性，即可得到点D到水平地面的距离等于点B到水平地面的距离，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
点C为抛物线的最高点，即抛物线的顶点，
∵点C距灯柱AB的水平距离为1.6米，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2米，
∴点B和点D关于点C所在的直线对称，
∵灯柱AB＝1.5米，
∴灯罩D到水平地面的距离为1.5米，
故选：A．
9．（4分）矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】重点考查学生的阅读理解能力、分析研究能力．在解答时要注意先总结出函数的解析式，由解析式结合其取值范围判断，不要只靠感觉．
【解答】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：
当x≤4时，y＝6×8﹣（x 2x）＝﹣2x2+48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点抛物线的顶点（0，48），最下点为（4，16）；
当4＜x≤6时，点E停留在B点处，故y＝48﹣8x＝﹣8x+48，此时函数的图象为直线y＝﹣8x+48的一部分，它的最上点可以为（4，16），它的最下点为（6，0）．
结合四个选项的图象知选A项．
故选：A．
10．（4分）如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与∠A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．
【解答】解：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，图象的对称轴为 直线x＝2 ，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y≤0，则a的取值范围为 1≤a≤2 ．
【分析】函数的顶点D坐标为：（2，﹣1），则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），从图象可以看出：y的取值范围为﹣1≤y≤0时，1＜a≤2；即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴函数的对称轴为：直线x＝2，
函数图象如下，函数的对称轴为：直线x＝2，顶点D坐标为：（2，﹣1），
则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），
从图象可以看出：y的取值范围为﹣1≤y≤0时，
1≤a≤2；
故答案为：直线x＝2，1≤a≤2．
12．（5分）已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为 0＜y≤3 ．
【分析】求得x＝2时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可得到y的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数中，k＝6＞0，
∴图象在第一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，
∵当x＝2时，y＝3，
∴当x≥2时，0＜y≤3．
故答案：0＜y≤3．
13．（5分）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为 ．
【分析】过E点作EH∥AC交BD于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到＝，由于AD＝CD，则＝，然后利用EH∥AD，根据平行线分线段成比例定理得的值．
【解答】解：过E点作EH∥AC交BD于H，如图，
∵EH∥CD，
∴＝，
∵BE＝3EC，
∴＝＝，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴＝，
∵EH∥AD，
∴＝＝．
故答案为．
14．（5分）如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为 16 ．
【分析】正比例函数与反比例函数y＝的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，将（x2﹣x1）（y2﹣y1）展开，依此关系即可求解．
【解答】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，关于原点对称，依此可得x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴（x2﹣x1）（y2﹣y1）
＝x2y2﹣x2y1﹣x1y2+x1y1
＝x2y2+x2y2+x1y1+x1y1
＝4×4
＝16．
故答案为：16．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数图象的对称轴；
（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值；
（3）直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
【分析】（1）由x＝﹣求得对称轴；
（2）将对称轴的x值代入函数解析式求得函数的最小值，然后求出a的值；
（3）将函数的交点转化为对应的一元二次方程的两根均小于或等于4求解．
【解答】解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝＝2．
（2）当x＝2时，y最小值＝22﹣4×2+3a+2＝4﹣8+3a+2＝3a﹣2，
∵最小值是7，
∴3a﹣2＝7，
解得：a＝3．
（3）∵该二次函数的图像在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图像有两个交点，
∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1在x≤4的范围内有两个不同的实数根，
化简得：x2﹣6x+3a+3＝0，
Δ＝36﹣4（3a+3）＞0，
解得：a＜2，
∵x2﹣6x+3a+3＝0在x≤4的范围内有两个不同的实数根，
∴x＝4时，y＝16﹣24+3a+3≥0，
∴a≥，
∴≤a＜2．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x﹣2与双曲线交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值．
（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是6，直接写出点P的坐标 （0，2）或（0，﹣6） ．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）S△MPN＝S△PAM+S△PAN＝6，求出PA＝4，即可求解．
【解答】解：（1）把M（a，2）、N（1，b）代入y＝﹣2x﹣2中得：﹣2a﹣2＝2，b＝﹣2﹣2＝﹣4，
∴a＝﹣2，b＝﹣4，
即M（﹣2，2），N（1，﹣4），
把M（﹣2，2）代入中，得k＝xy＝﹣4，
∴k＝﹣4，a＝﹣2，b＝﹣4；
（2）设直线y＝﹣2x﹣2与y轴交于点A，
令x＝0，即y＝﹣2，故A（0，﹣2），
S△MPN＝S△PAM+S△PAN＝PA×（xN﹣xM）＝×PA×（1+2）＝6，
∴PA＝4
∴P（0，2）或（0，﹣6），
故答案为（0，2）或（0，﹣6）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知xyz≠0且，求k的值．
【分析】分①当x+y+z≠0时，利用等比性质解答，②当x+y+z＝0时，用一个字母表示出另两个字母的和，然后求解即可．
【解答】解：∵xyz≠0，
∴x、y、z均不为0，
①当x+y+z≠0时，∵＝＝＝k，
∴k＝＝2，
②当x+y+z＝0时，x+y＝﹣z，z+x＝﹣y，y+z＝﹣x，
所以，k＝﹣1，
综上所述，k＝2或﹣1．
18．（8分）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12．求EG，FG的长．
【分析】在△ABC中，根据平行线分线段成比例求出EG，在△BAD中，根据平行线分线段成比例求出EF，即可求出FG＝EG﹣EF．
【解答】解：∵△ABC中，EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴，
∵BC＝10，AE＝9，AB＝12，
∴＝，
∴EG＝，
∵△BAD中，EF∥AD，
∴＝，
∵AD＝5，AE＝9，AB＝12，
∴＝，
∴EF＝．
∴FG＝EG﹣EF＝﹣＝．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）新冠肺炎疫情期间，某药店进了一批口罩，每包进价10元，每包销售价定为25元时，每天销售1000包．经一段时间调查，发现每包销售单价每上涨1元，每天就少卖40包．其销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%．设每包销售价为x元（x为正整数）．
（1）请直接写出x的取值范围．
（2）设每天的总利润为w元，当每包销售价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%求解即可得到答案；
（2）求出w关于的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%，
∴，
解得：10≤x≤28，
∴x的取值范围10≤x≤28；
（2）由题意，得w＝（x﹣10）[1000﹣40（x﹣25）]，
即w＝﹣40x2+2400x﹣20000＝﹣40（x﹣30）2+16000，
∵a＝﹣40＜0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
∵10≤x≤28，当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w有最大值，最大值是﹣40×（28﹣30）2+16000＝15840，
答：销售单价定为每包28元时，每天的利润最大，最大利润是15840元．
20．（10分）如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）求证：△AMF∽△BGM；
（2）请你再写出两对相似三角形．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）根据相似三角形的判定解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵∠DME＝∠A＝∠B＝α，
∴∠AMF+∠BMG＝180°﹣α，
∵∠A+∠AMF+∠AFM＝180°，
∴∠AMF+∠AFM＝180°﹣α，
∴∠AFM＝∠BMG，
∴△AMF∽△BGM；
（2）解：∵∠D＝∠D，∠DMG＝∠DBM．
∴△DMG∽△DBM，
同法可证：△EMF∽△EAM．
六、（本题满分12分）
21．（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）该抛物线的对称轴为 x＝﹣1 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴；
（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（﹣1，0），进而可得a的值；
（3）根据点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），进而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）y＝ax2+2ax+3a2﹣4
＝a（x+1）2+3a2﹣a﹣4，
∵抛物线顶点在x轴上，
即当x＝﹣1时，y＝0，
∴3a2﹣a﹣4＝0，
解得．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1或．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N’（﹣4，y2）．
（ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
（ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的x的取值范围；
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（1，m），
∴m＝2×1+6＝8，
∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8），
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）不等式2x+6﹣＞0的解集为x＞1．
（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜n＜6，
∴＜0，
∴﹣＞0
∴S△BMN＝|MN|×|yM|＝×（﹣）×n＝﹣（n﹣3）2+，
∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．
八、（本题满分14分）
23．（14分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件） 60 65 70
销售量y（件） 1400 1300 1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
（3）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600），
＝﹣20x2+3600x﹣130000，
w＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，
∴，
解得，50≤x≤75，
∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝27500，
答：售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
2．（4分）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1）．若函数图象经过（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）三点，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
3．（4分）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
4．（4分）已知二次函数y＝﹣（x+a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB＝2，则AC的长约为（ ）
A．1.543 B．1.236 C．1.123 D．1.618
6．（4分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
7．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为（1，5）；③当x＞2时，y随x的增大而减少；④3是方程ax2+bx+c＝x的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（4分）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，点C距灯柱AB的水平距离为1.6米，点C距水平地面的距离为2.5米，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2米，灯柱AB＝1.5米，则灯罩D到水平地面的距离为（ ）
A．1.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.4米
9．（4分）矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，图象的对称轴为 ，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y≤0，则a的取值范围为 ．
12．（5分）已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为 ．
13．（5分）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为 ．
14．（5分）如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数图象的对称轴；
（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值；
（3）直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x﹣2与双曲线交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值．
（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是6，直接写出点P的坐标 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知xyz≠0且，求k的值．
18．（8分）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12．求EG，FG的长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）新冠肺炎疫情期间，某药店进了一批口罩，每包进价10元，每包销售价定为25元时，每天销售1000包．经一段时间调查，发现每包销售单价每上涨1元，每天就少卖40包．其销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%．设每包销售价为x元（x为正整数）．
（1）请直接写出x的取值范围．
（2）设每天的总利润为w元，当每包销售价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
20．（10分）如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）求证：△AMF∽△BGM；
（2）请你再写出两对相似三角形．
六、（本题满分12分）
21．（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
八、（本题满分14分）
23．（14分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件） 60 65 70
销售量y（件） 1400 1300 1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
2021-2022学年安徽省合肥三十中九年级（上）期中数学模拟练习试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）
故选：A．
2．（4分）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1）．若函数图象经过（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）三点，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】先判断出二次函数的开口方向，再求出点（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）到对称轴的距离，然后根据二次函数增减性判断即可．
【解答】解：∵图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1）．
∴对称轴为直线x＝﹣2，开口向下，
∵（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）与对称轴的距离y2最近，y3最远，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
3．（4分）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2），
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点（0，﹣8），故选项B错误；
当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；
当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；
故选：D．
4．（4分）已知二次函数y＝﹣（x+a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】观察二次函数图象，找出a＜0，b＞0，再结合反比例（一次）函数图象与系数的关系，即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象，发现：抛物线的顶点坐标在第四象限，开口向下，对称在y轴右侧，
∴﹣a＞0，﹣b＜0，
∴a＜0，b＞0．
∵反比例函数中ab＜0，
∴反比例函数图象在第二、四象限；
∵一次函数y＝ax+b，a＜0，b＞0，
∴一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限．
故选：D．
5．（4分）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB＝2，则AC的长约为（ ）
A．1.543 B．1.236 C．1.123 D．1.618
【分析】根据黄金分割点的定义，当AC是较长线段时，AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．
【解答】解：∵线段AB＝2，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC时，
∴AC＝AB＝×2＝﹣1≈1.236，
故选：B．
6．（4分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，且∠APD＝∠B+∠PFB＝∠APC+∠CPD，
∴∠APC＝∠BFP，且∠A＝∠B，
∴△APG∽△BFP，故选项C不合题意，
∵∠A＝∠CPD，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD，故选项B不合题意，
∵∠B＝∠CPD，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP，故选项D不合题意，
由条件无法证明△CGE∽△CBP，
故选项A符合题意，
故选：A．
7．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为（1，5）；③当x＞2时，y随x的增大而减少；④3是方程ax2+bx+c＝x的一个根．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据表格数据确定抛物线的对称轴和开口方向，进而求解．
【解答】解：①由表格数据可知，x＝0和x＝3的函数值都是3，
∵二次函数的对称轴为直线x＝（0+3）＝1.5，
从表格看，对称轴右侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向下，
故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线x＝1.5，
故②错误，不符合题意；
③由①知，x＞1.5时，y随x的增大而减小，
故当x＞2时，y随x的增大而减小，正确，符合题意；
④方程ax2+（b﹣1）x+c＝0可化为方程ax2+bx+c＝x，
由表格数据可知，x＝3时，y＝3，则3是方程ax2+bx+c＝x的一个根，从而也是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，
故本选项正确，符合题意；
故选：B．
8．（4分）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，点C距灯柱AB的水平距离为1.6米，点C距水平地面的距离为2.5米，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2米，灯柱AB＝1.5米，则灯罩D到水平地面的距离为（ ）
A．1.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.4米
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到点B和点D关于点C所在的直线对称，点C为抛物线的顶点，然后根据二次函数图象具有对称性，即可得到点D到水平地面的距离等于点B到水平地面的距离，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
点C为抛物线的最高点，即抛物线的顶点，
∵点C距灯柱AB的水平距离为1.6米，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2米，
∴点B和点D关于点C所在的直线对称，
∵灯柱AB＝1.5米，
∴灯罩D到水平地面的距离为1.5米，
故选：A．
9．（4分）矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】重点考查学生的阅读理解能力、分析研究能力．在解答时要注意先总结出函数的解析式，由解析式结合其取值范围判断，不要只靠感觉．
【解答】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：
当x≤4时，y＝6×8﹣（x 2x）＝﹣2x2+48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点抛物线的顶点（0，48），最下点为（4，16）；
当4＜x≤6时，点E停留在B点处，故y＝48﹣8x＝﹣8x+48，此时函数的图象为直线y＝﹣8x+48的一部分，它的最上点可以为（4，16），它的最下点为（6，0）．
结合四个选项的图象知选A项．
故选：A．
10．（4分）如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与∠A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．
【解答】解：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，图象的对称轴为 直线x＝2 ，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y≤0，则a的取值范围为 1≤a≤2 ．
【分析】函数的顶点D坐标为：（2，﹣1），则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），从图象可以看出：y的取值范围为﹣1≤y≤0时，1＜a≤2；即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴函数的对称轴为：直线x＝2，
函数图象如下，函数的对称轴为：直线x＝2，顶点D坐标为：（2，﹣1），
则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），
从图象可以看出：y的取值范围为﹣1≤y≤0时，
1≤a≤2；
故答案为：直线x＝2，1≤a≤2．
12．（5分）已知反比例函数，若x≥2，则y的取值范围为 0＜y≤3 ．
【分析】求得x＝2时的函数值，然后根据反比例函数的性质即可得到y的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数中，k＝6＞0，
∴图象在第一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，
∵当x＝2时，y＝3，
∴当x≥2时，0＜y≤3．
故答案：0＜y≤3．
13．（5分）如图，在△ABC中，点E在BC上，且BE＝3EC．D是AC的中点，AE、BD交于点F，则的值为 ．
【分析】过E点作EH∥AC交BD于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，由EH∥CD得到＝，由于AD＝CD，则＝，然后利用EH∥AD，根据平行线分线段成比例定理得的值．
【解答】解：过E点作EH∥AC交BD于H，如图，
∵EH∥CD，
∴＝，
∵BE＝3EC，
∴＝＝，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴＝，
∵EH∥AD，
∴＝＝．
故答案为．
14．（5分）如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为 16 ．
【分析】正比例函数与反比例函数y＝的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，将（x2﹣x1）（y2﹣y1）展开，依此关系即可求解．
【解答】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y＝的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，关于原点对称，依此可得x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，
∴（x2﹣x1）（y2﹣y1）
＝x2y2﹣x2y1﹣x1y2+x1y1
＝x2y2+x2y2+x1y1+x1y1
＝4×4
＝16．
故答案为：16．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数图象的对称轴；
（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值；
（3）直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
【分析】（1）由x＝﹣求得对称轴；
（2）将对称轴的x值代入函数解析式求得函数的最小值，然后求出a的值；
（3）将函数的交点转化为对应的一元二次方程的两根均小于或等于4求解．
【解答】解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝＝2．
（2）当x＝2时，y最小值＝22﹣4×2+3a+2＝4﹣8+3a+2＝3a﹣2，
∵最小值是7，
∴3a﹣2＝7，
解得：a＝3．
（3）∵该二次函数的图像在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图像有两个交点，
∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1在x≤4的范围内有两个不同的实数根，
化简得：x2﹣6x+3a+3＝0，
Δ＝36﹣4（3a+3）＞0，
解得：a＜2，
∵x2﹣6x+3a+3＝0在x≤4的范围内有两个不同的实数根，
∴x＝4时，y＝16﹣24+3a+3≥0，
∴a≥，
∴≤a＜2．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x﹣2与双曲线交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值．
（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是6，直接写出点P的坐标 （0，2）或（0，﹣6） ．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）S△MPN＝S△PAM+S△PAN＝6，求出PA＝4，即可求解．
【解答】解：（1）把M（a，2）、N（1，b）代入y＝﹣2x﹣2中得：﹣2a﹣2＝2，b＝﹣2﹣2＝﹣4，
∴a＝﹣2，b＝﹣4，
即M（﹣2，2），N（1，﹣4），
把M（﹣2，2）代入中，得k＝xy＝﹣4，
∴k＝﹣4，a＝﹣2，b＝﹣4；
（2）设直线y＝﹣2x﹣2与y轴交于点A，
令x＝0，即y＝﹣2，故A（0，﹣2），
S△MPN＝S△PAM+S△PAN＝PA×（xN﹣xM）＝×PA×（1+2）＝6，
∴PA＝4
∴P（0，2）或（0，﹣6），
故答案为（0，2）或（0，﹣6）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知xyz≠0且，求k的值．
【分析】分①当x+y+z≠0时，利用等比性质解答，②当x+y+z＝0时，用一个字母表示出另两个字母的和，然后求解即可．
【解答】解：∵xyz≠0，
∴x、y、z均不为0，
①当x+y+z≠0时，∵＝＝＝k，
∴k＝＝2，
②当x+y+z＝0时，x+y＝﹣z，z+x＝﹣y，y+z＝﹣x，
所以，k＝﹣1，
综上所述，k＝2或﹣1．
18．（8分）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12．求EG，FG的长．
【分析】在△ABC中，根据平行线分线段成比例求出EG，在△BAD中，根据平行线分线段成比例求出EF，即可求出FG＝EG﹣EF．
【解答】解：∵△ABC中，EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴，
∵BC＝10，AE＝9，AB＝12，
∴＝，
∴EG＝，
∵△BAD中，EF∥AD，
∴＝，
∵AD＝5，AE＝9，AB＝12，
∴＝，
∴EF＝．
∴FG＝EG﹣EF＝﹣＝．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）新冠肺炎疫情期间，某药店进了一批口罩，每包进价10元，每包销售价定为25元时，每天销售1000包．经一段时间调查，发现每包销售单价每上涨1元，每天就少卖40包．其销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%．设每包销售价为x元（x为正整数）．
（1）请直接写出x的取值范围．
（2）设每天的总利润为w元，当每包销售价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%求解即可得到答案；
（2）求出w关于的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%，
∴，
解得：10≤x≤28，
∴x的取值范围10≤x≤28；
（2）由题意，得w＝（x﹣10）[1000﹣40（x﹣25）]，
即w＝﹣40x2+2400x﹣20000＝﹣40（x﹣30）2+16000，
∵a＝﹣40＜0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
∵10≤x≤28，当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w有最大值，最大值是﹣40×（28﹣30）2+16000＝15840，
答：销售单价定为每包28元时，每天的利润最大，最大利润是15840元．
20．（10分）如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）求证：△AMF∽△BGM；
（2）请你再写出两对相似三角形．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）根据相似三角形的判定解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵∠DME＝∠A＝∠B＝α，
∴∠AMF+∠BMG＝180°﹣α，
∵∠A+∠AMF+∠AFM＝180°，
∴∠AMF+∠AFM＝180°﹣α，
∴∠AFM＝∠BMG，
∴△AMF∽△BGM；
（2）解：∵∠D＝∠D，∠DMG＝∠DBM．
∴△DMG∽△DBM，
同法可证：△EMF∽△EAM．
六、（本题满分12分）
21．（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）该抛物线的对称轴为 x＝﹣1 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴；
（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（﹣1，0），进而可得a的值；
（3）根据点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），进而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）y＝ax2+2ax+3a2﹣4
＝a（x+1）2+3a2﹣a﹣4，
∵抛物线顶点在x轴上，
即当x＝﹣1时，y＝0，
∴3a2﹣a﹣4＝0，
解得．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1或．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N’（﹣4，y2）．
（ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
（ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的x的取值范围；
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（1，m），
∴m＝2×1+6＝8，
∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8），
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）不等式2x+6﹣＞0的解集为x＞1．
（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜n＜6，
∴＜0，
∴﹣＞0
∴S△BMN＝|MN|×|yM|＝×（﹣）×n＝﹣（n﹣3）2+，
∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．
八、（本题满分14分）
23．（14分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/件） 60 65 70
销售量y（件） 1400 1300 1200
（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
（3）根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；
（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，
解得，x1＝70，x2＝110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣50）（﹣20x+2600），
＝﹣20x2+3600x﹣130000，
w＝﹣20（x﹣90）2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，
∴，
解得，50≤x≤75，
∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝27500，
答：售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元．
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