2020-2021学年安徽淮南市田家庵区洞山中学九年级（上）第二次月考数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年安徽淮南市田家庵区洞山中学九年级第一学期第二次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
3．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（　　）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4 C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
4．下列说法中正确的个数有（　　）
①平分弦的直径一定垂直于弦；②圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；③直径是弦；④长度相等的弧是等弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
6．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（　　）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
7．等腰△ABC的三边分别为a、b、c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是（　　）
A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定
8．若点A的坐标为（6，3），O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）
A．（3，﹣6） B．（﹣3，6） C．（﹣3，﹣6） D．（3，6）
9．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且 a≠5 C．a≥1且 a≠5 D．a≠5
10．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．点A（﹣3，m）与点A′（n，2）关于原点中心对称，则m+n的值是 　 　．
12．如果二次函数y＝（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，那么m＝　 　．
13．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+3m﹣mn+n＝　 　．
14．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当m≤x≤m+3时，y的取值范围是0≤y≤4，则m的值为 　 　
三、解答题（本大题共9小题，共90分）
15．用配方法解方程：3x2﹣4x+1＝0．
16．为创建全国文明城市，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2019年投入了100万元，预计到2021年将投入144万元．
（1）求2019年至2021年该企业环保经费投入的年平均增长率；
（2）该企业预计2022年投入环保经费不低于180万元，若要求继续保持前两年的年平均增长率，那么2022年预计投入的环保经费符合要求吗？请通过计算说明理由．
17．抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），并经过点A（0，﹣5）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）填空：该二次函数具有最 　 　值（填“大”或“小”）；当自变量的范围是 　 　时，函数值随自变量的增大而增大．
18．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，求CF的长．
19．在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，按要求画图和解答下列问题．
（1）△ABC与△A1B1C1关于坐标原点O成中心对称的，画出△A1B1C1，并写出C1坐标 　 　；
（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出C2的坐标 　 　．
20．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
21．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
22．如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．
（1）求证：CF＝A1D；
（2）当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．
23．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y＝x2+bx﹣2的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是x轴上的一点，是否存在一点P使△ABP是等腰三角形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共40分）
1．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故A正确；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故B错误；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故C错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故D错误；
故选：A．
2．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
【分析】根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
3．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（　　）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4 C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
【分析】直接根据平移规律作答即可．
解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣3）2+2+2，即y＝（x﹣4）2+4；
故选：B．
4．下列说法中正确的个数有（　　）
①平分弦的直径一定垂直于弦；②圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；③直径是弦；④长度相等的弧是等弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据垂径定理，等弧的定义，圆的性质一一判断即可．
解：A、错误．需要添加此弦非直径的条件；
B、错误．应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；
C、正确．直径是弦；
D、错误．长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等；
故选：A．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【分析】首先在△ABB'中根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得∠ABB'的度数，然后在直角△BB'C中利用三角形内角和定理求解．
解：∵AB＝AB'，
∴∠ABB'＝∠AB'B＝＝＝55°，
在直角△BB'C中，∠BB'C＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
6．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（　　）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故选：B．
7．等腰△ABC的三边分别为a、b、c，其中a＝5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是（　　）
A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．
解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（b+2）2﹣4（6﹣b）＝0，即b2+8b﹣20＝0；
解得b＝2，b＝﹣10（舍去）；
①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；
②当b为底，a为腰时，则5﹣2＜5＜5+2，能够构成三角形；
此时△ABC的周长为：5+5+2＝12．
故选：B．
8．若点A的坐标为（6，3），O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）
A．（3，﹣6） B．（﹣3，6） C．（﹣3，﹣6） D．（3，6）
【分析】正确作出A旋转以后的A′点，即可确定坐标．
解：由图知A点的坐标为（6，3），
根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
点A′的坐标是（3，﹣6）．
故选：A．
9．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且 a≠5 C．a≥1且 a≠5 D．a≠5
【分析】分方程为一元一次方程和一元二次方程考虑，当a﹣5＝0时，可求出x的值；当a﹣5≠0时，利用根的判别式△≥0即可求出a的取值范围．综上即可得出结论．
解：①当a﹣5＝0时，原方程为﹣4x﹣1＝0，
解得：x＝﹣，符合题意；
②当a﹣5≠0，即a≠5时，有Δ＝（﹣4）2+4（a﹣5）＝4a﹣4≥0，
解得：a≥1，
∴a的取值范围为a≥1且a≠5．
综上所述，a的取值范围为a≥1．
故选：A．
10．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c＝2，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1得b＝2a，所以c﹣a＝2；根据二次函数的最大值问题，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，所以说方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．
解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．点A（﹣3，m）与点A′（n，2）关于原点中心对称，则m+n的值是 　1　．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
解：∵点A（﹣3，m）与点A′（n，2）关于原点中心对称，
∴n＝3，m＝﹣2，
∴m+n＝1，
故答案为：1．
12．如果二次函数y＝（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，那么m＝　﹣1　．
【分析】把原点坐标代入函数解析式求解即可得到m的值，再根据二次项系数不等于0求出m≠1．
解：∵二次函数y＝（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，
∴m2﹣1＝0，
解得m＝±1，
∵函数为二次函数，
∴m﹣1≠0，
解得m≠1，
所以，m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+3m﹣mn+n＝　8　．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n＝﹣2，m n＝﹣5，m2＝5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0，
∴m2＝5﹣2m，
∴m2+3m﹣mm+n
＝（5﹣2m）+3m﹣（﹣5）+n
＝10+m+n
＝10﹣2
＝8．
故答案为：8．
14．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当m≤x≤m+3时，y的取值范围是0≤y≤4，则m的值为 　﹣1或0　
【分析】利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，结合y的取值范围即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，代入y＝0求出x的值，结合当m≤x≤m+3时y的取值范围是0≤y≤4，即可得出m的值，验证后即可得出结论．
解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴，
解得：﹣2≤m≤1．
当y＝0时，有﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1或m+3＝3，
∴m＝﹣1或0．
故答案为：﹣1或0．
三、解答题（本大题共9小题，共90分）
15．用配方法解方程：3x2﹣4x+1＝0．
【分析】根据配方法即可求出答案．
解：3x2﹣4x+1＝0，
x2﹣x＝﹣，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
则x1＝1，x2＝．
16．为创建全国文明城市，某企业逐年增加对环境保护的经费投入，2019年投入了100万元，预计到2021年将投入144万元．
（1）求2019年至2021年该企业环保经费投入的年平均增长率；
（2）该企业预计2022年投入环保经费不低于180万元，若要求继续保持前两年的年平均增长率，那么2022年预计投入的环保经费符合要求吗？请通过计算说明理由．
【分析】（1）设2019年至2021年该企业环保经费投入的年平均增长率为x，利用2021年该企业环保经费投入金额＝2019年该企业环保经费投入金额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出2019年至2021年该企业环保经费投入的年平均增长率为20%；
（2）不符合要求，利用2022年该企业预计投入的环保经费金额＝2021年该企业环保经费投入金额×（1+增长率），可求出2022年该企业预计投入的环保经费金额，将其与180万元比较后即可得出结论．
解：（1）设2019年至2021年该企业环保经费投入的年平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝144，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：2019年至2021年该企业环保经费投入的年平均增长率为20%．
（2）不符合要求，理由如下：
144×（1+20%）＝172.8（万元），
∵172.8＜180，
∴若要求继续保持前两年的年平均增长率，那么2022年预计投入的环保经费不符合要求．
17．抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），并经过点A（0，﹣5）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）填空：该二次函数具有最 　大　值（填“大”或“小”）；当自变量的范围是 　x＜1　时，函数值随自变量的增大而增大．
【分析】（1）已知二次函数的顶点坐标为（1，﹣3），设抛物线的顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣3．将点A（0，﹣5）代入求a即可．
（2）根据二次函数的性质即可求得．
解：（1）设此二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3．
∵其图象经过点A（0，﹣5），
∴a（0﹣1）2﹣3＝﹣5，
∴a＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
（2）∵y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，函数有最大值，
∴当x＜1时，函数值随自变量的增大而增大，
故答案为：大，x＜1．
18．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，求CF的长．
【分析】首先延长FD到G，使DG＝BE，利用正方形的性质得∠B＝∠CDF＝∠CDG＝90°，CB＝CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE＝3，设AF＝x，利用GF＝EF，解得x，利用勾股定理可得CF．
解：如图，延长FD到G，使DG＝BE，连接CG、EF，
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，
∵∠ECF＝45°，
∴∠DCF+∠BCE＝45°，
∴∠GCF＝45°＝∠ECF，
在△GCF与△ECF中，
，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF＝EF，
∵CE＝3，CB＝6，
∴BE＝＝＝3，
∴AE＝3，
设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，
∴EF＝＝，
∴（9﹣x）2＝9+x2，
∴x＝4，
即AF＝4，
∴DF＝6﹣4＝2，
∴CF＝＝＝2．
19．在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，按要求画图和解答下列问题．
（1）△ABC与△A1B1C1关于坐标原点O成中心对称的，画出△A1B1C1，并写出C1坐标 　（2，2）　；
（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出C2的坐标 　（﹣2，2）　．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出画chuA、B、C的对应点A2、B2、C2．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1坐标为（2，2）；
故答案为（2，2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（﹣2，2）．
故答案为（﹣2，2）．
20．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【分析】（1）连接OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．
解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
21．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）根据图象直接写出答案．
解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
22．如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．
（1）求证：CF＝A1D；
（2）当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB＝BC，∠A＝∠C，由旋转的性质得到A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D，则可得出结论；
（2）由旋转的性质得到∠A1＝∠A，根据平角的定义得到∠DEC＝180°﹣a，根据四边形的内角和得到∠ABC＝360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC＝180°﹣a，证得四边形A1BCE是平行四边形，由于A1B＝BC，即可得到四边形A1BCE是菱形．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，
∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
，
∴△BCF≌△BA1D（ASA），
∴CF＝A1D；
（2）解：四边形A1BCE是菱形，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1BC1的位置，
∴∠A1＝∠A，
∵∠ADE＝∠A1DB，
∴∠AED＝∠A1BD＝a，
∴∠DEC＝180°﹣a，
∵∠C＝a，
∴∠A1＝a，
∴∠A1BC＝360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC＝180°﹣a，
∴∠A1＝∠C，∠A1BC＝∠A1EC，
∴四边形A1BCE是平行四边形，
∴A1B＝BC，
∴四边形A1BCE是菱形．
23．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y＝x2+bx﹣2的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是x轴上的一点，是否存在一点P使△ABP是等腰三角形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）如图1，抛物线的解析式中有一个字母系数，需要找一个抛物线上的点代入求解，因此只要求点C的坐标即可；证明△AOB≌△CDA，则CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，可得点C（3，1），代入抛物线解析式即可；
（2）如图1，先求△ABC的面积，分别求BC和AC的解析式，表示EF的长，根据面积一半列等式，可求得F的横坐标，即直线l的解析式；
（3）如图2，分别以三边为腰分情况进行讨论，依次求P的坐标即可．
解：（1）如图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠CAD+∠ACD＝90°．
∵∠AOB＝90°
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴∠OAB+∠CAD＝90°，
∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD．
在△AOB与△CDA中，
∵，
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2．
∴OD＝OA+AD＝3．
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，
∴1＝×9+3b﹣2，解得：b＝﹣．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2．
（2）在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝2，
由勾股定理得：AB＝，
∴S△ABC＝AB2＝＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（0，2），C（3，1），
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
同理求得直线AC的解析式为：y＝x﹣，
如图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，
则EF＝＝﹣，
在△CEF中，FE边上的高h＝OD﹣x＝3﹣x，
由题意得：S△CEF＝S△ABC，
即： EF h＝S△ABC，
∴（），
整理得：（3﹣x）2＝3，
解得x＝3﹣或x＝3+（不合题意，舍去），
∴当直线l解析式为x＝3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分；
（3）如图2，分四种情况：
①当AB＝BP1时，OP1＝OA＝1，
∴P1（﹣1，0）；
②当AP2＝AB时，OP2＝OA+AP2＝+1，
∴P2（+1，0）；
③当AB＝AP3时，OP3＝AP3﹣OA＝﹣1，
∴P3（1﹣，0）；
④当AP4＝BP4时，过P4作P4D⊥AB于D，
∴AD＝BD＝，
∵∠ADP4＝∠AOB＝90°，
∴∠DAO+∠AP4D＝90°，
∠DAO+∠ABO＝90°，
∴∠AP4D＝∠ABO，
tan∠AP4D＝tan∠ABO＝，
∴P4D＝2AD＝，
由勾股定理得：AP4＝＝，
∴OP4＝AP4﹣OA＝﹣1＝，
∴P4（﹣，0）；
综上所述，P点的坐标为（﹣1，0）或（+1，0）或（1﹣，0）或（﹣，0）．