2.5三角函数的应用 期中综合复习训练 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（Word版含解析）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.5三角函数的应用》期中综合复习训练（附答案）
1．今年，我校新建成的体育馆投入使用，初三数学兴趣小组的同学要测量体育馆的高度CE．如图，小张眼睛到地面距离1.6米，小张在A处测得体育馆顶C点的仰角为27°，前进20米到达B处测得体育馆C点的仰角为39°，斜坡BD的坡度i＝1：2.4，BD长度是13米，CE⊥DE，A、B、D、E在同一平面内，则体育馆CE约为（　　）米．（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）
A．29 B．27 C．25 D．23
2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　）
A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
3．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（　　）
A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米
4．如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝25米，则此时AB的长约为（　　）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
A．10.4米 B．12.4米 C．27.4米 D．22.4米
6．黑龙江亚布力地区的滑雪场在国内享誉盛名，如图所示为该地区某滑雪场的一段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE．已知着陆坡DE的坡度为i＝1：2.4，DE长度为19.5米，B，D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离约为（参考数据sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数）（　　）
A．15.9米 B．16.0米 C．16.4米 D．24.5米
7．小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对勖艾亭的高度进行测量．他们在临时搭建的一个坡度为12：5的钢板斜坡上的F点测得亭顶A点的仰角为13°，F点到地面的垂直高度FG＝1.8米，从钢板斜坡底的E点向前走16.2米到D点，测得亭前阶梯CD的长度为2.5米，坡度为3：4．C点到亭中心O点的距离为1米．根据测量结果，勖艾亭的高度AO大约为（　　）米．
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，A，B，C，D，E，F，G各点均在同一平面内）
A．4.9 B．4.6 C．6.4 D．6.1
8．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（　　）
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
9．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（　　）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
10．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（　　）
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
11．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，则点D到地面的距离CD是（　　）
A．（1.7+5tanα）米 B．（1.7+）米 C．（1.7+5sinα）米 D．（1.7+）米
12．重庆风景区内高台BC上有一座古塔AB．如图，小明在景区大门E处测得古塔AB的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度为1：2.4的斜坡EC走了104米到达坡顶C处，到C处后继续朝古塔AB的方向前行50米到D处，在D处测得A的仰角为71°，则此时小明距古塔的距离BD约为（　　）米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.32，tan71°≈2.90）
A．55.5 B．55.8 C．56.1 D．56.4
13．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为（　　）
（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
A．30.4 B．36.4 C．39.4 D．45.4
14．如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，则两建筑物顶点A、C之间的距离（　　）米（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．29 B．35 C．37 D．44
15．如图，小俊站在A处，他对面有一坡度i＝12：5的斜坡BC．现测得小俊所在A处到斜坡底端B的距离为15米，坡面BC为13米．距离斜坡顶端C点10米处的D有一建筑物DE．小俊眼睛到地面的高度OA＝1.7米．若小俊看建筑物顶部E的仰角为37°，O，A，B，C，D，E在同一平面内，且A，B和C，D分别在同一水平线上，则建筑物的高度DE约为（　　）
（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．9.6米 B．10.5米 C．12.2米 D．13.9米
16．如图，某同学在山坡坡脚A处时，测得一座楼房的楼顶B处的仰角为60°，沿山坡往上走到C处时，测得这座楼房的楼顶B处的仰角为45°．已知AC＝20m，且AO⊥BO，点O、A、C、B在同一平面内，若此山坡的坡度为1：2，则这座楼房的高BO的值是（　　）
A．（90+30）m B．（90﹣30）m C．（30﹣30）m D．（30+30）m
17．某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则山峰的垂直高度AB约为（　　）
（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）
A．141.4米 B．188.6米 C．205.7米 D．308.6米
18．图1所示是一种单臂篮球架，其侧面示意图如图2所示，其中支架AB垂直于地面BE，支架AC与AB的夹角为115°，篮筐DP与支架PC都平行于地面BE．现已知AB＝2.50米，CA＝1.30米，则篮筐DP距离地面的高度为 　 　米．（精确到0.01米．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
19．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）
20．某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度．如图，小明同学站在点D处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线CA上．沿教学楼向前走7.7米到达点F处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼AB的高度．（点D，F，B在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：≈1.73，≈1.41）
参考答案
1．解：如图，延长CF交CE的延长线于H，延长CE交AB的延长线于J．设CE＝xm．
在Rt△BDK中，∵BD＝13米，DK：BK＝1：2.4，
∴DK＝5米，BK＝12米，
∵AG＝BF＝HJ＝1.6米，DK＝EJ＝5米，
∴EH＝5﹣1.6＝3.4（米），
∵GH﹣FH＝GF，
∴﹣＝20，
∴＝20，
∴x≈23（m），
答：体育馆CE约为23米，
故选：D．
2．解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴＝1：，
设DF＝xm，CF＝xm，
∴CD＝＝2x＝20（m），
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，
∴DH＝BF＝（10+30）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）（m），
∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，
故选：A．
3．解：如图，过C作CD⊥AB于D，
则∠CDB＝90°，
由题意得：∠BAC＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米，
∴∠BCA＝∠CBD﹣∠BAC＝30°﹣15°＝15°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴BC＝AB＝4千米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
∴CD＝BC＝2（千米），
即该建筑物离地面的高度为2千米，
故选：A．
4．解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．
∵EF⊥平面镜，
∴CD∥EF，
∴∠CDH＝∠EFH＝α，
根据题意可知：AG∥DF，
∴∠AGC＝∠CDH＝α，
∴∠AGC＝α，
∵∠AGC＝AGB＝×60°＝30°，
∴α＝30°．
故选：B．
5．解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE＝PQ＝2（米），CQ＝PE，
∵i＝＝＝，
∴设CQ＝4x、BQ＝3x，
由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝252，
解得：x＝5或x＝﹣5（舍），
则CQ＝PE＝20（米），BQ＝15（米），
∴DP＝DE+PE＝23（米），
在Rt△ADP中，∵AP＝＝≈27.4（米），
∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝27.4﹣15﹣2＝10.4（米）
故选：A．
6．解：作BF⊥AP于F，DG⊥AP于G，DH⊥PE于H，
在Rt△AFB中，sinα＝，AB＝12米，
∴AF＝AB sinα≈12×0.28＝3.36，
设DH＝x米，
∵DE的坡度为i＝1：2.4，
∴HE＝2.4x，
由勾股定理得，（2.4x）2+x2＝19.52，
解得，x＝7.5，
∴一人从A出发到E处下降的垂直距离＝3.36+5.5+7.5≈16.4（米），
故选：C．
7．解：由题意可知，∠AFM＝13°，CD＝2.5．CD的坡比是3：4，EF的坡比是12：5，FG＝1.8，DE＝16.2，MF∥NG，ON⊥NG，CH⊥NG，FG⊥NG，OC＝NH＝1（米），
∴四边形MNGF是矩形，
∴FM＝NG，
在Rt△CDH中，设CH＝3x，DH＝4x，
∴CD＝2.5，
∴（3x）2+（4x）2＝2.52，
∴x＝0.5，
∴DH＝2（米），CH＝1.5（米），
在Rt△EFG中，，FG＝1.8，
∴，
∴EG＝0.75（米），
∴FM＝GN＝EG+DE+DH+NH＝19.95（米），
在Rt△AMF中，tan∠AFM＝＝tan13°，
∴AM≈19.95×0.23＝4.5885（米），
∴AO＝AM+MO＝AM+（FG﹣CH）≈4.9（米），
故选：A．
8．解：由图可知，在△ABC中，AC⊥BC，
∴sinα＝＝，
∴BC＝30sinα米．
故选：A．
9．解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，
∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，
∴∠EDF＝∠F，
∴DE＝EF，
∵EF＝15米，
∴DE＝15米，
在Rt△CDE中，
∵sin∠CED＝，
∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，
故选：C．
10．解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝50（米），
∵四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH＝50（米），
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴EF＝BF＝50（米），
在Rt△EFC中，FC＝EF tan60°，
∴CF＝50×≈86.6（米），
∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．
故选：A．
11．解：在直角△ADE中，∠DAE＝α，AE＝5米，
∴tanα＝＝，
∴DE＝5tanα米．
又CE＝AB＝1.7米，
∴CD＝CE+DE＝（1.7+5tanα）米．
故选：A．
12．解：过E作EH⊥AB交AB的延长线于H，过C作CG⊥EH于G，如图所示：
则CG＝BH，BC＝GH，
∵EC＝104米，＝1：2.4，
∴CG＝40（米），EG＝96（米），
∴BH＝CG＝40米，
设BD＝x米，
在Rt△ABD中，∠ADB＝71°，
∵tan∠ADB＝＝tan71°≈2.90，
∴AB≈2.90x（米），
∴AH＝AB+BH＝（2.90x+40）米，
∵EH＝EG+GH＝（96+50+x）米，
∵∠AEH＝45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AH＝EH，
∴2.90x+40＝96+50+x，
解得：x≈55.8，
∴BD≈55.8（米），
即此时小明距古塔的距离BD约为55.8米．
故选：B．
13．解：如图，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，
则GH＝DE＝15米，EG＝DH，
∵梯坎坡度i＝1：，
∴BH：CH＝1：，
设BH＝x米，则CH＝x米，
在Rt△BCH中，BC＝12米，
由勾股定理得：x2+（x）2＝122，
解得：x＝6，
∴BH＝6米，CH＝6米，
∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（6+20）（米），
∵∠α＝45°，
∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝（6+20）（米），
∴AB＝AG+BG＝6+20+9≈39.4（米）；
故选：C．
14．解：如图所示，
∵AB⊥BD，∠HAM＝45°，
∴∠BAM＝∠AMB＝45°，
∴∠AMB＝∠BAM，
∴AB＝BM＝20米，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝20（米），
过A作AE⊥MC于E，
∵∠KCM＝75°，∠ACK＝30°，
∴∠ACM＝45°，∠ACK＝∠CAH＝30°，
∵∠HAM＝45°，
∴∠CAM＝75°，
∴∠AMC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∵sin∠AME＝，
∴AE＝AM sin∠AME＝20×sin60°＝20×＝10（米），
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝AE＝20≈35（米），
即两建筑物顶点A，C之间的距离约为35米，
故选：B．
15．解：延长ED交AB的延长线于F，则EF⊥AF，
过点O作ON⊥EF于N，过点C作CM⊥AF于M，
则四边形OAFN是矩形，NF＝OA＝1.7米，ON＝AF，
Rt△BCM中，斜坡BC的坡度i＝12：5，BC＝13米，
∴BM＝5米，CM＝12米，
∵四边形DCMF是矩形，
∴MF＝DC＝10米，
∴ON＝AF＝15+5+10＝30米，
Rt△EON中，∠EON＝37°，
∴EN＝30 tan37°＝30×0.75＝22.5米，
∴ED＝EN+NF﹣DF＝22.5+1.7﹣12＝12.2米．
故选：C．
16．解：∵山坡的坡度为1：2，
∴CF：AF＝1：2，
作CE⊥OB于E，CF⊥OD于F，
则四边形EOFC为矩形，
∴CE＝OF，CF＝OE，
设CF＝xm，
则AF＝2xm，
∴AC＝xm，
∵AC＝20m，
∴20＝x，
解得x＝20，
在Rt△AOB中，tan∠BAO＝，
则OB＝OA tan∠BAO，
在Rt△BEC中，∠BCE＝45°，
∴BE＝CE，即OB﹣OE＝OA+AF，
∴OB﹣20＝OA+40，
∴OA＝OB﹣60，
∴OB＝（OB﹣60）×
解得，OB＝（90+30）m．
故选：A．
17．解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CR⊥DH于R，设AB＝x米，则AH＝（x﹣120）米．
∵AB：BC＝1：0.75，
∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝120米，
在Rt△DCR中，DR＝≈＝60（米），
∵tan∠ADH＝，
∴＝0.4，
解得x≈205.7，
∴AB＝205.7（米），
故选：C．
18．解：过点D作DM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于N，再过点A作AQ⊥CN于点Q，
则DM∥CN，
∵篮筐DP与支架PC都平行于地面BE，
∴四边形DMNC是平行四边形，
∵∠DMN＝90°，
∴平行四边形DMNC是矩形，
同理可得，四边形AQNB是矩形，
∴DM＝CN，QN＝AB＝2.5m，∠CAQ＝115°﹣90°＝25°，
在Rt△ACQ中，
∵sin∠CAQ＝，
∴CQ＝AC sin25°≈1.30×0.42＝0.546，
∴DM＝CN＝CQ+QN＝0.546+2.50≈3.05（m），
故答案为：3.05．
19．解：延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，如图所示：
则四边形AMCN是矩形，
∴NC＝AM，AN＝MC，
在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，
∵sin∠EDM＝，cos∠EDM＝，
∴EM＝ED×sin37°≈20×＝12（米），DM＝ED×cos37°≈20×＝16（米），
∴AN＝MC＝CD+DM＝74+16＝90（米），
在Rt△ANB中，∠BAN＝42.6°，
∵tan∠BAN＝，
∴BN＝AN×tan42.6°≈90×＝81（米），
∴BC＝BN+AE+EN＝81+3+12＝96（米），
答：大楼BC的高度约为96米．
20．解：连接CE并延长，交AB于点G，设AG＝x米，
由题意可知，四边形CDFE，四边形CDBG是矩形，
∴BG＝CD＝1.6米，DF＝CE＝7.7米，∠CGB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，
∴∠CAG＝∠ACG＝45°，
∴CG＝AG＝x（米），
∴EG＝CG﹣CE＝x﹣7.7（米），
在Rt△AEG中，∠AEG＝60°，tan∠AEG＝，
即EG＝，
∴x﹣7.7＝，
解得：x＝，
∴AB＝AG+BG＝18.2+1.6＝19.8（米）