3.5探索与表达规律 优生辅导训练 2021-2022学年北师大版七年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》优生辅导训练（附答案）
1．观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号）1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，…，那么计算的值是（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
2．将从1开始的自然数按规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是（　　）
A．2025 B．2023 C．2022 D．2021
3．按一定规律排列的单项式a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，…第n个单项式是（　　）
A．（﹣1）n（2n﹣1）an B．（﹣1）n+1（2n+1）an
C．（﹣1）n（2n+1）an D．（﹣1）n+1（2n﹣1）an
4．观察下列等式，在数字宝塔中，从上往下数，2021所在的层数是（　　）
第1层1+2＝3
第2层4+5+6＝7+8
第3层9+10+11+12＝13+14+15
第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24
……
A．34 B．44 C．45 D．56
5．右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（　　）
A．131 B．130 C．129 D．128
6．将正整数按如图所示的位置顺序排列：
根据排列规律，则2021应在（　　）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
7．列数81，82，83，84，…，82022，其中个位数字是8的数有（　　）
A．672个 B．506个 C．505个 D．252个
8．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　）
A．134 B．136 C．140 D．144
9．按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（　　）
A． B． C． D．
10．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（　　）
A．100 B．121 C．144 D．169
11．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（　　）
A．135 B．170 C．209 D．252
12．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9，…，第2021次输出的结果为（　　）
A．1 B．3 C．9 D．27
13．如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的x的值为6，第一次运算结果输出的是3，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2021次运算后输出的结果是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
14．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是﹣1，﹣1的差倒数为，现已知x1＝﹣，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数…依此类推，则x2020等于（　　）
A．﹣1 B． C．﹣ D．3
15．如图，小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形．其个数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）
A．2032 B．2030 C．2028 D．2026
16．观察点阵图的规律，第100个图的小黑点的个数应该是（　　）
A．399 B．400 C．401 D．402
17．如图，6条射线都有一个公共顶点A，若从射线AB开始沿着逆时针方向分别在射线AB、AC、AD、AE、AF、AG上依次标记数字1，2，3，4，5，6，7，8…，那么数字“2021”应该出现在（　　）
射线AD上 B．射线AE上
C．射线AF上 D．射线AG上
18．观察下列一组数：，﹣，，﹣，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是　 　．
19．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为　 　．
20．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件a1＝0，a2＝|a1﹣1|，a3＝|a2﹣2|，a4＝|a3﹣3|，……以此类推，则a2022的值为　 　．
21．观察下面的等式：
第1个等式：＝×（1﹣）；
第2个等式：＝×（﹣）；
第3个等式：＝×（﹣）；
第4个等式：＝×（﹣）；
…
解答下面的问题：
（1）+++…+＝　 　；
（2）若n为正整数，请你猜想＝　 　，并证明你猜想的结论．
22．请你观察：，，；…
+＝+＝1﹣＝；
++＝++＝1﹣＝；…
以上方法称为“裂项相消求和法”．
请类比完成：
（1）+++＝　 　；
（2）++++…+＝　 　；
（3）计算：的值．
23．观察以下等式：
第1个等式：22﹣12＝2×1+1，
第2个等式：32﹣22＝2×2+1，
第3个等式：42﹣32＝2×3+1，
第4个等式：52﹣42＝2×4+1，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：　 　．
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．
参考答案
1．解：根据题中的新定义得：
＝
＝2021．
故选：D．
2．解：观察数字的变化，
发现规律：
第n行的第一个数为n2，
所以第45行第一个数为452＝2025，
再依次减1，到第4列，
即452﹣3＝2022．
故选：C．
3．解：∵a＝（﹣1）1+1×（2×1﹣1）a，
﹣3a2＝（﹣1）2+1×（2×2﹣1）a2，
5a3＝（﹣1）3+1×（2×3﹣1）a3，
﹣7a4＝（﹣1）4+1×（2×4﹣1）a4，
9a5＝（﹣1）5+1×（2×5﹣1）a5，
…
∴第n个单项式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）an．
故选：D．
4．解：∵第1层第一个数为1×1＝1，最后一个数为2×2﹣1＝3；
第2层第一个数为2×2＝4，最后一个数为3×3﹣1＝8；
第3层第一个数为3×3＝9，最后一个数为4×4﹣1＝15；

∴第n层第一个数为n2，最后一个数为（n+1）2﹣1，
∵442＜2021＜（44+1）2，
∴从上往下数，2021在第44层．
故选：B．
5．解：∵每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，
第m行的数字的个数是 2m﹣1，
∵442＝1936，
所以2021在第45行，
∵452＝2025，
∴45行最后一个数字是2025，
第45行有2×45﹣1＝89个数字，从2025往前数4个数据得到2021，从而得出2021是第85个数据，
∴m＝45，n＝85，
∴m+n＝45+85＝130．
故选：B．
6．解：2021÷4＝505…1，
∴2021应在1的位置，也就是在D处．
故选：D．
7．解：∵81的个位数字是8，
82的个位数字是4，
83的个位数字是2，
84的个位数字是6，
85的个位数字是8，
86的个位数字是4，
…
∴这列数的个位数字以8，4，2，6，每4个数循环出现，
∵2022÷4＝505…2，
∴第2021个数的个位数是8，
∴个数数字是8的个数为：505+1＝506（个）．
故选：B．
8．解：由题意得：左上角的数分别为1＝21﹣1，2＝22﹣1，4＝23﹣1，8＝24﹣1，
则左上角第n个数为2n﹣1（n为正整数）；
左下角的数分别为：2＝2×1，4＝2×2，6＝2×3，8＝2×4，
则左下角第n个数为：2n；
右上角的数分别为：4＝2×1+2，6＝2×2+2，8＝2×3+2，10＝2×4+2，
则右上角第n个数为：2n+2；
右下角的数分别为：7＝2×4﹣1，22＝4×6﹣1，44＝6×8﹣4，72＝8×10﹣8，
则右下角第n个数为：2n（2n+2）﹣2n﹣1，
根据排列规律，得：2n﹣1＝32，
解得：n＝6，
∴m＝2×6×（2×6+2）﹣32
＝168﹣32
＝136，
故选：B．
9．解：观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，
∴第n个数据为：．
当n＝3时，□的分子为5，分母＝32+1＝10，
∴这个数为＝，
故选：D．
10．解：通过观察可得规律：p＝n2，q＝（n+1）2﹣1，
∵q＝143，
∴（n+1）2﹣1＝143，
解得：n＝11，
∴p＝n2＝112＝121，
故选：B．
11．解：根据表格可得规律：
第n个表格中，
左上数字为n，
左下数字为n+1，
右上数字为2（n+1），
右下数字为2（n+1）（n+1）+n，
∴20＝2（n+1），
解得n＝9，
∴a＝9，b＝10，x＝10×20+9＝209．
故选：C．
12．解：由题知：第一次输出的结果为27，
第二次输出的结果为9，
第三次输出的结果为3，
第四次输出的结果为1，
第五次输出的结果为3，
第六次输出的结果为1，
.....．
从第三次开始奇数次输出为3，偶数次输出为1，
∴第2021次输出结果为3，
故选：B．
13．解：根据题意第一次运算结果输出的是3，
第二次运算输出的是8，
第三次运算输出的是4，
第四次运算输出的是2，
第五次运算输出的是1，
第六次运算输出的是6，
第七次运算输出的是3，
第八次运算输出的是8，
第九次运算输出的是4，
第十次运算输出的是2，
..．
以上可以看出每6次输出的结果就会循环，
∵2021÷6＝336......5，
∴第2021次输出的结果和第5次一样为1，
故选：A．
14．解：x1＝﹣，
x2＝＝，
x3＝＝4，
x4＝＝﹣，

每三个数字为一循环，
∵2020÷3＝673 1，
∴x2020＝x1＝﹣．
故选：C．
15．解：∵3，6，9，12，…称为三角形数，
∴三角数都是3的倍数，
∵4，8，12，16，…称为正方形数，
∴正方形数都是4的倍数，
∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，
∵2022÷12＝168…6，
2024÷12＝168…8，
2026÷12＝168…10，
2028÷12＝169，
∴2028既是三角形数又是正方形数，
故选：C．
16．解：∵第1个图形中小黑点个数为1+4×1＝5个，
第2个图形中小黑点个数为1+4×2＝9个，
第3个图形中小黑点个数为1+4×3＝13个，
…
∴第100个图形中小黑点个数为1+4×100＝401个，
故选：C．
17．解：由题意可得，
每转一圈正好是六个数字，
∵2021÷6＝336…5，
∴数字“2021”应该出现在射线AF上，
故选：C．
18．解：∵一组数：，﹣，，﹣，，…，
∴这组数为：，﹣，，﹣，，…，
∴这一组数的第n个数是（﹣1）n+1 ，
故答案为：（﹣1）n+1 ．
19．解：由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n＝，第n个正方形数为n2，
当n＝19时，＝190＜200，当n＝20时，＝210＞200，
所以最大的三角形数m＝190；
当n＝14时，n2＝196＜200，当n＝15时，n2＝225＞200，所以最大的正方形数n＝196；
则m+n＝190+196＝386，
故答案为：386．
20．解：由题意可得，
a1＝0，a2＝1，a3＝1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝3，a8＝4，a9＝4，…，
∵（2022﹣1）÷2＝1010…1，
∴a2022＝1010+1＝1011，
故答案为：1011．
21．解：（1）原式＝×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）
＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）
＝；
故答案为：；
（2）根据题意可知：＝×（﹣）．
故答案为：×（﹣）．
22．解：（1）+++
＝1﹣+
＝1﹣
＝；
故答案为：；
（2）++++…+
＝1﹣++…+﹣
＝1﹣
＝；
故答案为：；
（3）
＝+++
＝×（1﹣）
＝×（1﹣）
×
＝．
23．解：（1）第5个等式是62﹣52＝2×5+1，
故答案为：62﹣52＝2×5+1；
（2）猜想：第n个等式是（n+1）2﹣n2＝2n+1，
证明：∵（n+1）2﹣n2
＝n2+2n+1﹣n2
＝2n+1，
∴（n+1）2﹣n2＝2n+1成立．
故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1