2.4解直角三角形 期中综合复习训练 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（Word版含解析）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》期中综合复习训练（附答案）
1．定义：在∠C＝30°的△ABC中，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即thiA＝，则thi45°的值为（　　）
A． B．1 C． D．
2．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC'D'，若∠D'AB＝45°，则阴影部分的面积是（　　）
A． B．5﹣ C． D．5﹣2
3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且tan∠ABD＝，则BD的长度为（　　）
A． B．2 C．5 D．
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB＝，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，直线MN垂直平分AB交AB于M，交BC于N，且∠B＝15°，AC＝3，则BC的长为（　　）
A．6 B．6+3 C．6+2 D．9
6．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么tan∠ABC的值为（　　）
A． B． C．4 D．
7．如图，在给出网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则cos∠OAB＝（　　）
A． B． C． D．
8．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（　　）
A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2
11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，若S△ACD：S△BCD＝3：2，则cos∠ACB＝　 　．
12．如图，在边长为10的菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC＝60°，M、N分别是边BC，CD上的点，BM＝CN，连接MN交AC于P点，当MN最短时，PC长度为 　 　．
13．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD＝　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tanB＝，则CE＝　 　．
15．如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin＝　 　．
16．△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝7，则∠BAC的余弦值为 　 　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为 　 　．
18．如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 　 　．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC边上，BE＝AD，AE、BD相交于点F，且tan∠AFD＝，若AE＝13，BD＝15，则AD的长为　 　．
20．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是　 　．
21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD＝，cos∠E＝，则的值是　 　．
22．阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）＝．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）＝＝2+．
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题．
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正△ABC沿直线滚动，设当△ABC滚动240°时，C点的位置在C′，当△ABC滚动480°时，A点的位置在A′．
①求tan∠CAC′的值；
②试确定∠CAC′+∠CAA′的度数．
参考答案
1．解：如右图所示，作BD⊥AC于点D，
设BD＝a，
∵∠C＝30°，∠A＝45°，
∴AB＝＝＝a，BC＝＝＝2a，
∴thi45°＝＝＝，
故选：C．
2．解：设BC与C′D′交点为E，
则BE⊥C′D′，因此C′E＝BC′ cosC′，
∵四边形ABC′D′为菱形，则∠C′＝∠D′AB＝45°，
∴C′E＝BC′ cosC′＝2×＝，
同理BE＝BC′ sinC′＝，
∴D′E＝2﹣，BE＝，
∴梯形D′EBA面积为：
S′＝（D′E+AB）×BE×＝2﹣1，
阴影面积为：S＝SSABCD﹣S′
＝2×2﹣（2﹣1）
＝5﹣2．
故选：D．
3．解：作DE⊥AB于点E，
设DE长为x，则tanA＝＝＝，
∴EA＝x，
∵tan∠ABD＝＝，
∴BE＝2x，
∴AB＝EA+BE＝x+2x＝6，
∴x＝，
∴BD＝＝＝，
故选：D．
4．解：在Rt△ABD中，cosB＝＝，BD＝9，
∴AB＝BD＝15，
由勾股定理得AD＝＝＝12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝＝13，
∵E为AC中点，
∴ED＝EC＝AC＝，
∴sin∠EDC＝sinC＝＝．
故选：C．
5．解：如图，连接AN．
∵MN垂直平分线段AB，
∴NA＝NB，
∴∠B＝∠BAN＝15°，
∴∠ANC＝∠B+∠NAB＝30°，
∵AC＝3，∠C＝90°，
∴AN＝2AC＝6，CN＝＝＝3，
∴BC＝CN+BN＝3+6，
故选：B．
6．解：过点A作AE⊥BC于E．
在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝＝4，
故选：C．
7．解：过点O作OE⊥AB于E．
∵OA＝＝2，
∴cos∠OAB＝＝＝，
故选：C．
8．解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC：AD＝2：，
∴tanB＝＝，
∴∠B＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
故选：C．
9．解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10＝AF BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝＝3，
∵CE＝AE＝BE＝AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，
故选：A．
10．解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，
∵＝＝2，
∴＝，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，＝
∴∠DAB＝∠TAC，
∵＝，
∴△DAB∽△TAC，
∴＝＝，
∴TC＝2，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2，
∴CD的最大值为1+2，
故选：B．
11．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，DN⊥AC于N，DM⊥BC于M．
∵CD平分∠ACB，DM⊥BC于M，DN⊥AC于点N，
∴DM＝DN．
∵，，
∴S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝3：2．
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝．
∴CE：AC＝1：3．
∴COS∠ACB＝．
故答案为：．
12．解：连接AM、AN，
∵∠ABC＝60°，AB＝BC＝10，
∴△ABC为等边三角形，∠ACB＝∠ACD＝60°，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM＝AN，
∴△AMN为等边三角形，AM＝MN，
当MN最短时，AM最短，此时AM⊥BC，如图，
则∠MAC＝30°，
∵∠AMP＝60°，
∴∠APM＝90°，
∵AM＝AB＝5，
∴AP＝AM＝，
∴PC＝AC﹣AP＝10﹣＝．
故答案为：．
13．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K，连接DK，由题意KD＝CF＝5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝＝，
∴＝，
∴OE＝，
∴AE＝＝，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE＝ AB EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH＝，
∴AH＝＝，
∴tan∠BAD＝＝＝．
14．解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴＝，
∵AC＝6，∠ACB＝90°，
∴tanB＝＝
∴BC＝8，AB＝＝＝10，
∴＝，
∵FC＝FG，
解得：FC＝3，
即CE的长为3．
故答案为：3．
15．解：如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．
∵BC＝＝5，CT＝＝5，
∴CB＝CT，
∵BH＝HT，
∴∠HCA＝∠HCB，CH⊥BT，
∵HT＝，
∴sin＝＝＝，
故答案为：．
16．解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AC，垂足为E，
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝8，
∴BD＝AB＝4，
AD＝AB＝4，
在Rt△ACD中，CD＝＝1，
由三角形的面积公式得，
BC AD＝AC BE，
即（4+1）×4＝7BE，
∴BE＝，
在Rt△ABE中，AE＝＝，
∴cos∠BAC＝＝＝；
（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CF⊥AB，垂足为F，
由题意得，BC＝4﹣1＝3，
在Rt△BCF中，∠FBC＝60°，BC＝3，
∴BF＝BC＝，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣＝，
在Rt△AFC中，cos∠BAC＝＝；
故答案为：或．
17．解：作NP⊥AB于点P，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AB＝＝＝5，
设AM长为x，则BM＝5﹣x，
∵tan∠MAN＝＝，
∴AN＝2MN，
∴AM＝＝MN，
∴MN＝AM＝x，AN＝2MN＝x，
同理，在Rt△ANP中可得NP＝＝x，AP＝2NP＝x，
∵O为BM中点，
∴BO＝BM＝，
∴AO＝AB﹣BO＝，
∴OP＝AO﹣AP＝﹣x＝，
在Rt△ONP中，由勾股定理得ON2＝OP2+NP2，
即ON2＝（）2+（x）2＝（25x2﹣150x+3125）＝（x2﹣6x+125）＝（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，ON2取最小值为20，
∴ON最小值为2．
故答案为：2．
18．解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，
∵直线y＝﹣2∥x轴，故∠ABN＝α，
当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，
故BN最小，即BG最大时，tanα最大，
即当BG最大时，sinα的值最大，
设BG＝y，
则AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，
∴∠CAM＝∠BCG，
∴tan∠CAM＝tan∠BCG，
∴，即，
∴y＝﹣（n﹣3）（n+2），
∵﹣＜0，
故当n＝（3﹣2）＝时，y取得最大值，
故n＝，
故答案为：．
19．解：过点A，B作BC，AE的平行线交于点M，连接DM，作DN⊥BM于点N，
则四边形AMBE为平行四边形，
∴∠AFD＝∠DBN，
∴tan∠DBN＝tan∠AFD＝＝．
设DN＝4x，BN＝3x，
则BD＝＝5x，
∴5x＝15，
解得x＝3，
∴DN＝4x＝12，BN＝3x＝9，
∵BM＝AE＝13，
∴MN＝BM﹣BN＝4，
∴DM＝＝＝4．
∵BC∥AM，∠C＝90°，
∴∠CAM＝90°，
∵BE＝AD，BE＝AM，
∴△DAM为等腰直角三角形，
∴∠MDA＝∠DMA＝45°，
∴sin45°＝＝，
∴AD＝AM＝BE＝DM＝4，
故答案为：4．
20．解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵AB＝12，∠H＝90°，
∴BH＝AB cos60°＝6，AH＝AB sin60°＝6，
∵EF⊥DF，DE＝5，
∴sin∠ADE＝＝，
∴EF＝4，
∴DF＝＝＝3，
∵S△CDE＝6，
∴ CD EF＝6，
∴CD＝3，
∴CF＝CD+DF＝6，
∵tanC＝＝，
∴＝，
∴CH＝9，
∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．
故答案为：9﹣6．
21．解：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，
设∠E＝α，则cos∠E＝＝cosα，则sinα＝，tanα＝4，
∵tan∠ABD＝，则tan∠BHN＝2，
∵AE⊥AC，BC⊥AC，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝α，
∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，
∴∠NCB＝∠NDC＝α，
在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，
则GH＝＝＝AG＝asinα，则EH＝GE+GH＝acosα+asinα，
在Rt△AEC中，EC＝＝，
则HC＝EC﹣EH＝﹣（acosα+asinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC＝﹣（acosα+asinα），
同理可得：BC＝×，
在Rt△BCD中，CD＝＝×＝a（﹣﹣）＝，
AD＝AC﹣CD＝4a﹣＝，
则＝，
故答案为．
22．解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）
＝sin30° cos45°+cos30° sin45°
＝+
＝；
（2）①过C′作C′E⊥l于E，
∵△ABC是等边三角形且边长为2，
∴C′E＝，AE＝2+2+1＝5，
∴tan∠CAC′＝＝；
②过A′作A′F⊥l于F，
∵△ABC是等边三角形且边长为2，
∴A′F＝，AF＝2+2+2+2+1＝9，
∴tan∠CAA′＝＝．
设∠CAC′＝α，∠CAA′＝β，
tan（α+β）＝＝＝，
∴α+β＝30°，
∴∠CAC′+CAA′＝30°．