24.1圆的有关性质 同步练习题 2021-2022学年人教版数学九年级上册（Word版含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《24.1圆的有关性质》同步练习题（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（　　）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
2．下列说法中，正确的是（　　）
A．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B．长度相等的两条弧是等弧
C．正多边形一定是轴对称图形 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
3．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝4，CD＝1，则EC的长为（　　）
A． B． C． D．4
4．如图，⊙O的半径为5，若OP＝3，则经过点P的弦长可能是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．6
6．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（　　）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
7．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．下列语句，错误的是（　　）
A．直径是弦 B．弦的垂直平分线一定经过圆心
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
9．如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（　　）
A．70° B．65° C．60° D．55°
10．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在直径AB一侧的圆上（异于A，B两点），点E在直径AB另一侧的圆上，若∠E＝42°，∠A＝60°，则∠B＝（　　）
A．62° B．70° C．72° D．74°
11．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝110°，则∠BOD的度数为（　　）
A．140° B．70° C．80° D．60°
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，OC＝OD，且⊙P的半径为4．
（1）在P1（0，﹣2），P2（2，3），P3（﹣2，1）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是　 　；
（2）如果点P在直线y＝x+1上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，那么点P的坐标为　 　．
14．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝　 　米．
15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝　 　．
16．如图，已知AB是⊙O的直径，PA＝PB，∠P＝60°，则弧CD所对的圆心角等于　 　度．
17．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为 　 　．
18．如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
19．一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？
20．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．
21．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．
22．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．
23．如图，点C在以线段AB为直径的圆上，且，点D在AC上，且DE⊥AB于点E，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）若AD＝6，BE＝8，求EF的长；
（2）求证：CE＝EF．
24．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE．
求证：△ADE是等腰三角形．
25．如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为的中点，BF交AD于点E，且BE EF＝32，AD＝6．
（1）求证：AE＝BE；
（2）求DE的长；
（3）求BD的长．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B．
2．解：A、在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧可能有一条是劣弧，一条是优弧，所以A选项错误；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项错误；
C、正多边形一定是轴对称图形，对称轴的条数等于它的边数，所以C选项正确；
D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以D选项错误．
故选：C．
3．解：连接BE，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°．
∵半径OD⊥弦AB，
∴∠ACO＝90°，AC＝AB．
∵AB＝4，
∴AC＝2．
设AO＝x，则CO＝x﹣1，在Rt△ACO中，由勾股定理，得
x2﹣（x﹣1）2＝4，
解得：x＝2.5，
∴AE＝5．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE＝3．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE＝．
故选：B．
4．解：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
在Rt△OAP中，OA＝5，OP＝3；
根据勾股定理，得：AP＝＝4；
故AB＝2AP＝8；
所以过P点的弦长应该在8～10之间，
故选：C．
5．解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
故选：D．
6．解：∵车宽2.4米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝＝1.6（m），
CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，
∴卡车的外形高必须低于4.1米．
故选：A．
7．解：∵＝，
∴∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°，
故选：B．
8．解：A、直径为弦，所以A选项的说法正确；
B、弦的垂直平分线一定经过圆心，所以B选项的说法正确；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项的说法错误；
D、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，所以D选项的说法正确．
故选：C．
9．解：连接OC、OD，
∵AD＝CD，
∴＝，
∴∠AOD＝∠COD，
∵∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴AOD＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝＝65°，即∠DAE＝65°，
故选：B．
10．解：连接AC．
∵∠DAB＝60°，∠DAC＝∠E＝42°，
∴∠CAB＝60°﹣42°＝18°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣18°＝72°，
故选：C．
11．解：由圆内接四边形的性质可知，∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故选：A．
12．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，OC＝OD，A（，2），
∴它的中心E点坐标为坐标为（0，1），如图，
∵P1E＝1﹣（﹣2）＝3，P2E＝＝4，P3E＝＝2
而⊙P的半径为4．
∴矩形ABCD的“等距圆”的圆心是点P2；
（2）设P（t，﹣t+1），
∴PE＝4，
∴t2+（﹣t+1﹣1）2＝42，解得t＝2或t＝﹣2，
∴P点坐标为（2，﹣1）或（﹣2，3）．
故答案为点P2（2，﹣1）或（﹣2，3）．
14．解：根据垂径定理，得AD＝AB＝20米．
设圆的半径是R，根据勾股定理，
得R2＝202+（R﹣10）2，
解得R＝25（米），
∴⊙O的直径为50米．
故答案为50．
15．解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x寸，则半径OC＝x寸，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，
连接OA，则OA＝x寸，
根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，
解得x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26（寸）．
故答案为：26寸．
16．解：连接OC，OD，∵PA＝PB，∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，
有∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OC＝OD＝OB，∴△COA，△DOB也是等边三角形，
∴∠COA＝∠DOB＝60°，∴∠COD＝180°﹣∠COA﹣∠DOB＝60度．
17．解：根据题意，弦AB与两半径组成等边三角形，
∴先AB所对的圆心角＝60°，
①圆周角在优弧上时，圆周角＝30°，
②圆周角在劣弧上时，圆周角＝180°﹣30°＝150°．
∴圆周角的度数为30°或150°．
18．解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADC＝β，∠AOC＝α；而α+β＝180°，
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，
故答案为：60°．
三．解答题（共7小题，满分60分）
19．解：∵环形小路的宽为1米，花坛的直径为5米，
∴R＝3.5m，r＝2.5m；
则圆环的面积为：π×（3.5）2﹣π×（2.5）2＝6π（平方米），
所以小路的面积为6π平方米．
20．（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC＝∠AEN＝90°，
∵∠ANE＝∠CNM，
∴∠BCD＝∠BAM，
∴∠BAM＝BAD，
在△ANE与△ADE中，
∵，
∴△ANE≌△ADE，
∴AD＝AN；
（2）解：∵AB＝4，AE⊥CD，
∴AE＝2，
又∵ON＝1，
∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1
连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1，
∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，
∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，
∴r＝2x﹣1＝3．
21．解：这辆卡车能通过厂门．理由如下：
如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，
由作法得，CE＝DE＝0.8m，
又∵OC＝OA＝1m，
在Rt△OCE中，OE＝＝＝0.6（m），
∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m．
所以这辆卡车能通过厂门．
22．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，
∴∠DCO＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝45°，
∴CD＝CO，
∴BO＝BC+CO＝BC+CD，
∴BO＝2AB，
连接AO，如图：
∵MN＝10，
∴AO＝5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，
即AB2+（2AB）2＝52，
解得：AB＝，
则正方形ABCD的边长为．
23．解：（1）∵点C在以线段AB为直径的圆上，且
∴∠ACB＝90°，且AC＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵DE⊥AB，
∴AE＝DE＝AD＝×6＝6，
在Rt△BDE中，
∵DE＝6，BE＝8，
∴BD＝＝10，
又∵F是线段BD的中点，
∴EF＝BD＝5；
（2）如图，连接CF，
∵∠BED＝∠AED＝∠ACB＝90°，
∵点F是BD的中点，
∴CF＝EF＝FB＝FD，
∴B、C、D、E在以BD为直径的圆上，
∴∠EFC＝2∠EBC＝2×45°＝90°，
∴△EFC为等腰直角三角形，
∴CE＝EF．
24．证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，
∴∠A＝∠BCE，
∵BC＝BE，
∴∠E＝∠BCE，
∴∠A＝∠E，
∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形．
25．（1）证明：连AF，AB，AC．因为A是的中点，
∴∠ABE＝∠AFB．
又∠AFB＝∠ACB，
∴∠ABE＝∠ACB．
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，AH⊥BC．
∴∠BAE＝∠ACB．
∴∠ABE＝∠BAE．
∴AE＝BE．
（2）解：设DE＝x（x＞0），由AD＝6，BE EF＝32，AE EH＝BE EF，（4分）
则（6﹣x）（6+x）＝32，
解得x＝2，
即DE的长为2；
（3）解：由（1）、（2）有：BE＝AE＝6﹣2＝4，
在Rt△BDE中，BD＝＝．