第三章 圆锥曲线的方程 综合测评卷— 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 综合测评卷— 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-06 11:38:40 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程 综合测评卷
一、单选题
1．设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ）
A．4 B． C． D．
2．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是
A． B． C． D．
3．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B．26 C． D．
4．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．已知 为椭圆的左 右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）
A．r+R B．r+R
C．r+R D．r+R
7．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值分别为（ ）
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12
8．已知点，点P为函数图象上的一点，则的最小值为（ ）
A． B．7 C．3 D．不存在
二、多选题
9．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A．M的离心率为
B．M的标准方程为
C．M的渐近线方程为
D．直线经过M的一个焦点
10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是（ ）
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
11．（多选）设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则（ ）
A．点坐标为 B．直线的方程为
C． D．
12．为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，，过，作切线交于，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的轨迹是 D．的轨迹是
三、填空题
13．已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长度为，则椭圆的方程为______．
14．已知椭圆，为右顶点.过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N(2，0)，椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为___________.
15．已知F为双曲线的左焦点，直线l经过点F，若点，关于直线l对称，则双曲线C的离心率为_________．
16．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于P，Q两点，且，，则双曲线的离心率为________.
四、解答题
17．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围．
18．已知动直线垂直于轴，与椭圆交于，两点，点在直线上，．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）直线与椭圆相交于，与曲线相切于点，为坐标原点，求的取值范围．
19．椭圆与双曲线有公共焦点、，是它们的一个公共点．
（1）用和表示；
（2）设，求．
20．已知椭圆，且椭圆C上恰有三点在集合中.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点O为坐标原点，直线AB与椭圆交于A、B两点，且满足，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值.如果是，请求出定值：如果不是，请明说理由.
（3）在（2）的条件下，求面积的最大值.
21．已知椭圆的右焦点和抛物线的焦点相同，且椭圆过点．
（1）求椭圆方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，且满足（，为原点），当时，求实数的取值范围．
22．对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.
（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；
（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线交点为，求动点的轨迹方程；
（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.
参考答案
1．A
【解析】由双曲线方程可得，
则.
故选：A.
2．D
【解析】因为椭圆方程为，
所以 ，
由椭圆的定义得： ，
所以，
所以的周长是8
故选：D
3．A
【解析】由题意，椭圆，所以，所以，
又，所以，
因为，所以，
所以，
故的面积.
故选：A.
4．A
【解析】由双曲线知：且，
而其与椭圆有相同焦点，
∴且，解得，
故选：A
5．D
【解析】如图，由三角形性质可得：,；
，
因为平分，所以，
解得，即离心率.
故选：D.
6．A
【解析】由题意，椭圆的离心率，（c为半焦距；a为长半轴）
地球半径为R，卫星近地点离地面的距离为r，可得
联立方程组，，
如图所示，设卫星近地点的距离为，远地点的距离为，
所以远地点离地面的距离为r+
故选：A．
7．C
【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知，
连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时最小，最小值为；
连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时最大，最大值为．
故选：C．
8．B
【解析】解：，得．
设点，即点为双曲线的上、下焦点．
由双曲线的定义得，
则.
故选：B．
9．ACD
【解析】解：依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为，所以两条渐近线的倾斜角分别为，所以，所以，所以双曲线方程为，离心率，渐近线方程为，焦点坐标为、，显然直线过点；
故选：ACD
10．ABC
【解析】因为双曲线C：的左、右焦点分别为，，
所以焦点在x轴上，且c=5；
A选项，若离心率为，则a=4，所以b=3，此时双曲线的方程为：，故A正确；
B选项，若双曲线过点，则，解得，又，解得：b=3；此时双曲线的方程为：，故B正确；
C选项，若双曲线的渐近线方程为，则，又 解得，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；
D选项，若，则，所以故D错误；
故选：ABC.
11．ABC
【解析】由得，，则焦点．，
其准线方程为，A正确；
设切线方程为，由得，
令，解得．
∴切点，因此直线的方程为，B正确；
又，．
从而，即，C正确；
，D错误．
故选：ABC．
12．AC
【解析】根据题意，作图如下：
不妨设点的坐标为，点坐标为，
故切点所在直线方程为：；
又点为椭圆上的一点，
故切线方程所在直线方程为：；
故可得.即
不妨设直线交于点，故
设直线方程为：，
故，又，
故可得三角形的面积
，
当且仅当，且时，即时取得最大值.
因为点在椭圆上，故，
又，
故可得，整理得.
故动点的轨迹方程为：.
故选：.
13．
【解析】解：由题知，得，
设，代入椭圆，
即，解得，
所以，得，
所以椭圆的方程为.
故答案为：.
14．
【解析】解：设，则由；
线段的中点为，则，；
由题意，，，三点共线，；
即；
可得；
所以，由椭圆的离心率为，得，；
故椭圆的标准方程为：．
故答案为：．
15．
【解析】为双曲线：的左焦点，
，
又点，关于直线对称，，
可得直线的方程为，
又，中点在直线上，
，整理得，又，
，
故，解得，
，
.
故答案为：.
16．
【解析】解：如图，
可设为双曲线右支上一点，由，
在直角三角形中，，
由双曲线的定义可得：，
由，即有，
即为，
，解得，，
由勾股定理可得：，
可得.
故答案为：.
17．．
【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形，
．
，
，
．
，
，
，
，
∴椭圆的离心率．
18．（1）；（2）.
【解析】（1）设，，则由题知，，
，，
，，
由在椭圆上可得，
所以，
故点的轨迹的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，，；
当直线的斜率存在时，设其方程为，，，，
联立，消去y化简可得，
令可得，
则，，所以，，
联立，消去y化简可得，，
所以，
则
，
令，则，
所以
，，
所以当时，即时，取最大值3，
当时，即时，取最小值；
综上，的取值范围为．
19．（1）；（2）.
【解析】（1）令，，，
在中，由余弦定理得：，
所以和，
因为是椭圆上的点，则，
．
因为是双曲线上的点，则，
．
所以，即，整理得：
（2）由（1）可得，整理得：，
由（1）可知，所以，
所以．
20．（1）（2）点O到直线AB的距离为定值（3）
【解析】（1）和关于原点对称，故由题意知，椭圆C必过此两点
，又当椭圆过点时，，∴，
此时满足，符合题意.
所以椭圆.
又当椭圆过点时，，∴，
此时，不符合题意.
综上：椭圆.
（2）设，，若斜率存在，则设直线，
由，得，
，
由知，
，
代入得，
又原点到直线AB的距离，
且当AB的斜率不存在时，，可得，依然成立.
所以点O到直线AB的距离为定值.
（3）由（2）知，
由（2）知，，
；
因为，当且仅当，即时等号成立.
所以；
易知当AB斜率不存在时，，所以，
综上得的面积的最大值为.
21．（1）；（2）.
【解析】（1），焦点，所以，椭圆焦点为，，
因为椭圆过点，所以，
所以，所以，椭圆方程为．
（2）设，．
当斜率是0时，不合题意．
当斜率不为0时，设直线的方程是，联立方程
②代入①得，
，
所以，所以，，
所以
．
因为，即，
整理得，所以，所以．
又，
所以，所以，
所以．
又点在椭圆上，代入方程得，，
所以，又，所以，
解得或．
故的取值范围为．
22．（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】（1）由题意可得，，
由，得，即，可得，
因此，的渐近线方程为；
（2）设，，设点，又、，
所以，直线的方程为①，直线的方程为②，
由①得，由②得，
上述两个等式相乘可得，
在双曲线上，，
可得，，
，化简可得；
（3）证明：点的坐标为，直线的方程为，
设、的坐标分别为、
则由，得，
即，
当时，，
由韦达定理可得，
，
由，知，，
双曲线的伴随曲线是圆，
圆上任意一点到的距离，
，
，
所以，对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.
一、单选题
1．设是双曲线上的动点，则到该双曲线两个焦点的距离之差为（ ）
A．4 B． C． D．
2．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是
A． B． C． D．
3．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B．26 C． D．
4．椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．已知 为椭圆的左 右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）
A．r+R B．r+R
C．r+R D．r+R
7．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值分别为（ ）
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12
8．已知点，点P为函数图象上的一点，则的最小值为（ ）
A． B．7 C．3 D．不存在
二、多选题
9．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A．M的离心率为
B．M的标准方程为
C．M的渐近线方程为
D．直线经过M的一个焦点
10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是（ ）
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
11．（多选）设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则（ ）
A．点坐标为 B．直线的方程为
C． D．
12．为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，，过，作切线交于，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的轨迹是 D．的轨迹是
三、填空题
13．已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长度为，则椭圆的方程为______．
14．已知椭圆，为右顶点.过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N(2，0)，椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为___________.
15．已知F为双曲线的左焦点，直线l经过点F，若点，关于直线l对称，则双曲线C的离心率为_________．
16．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于P，Q两点，且，，则双曲线的离心率为________.
四、解答题
17．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围．
18．已知动直线垂直于轴，与椭圆交于，两点，点在直线上，．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）直线与椭圆相交于，与曲线相切于点，为坐标原点，求的取值范围．
19．椭圆与双曲线有公共焦点、，是它们的一个公共点．
（1）用和表示；
（2）设，求．
20．已知椭圆，且椭圆C上恰有三点在集合中.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点O为坐标原点，直线AB与椭圆交于A、B两点，且满足，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值.如果是，请求出定值：如果不是，请明说理由.
（3）在（2）的条件下，求面积的最大值.
21．已知椭圆的右焦点和抛物线的焦点相同，且椭圆过点．
（1）求椭圆方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，且满足（，为原点），当时，求实数的取值范围．
22．对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.
（1）当时，记双曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；
（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线交点为，求动点的轨迹方程；
（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.
参考答案
1．A
【解析】由双曲线方程可得，
则.
故选：A.
2．D
【解析】因为椭圆方程为，
所以 ，
由椭圆的定义得： ，
所以，
所以的周长是8
故选：D
3．A
【解析】由题意，椭圆，所以，所以，
又，所以，
因为，所以，
所以，
故的面积.
故选：A.
4．A
【解析】由双曲线知：且，
而其与椭圆有相同焦点，
∴且，解得，
故选：A
5．D
【解析】如图，由三角形性质可得：,；
，
因为平分，所以，
解得，即离心率.
故选：D.
6．A
【解析】由题意，椭圆的离心率，（c为半焦距；a为长半轴）
地球半径为R，卫星近地点离地面的距离为r，可得
联立方程组，，
如图所示，设卫星近地点的距离为，远地点的距离为，
所以远地点离地面的距离为r+
故选：A．
7．C
【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知，
连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时最小，最小值为；
连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时最大，最大值为．
故选：C．
8．B
【解析】解：，得．
设点，即点为双曲线的上、下焦点．
由双曲线的定义得，
则.
故选：B．
9．ACD
【解析】解：依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为，所以两条渐近线的倾斜角分别为，所以，所以，所以双曲线方程为，离心率，渐近线方程为，焦点坐标为、，显然直线过点；
故选：ACD
10．ABC
【解析】因为双曲线C：的左、右焦点分别为，，
所以焦点在x轴上，且c=5；
A选项，若离心率为，则a=4，所以b=3，此时双曲线的方程为：，故A正确；
B选项，若双曲线过点，则，解得，又，解得：b=3；此时双曲线的方程为：，故B正确；
C选项，若双曲线的渐近线方程为，则，又 解得，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；
D选项，若，则，所以故D错误；
故选：ABC.
11．ABC
【解析】由得，，则焦点．，
其准线方程为，A正确；
设切线方程为，由得，
令，解得．
∴切点，因此直线的方程为，B正确；
又，．
从而，即，C正确；
，D错误．
故选：ABC．
12．AC
【解析】根据题意，作图如下：
不妨设点的坐标为，点坐标为，
故切点所在直线方程为：；
又点为椭圆上的一点，
故切线方程所在直线方程为：；
故可得.即
不妨设直线交于点，故
设直线方程为：，
故，又，
故可得三角形的面积
，
当且仅当，且时，即时取得最大值.
因为点在椭圆上，故，
又，
故可得，整理得.
故动点的轨迹方程为：.
故选：.
13．
【解析】解：由题知，得，
设，代入椭圆，
即，解得，
所以，得，
所以椭圆的方程为.
故答案为：.
14．
【解析】解：设，则由；
线段的中点为，则，；
由题意，，，三点共线，；
即；
可得；
所以，由椭圆的离心率为，得，；
故椭圆的标准方程为：．
故答案为：．
15．
【解析】为双曲线：的左焦点，
，
又点，关于直线对称，，
可得直线的方程为，
又，中点在直线上，
，整理得，又，
，
故，解得，
，
.
故答案为：.
16．
【解析】解：如图，
可设为双曲线右支上一点，由，
在直角三角形中，，
由双曲线的定义可得：，
由，即有，
即为，
，解得，，
由勾股定理可得：，
可得.
故答案为：.
17．．
【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形，
．
，
，
．
，
，
，
，
∴椭圆的离心率．
18．（1）；（2）.
【解析】（1）设，，则由题知，，
，，
，，
由在椭圆上可得，
所以，
故点的轨迹的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，，；
当直线的斜率存在时，设其方程为，，，，
联立，消去y化简可得，
令可得，
则，，所以，，
联立，消去y化简可得，，
所以，
则
，
令，则，
所以
，，
所以当时，即时，取最大值3，
当时，即时，取最小值；
综上，的取值范围为．
19．（1）；（2）.
【解析】（1）令，，，
在中，由余弦定理得：，
所以和，
因为是椭圆上的点，则，
．
因为是双曲线上的点，则，
．
所以，即，整理得：
（2）由（1）可得，整理得：，
由（1）可知，所以，
所以．
20．（1）（2）点O到直线AB的距离为定值（3）
【解析】（1）和关于原点对称，故由题意知，椭圆C必过此两点
，又当椭圆过点时，，∴，
此时满足，符合题意.
所以椭圆.
又当椭圆过点时，，∴，
此时，不符合题意.
综上：椭圆.
（2）设，，若斜率存在，则设直线，
由，得，
，
由知，
，
代入得，
又原点到直线AB的距离，
且当AB的斜率不存在时，，可得，依然成立.
所以点O到直线AB的距离为定值.
（3）由（2）知，
由（2）知，，
；
因为，当且仅当，即时等号成立.
所以；
易知当AB斜率不存在时，，所以，
综上得的面积的最大值为.
21．（1）；（2）.
【解析】（1），焦点，所以，椭圆焦点为，，
因为椭圆过点，所以，
所以，所以，椭圆方程为．
（2）设，．
当斜率是0时，不合题意．
当斜率不为0时，设直线的方程是，联立方程
②代入①得，
，
所以，所以，，
所以
．
因为，即，
整理得，所以，所以．
又，
所以，所以，
所以．
又点在椭圆上，代入方程得，，
所以，又，所以，
解得或．
故的取值范围为．
22．（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】（1）由题意可得，，
由，得，即，可得，
因此，的渐近线方程为；
（2）设，，设点，又、，
所以，直线的方程为①，直线的方程为②，
由①得，由②得，
上述两个等式相乘可得，
在双曲线上，，
可得，，
，化简可得；
（3）证明：点的坐标为，直线的方程为，
设、的坐标分别为、
则由，得，
即，
当时，，
由韦达定理可得，
，
由，知，，
双曲线的伴随曲线是圆，
圆上任意一点到的距离，
，
，
所以，对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.