2021-2022学年度人教版八年级数学上册 12．2 三角形全等的判定（4课时）（教案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年度人教版八年级数学上册 12．2 三角形全等的判定（4课时）（教案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 688.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-05 10:02:52 | ||
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文档简介
12．2 三角形全等的判定
第1课时 边边边
一、基本目标
【知识与技能】
1．会运用“边边边”证明三角形全等．
2．会根据“边边边”作一个角等于已知角．
【过程与方法】
经历探索三角形全等条件的过程，体验由操作、归纳得出结论的过程．
【情感态度与价值观】
通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质以及发现问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握两个三角形全等的判定条件——“边边边”．
【教学难点】
探索三角形全等的条件的过程．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P35～P37的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)．
2．在△ABC、△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC≌△DEF.
3．已知AB＝3，BC＝4，CA＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝6.
4．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是SSS.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
【例1】如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：△ABC≌△ADC.
【互动探索】(引发学生思考)要证△ABC≌△ADC，只需看这两个三角形的三边是否相等．
【证明】在△ABC与△ADC中，
∵
∴△ABC≌△ADC(SSS)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)注意运用“SSS”证三角形全等时的证明格式；在证明过程中善于挖掘“公共边”这个隐含条件．
【例2】如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.
【互动探索】(引发学生思考)已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“SSS”证明△ABC≌△DEF.
【证明】∵BE＝CF，
∴EC＋BE＝EC＋CF，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，∵
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后根据判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【例3】如图，AB＝AD，DC＝BC，∠B与∠D相等吗？为什么？
【互动探索】(引发学生思考)要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC构造三角形．
【解答】结论：∠B＝∠D.
理由如下：连结AC.
在△ADC和△ABC中，
∵
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠B＝∠D.
【互动总结】(学生总结，老师点评)要证∠B与∠D相等，可证这两个角所在的三角形全等，现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，线段AD与BC交于点O，且AC＝BD，AD＝BC，则下面的结论中不正确的是( C )
A．△ABC≌△BAD B．∠CAB＝∠DBA
C．OB＝OC D．∠C＝∠D
2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C作射线OC.由做法得△MOC≌△NOC的依据是SSS.
3．如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DE＝BF.
求证：(1)∠D＝∠B；
(2)AE∥CF.
证明：(1)在△ADE和△CBF中，∵
∴△ADE≌△CBF(SSS)，
∴∠D＝∠B.
(2)∵△ADE≌△CBF，
∴∠AED＝∠CFB.
∵∠AED＋∠AEO＝180°，∠CFB＋∠CFO＝180°，
∴∠AEO＝∠CFO，
∴AE∥CF.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
第2课时 边角边
一、基本目标
【知识与技能】
掌握三角形全等的“SAS”判定方法，并能进行简单的应用．
【过程与方法】
经历探究两个三角形全等的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程，进而培养学生有条理的分析、推理能力．
【情感态度与价值观】
通过探究活动，体会数学充满了探索和创造，提高学生的学习热情．
二、重难点目标
【教学重点】
应用“SAS”证明两个三角形全等．
【教学难点】
理解满足“SSA”的两个三角形不一定全等．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)．
2．有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等．
3．如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB，根据“SAS”可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD＝CB.
4．如图，已知BD＝CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是∠ADC＝∠ADB.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.
【互动探索】(引发学生思考)由题意可知，如果∠A＝∠B就可证△AEF≌△BCD.由AE∥BC可得∠A＝∠B.
【证明】∵AE∥BC，
∴∠A＝∠B.
∵AD＝BF，
∴AF＝BD.
在△AEF和△BCD中，∵
∴△AEF≌△BCD(SAS)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等，则角必须是两边的夹角．
【例2】如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2.若∠1＝45°，求∠C的度数．
【互动探索】(引发学生思考)如果△ABC≌△FBE，就可以得出∠C＝∠BEF，从而由BC∥EF得到∠C＝∠BEF＝∠1，问题得解．
【解答】∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠FBE.
在△ABC和△FBE中，∵
∴△ABC≌△FBE(SAS)，
∴∠C＝∠BEF.
又∵BC∥EF，
∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；(2)学会挖掘题中的已知条件，如“公共边”“公共角”等．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件( A )
A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠C
C．∠D＝∠E D．∠BAE＝∠CAD
2．下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( C )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
3．如图，已知AB＝AD，若AC平分∠BAD，问AC是否平分∠BCD？为什么？
解：AC平分∠BAD.理由：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC.
在△ABC和△ADC中，
∵
∴△ABC≌ADC(SAS)，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴AC平分∠BCD.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连结AE、CG.求证：
(1)AE＝CG；
(2)AE⊥CG.
【互动探索】观察图形，证明△ADE≌△CDG，就可以得出AE＝CG，再结合全等三角形的性质和正方形的性质即可证得AE⊥CG.
【证明】(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD＝CD，GD＝ED.
∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，
∴∠CDG＝∠ADE.
在△ADE和△CDG中，∵
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE＝CG.
(2)设AE与DG相交于点M，AE与CG相交于点N.
在△GMN和△DME中，由(1)得∠CGD＝∠AED.
又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，
∴∠CGD＋∠GMN＝90°，
∴∠GNM＝90°，
∴AE⊥CG.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是证得△ADE≌△CDG.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
第3课时 角边角与角角边
一、基本目标
【知识与技能】
掌握三角形全等的证明方法“ASA”和“AAS”，并能解决相应的实际问题．
【过程与方法】
经历探究全等三角形判定的过程，进一步体会由操作、归纳获得数学规律的过程．
【情感态度与价值观】
1．通过尺规作图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神．
2．培养良好的几何推理意识，发展数学思维，感悟全等三角形的应用．
二、重难点目标
【教学重点】
已知两角一边的三角形全等的探究．
【教学难点】
灵活运用三角形全等条件证明三角形全等．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P39～P41的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)．
2．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)．
3．能确定△ABC≌△DEF的条件是( D )
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
4．如图所示，已知点F、E分别在AB、AC上，且AE＝AF，请你补充一个条件：∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACF.(只需填写一种情况即可)
教师点拨：此题答案不唯一，还可以填AB＝AC或∠AEB＝∠AFC.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.
【互动探索】(引发学生思考)如果∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC，就可用“SAS”证△ADF≌△CBE.由已知中的平行线段，可得∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC.
【证明】∵AD∥BC，BE∥DF，
∴∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC.
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在△ADF和△CBE中，∵
∴△ADF≌△CBE(ASA)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边，且“边”必须是“两角的夹边”，而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分．
【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.
【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证△ADC≌△BDF，只需证∠DAC＝∠DBF即可．又在Rt△ADC与Rt△BDF中，利用“等角的余角相等”即可得∠DAC＝∠DBF.
【证明】∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.
∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AFE＝90°，∠BFD＋∠DBF＝90°，
∴∠DAC＝∠DBF.
在△ADC和△BDF中，∵
∴△ADC≌△BDF(AAS)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)在解决三角形全等的问题中，要注意挖掘题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等．(2)有直角三角形就有互余的角，利用“同角(等角)的余角相等”是证角相等的常用方法．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．完成教材P41“练习”第1～2题．
略
2．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E.
证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠BDE.
在△ABC和△EDB中，∵
∴△ABC≌△EDB(SAS)，
∴∠A＝∠E.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
第4课时 斜边、直角边
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边(或HL)．
【过程与方法】
经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
【情感态度与价值观】
通过探究与交流解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性．
二、重难点目标
【教学重点】
直角三角形全等的判定方法的理解和应用．
【教学难点】
利用直角三角形全等的判定定理解决问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P41～P42的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．
2．判定两个直角三角形全等的方法有SSS、ASA、AAS、SAS、HL.(用简写字母)
3．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是( B )
A．AAS B．SAS
C．HL D．SSS
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.
【互动探索】(引发学生思考)可以通过证△ABC≌△ADC得到∠1＝∠2.结合已知条件，可以利用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△ADC.
【证明】∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC与△ACD均为直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴∠1＝∠2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)直角三角形除一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．
【例2】如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.
【互动探索】(引发学生思考)观察图形，不能直接通过证△AOD与△BOC得到结论，需作辅助线CD，用“HL”证明Rt△ADC≌Rt△BCD，即得AD＝BC.
【证明】连结CD.
∵AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A＝∠B＝90°.
在Rt△ADC与Rt△BCD中，∵
∴Rt△ADC≌Rt△BCD，
∴AD＝BC.
【互动总结】(学生总结，老师点评)观察图形，当不能直接通过全等证边(或角)相等时，可根据图形特点作辅助线或转化为证其他边(或角)相等．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是( B )
A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝7cm.
3．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF.
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴BC＝EF，
∴BC－BE＝EF－BE，即CE＝BF.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
【互动探索】要证BC＝BE，可以通过三角形全等解决，本题应该通过证明哪对三角形全等来解决呢？
【证明】∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADC＝∠AFE＝90°.
在Rt△ADC和Rt△AFE中，∵
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，
∴CD＝EF.
同理可证Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可以通过证明三角形全等解决，在一个问题中，有时我们需要多次证明全等来创造已知条件，从而得到结论．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
第1课时 边边边
一、基本目标
【知识与技能】
1．会运用“边边边”证明三角形全等．
2．会根据“边边边”作一个角等于已知角．
【过程与方法】
经历探索三角形全等条件的过程，体验由操作、归纳得出结论的过程．
【情感态度与价值观】
通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质以及发现问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握两个三角形全等的判定条件——“边边边”．
【教学难点】
探索三角形全等的条件的过程．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P35～P37的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)．
2．在△ABC、△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC≌△DEF.
3．已知AB＝3，BC＝4，CA＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝6.
4．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是SSS.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
【例1】如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：△ABC≌△ADC.
【互动探索】(引发学生思考)要证△ABC≌△ADC，只需看这两个三角形的三边是否相等．
【证明】在△ABC与△ADC中，
∵
∴△ABC≌△ADC(SSS)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)注意运用“SSS”证三角形全等时的证明格式；在证明过程中善于挖掘“公共边”这个隐含条件．
【例2】如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.
【互动探索】(引发学生思考)已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“SSS”证明△ABC≌△DEF.
【证明】∵BE＝CF，
∴EC＋BE＝EC＋CF，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，∵
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后根据判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【例3】如图，AB＝AD，DC＝BC，∠B与∠D相等吗？为什么？
【互动探索】(引发学生思考)要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC构造三角形．
【解答】结论：∠B＝∠D.
理由如下：连结AC.
在△ADC和△ABC中，
∵
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠B＝∠D.
【互动总结】(学生总结，老师点评)要证∠B与∠D相等，可证这两个角所在的三角形全等，现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，线段AD与BC交于点O，且AC＝BD，AD＝BC，则下面的结论中不正确的是( C )
A．△ABC≌△BAD B．∠CAB＝∠DBA
C．OB＝OC D．∠C＝∠D
2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C作射线OC.由做法得△MOC≌△NOC的依据是SSS.
3．如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DE＝BF.
求证：(1)∠D＝∠B；
(2)AE∥CF.
证明：(1)在△ADE和△CBF中，∵
∴△ADE≌△CBF(SSS)，
∴∠D＝∠B.
(2)∵△ADE≌△CBF，
∴∠AED＝∠CFB.
∵∠AED＋∠AEO＝180°，∠CFB＋∠CFO＝180°，
∴∠AEO＝∠CFO，
∴AE∥CF.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
第2课时 边角边
一、基本目标
【知识与技能】
掌握三角形全等的“SAS”判定方法，并能进行简单的应用．
【过程与方法】
经历探究两个三角形全等的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程，进而培养学生有条理的分析、推理能力．
【情感态度与价值观】
通过探究活动，体会数学充满了探索和创造，提高学生的学习热情．
二、重难点目标
【教学重点】
应用“SAS”证明两个三角形全等．
【教学难点】
理解满足“SSA”的两个三角形不一定全等．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)．
2．有两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等．
3．如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB，根据“SAS”可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD＝CB.
4．如图，已知BD＝CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是∠ADC＝∠ADB.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.
【互动探索】(引发学生思考)由题意可知，如果∠A＝∠B就可证△AEF≌△BCD.由AE∥BC可得∠A＝∠B.
【证明】∵AE∥BC，
∴∠A＝∠B.
∵AD＝BF，
∴AF＝BD.
在△AEF和△BCD中，∵
∴△AEF≌△BCD(SAS)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等，则角必须是两边的夹角．
【例2】如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2.若∠1＝45°，求∠C的度数．
【互动探索】(引发学生思考)如果△ABC≌△FBE，就可以得出∠C＝∠BEF，从而由BC∥EF得到∠C＝∠BEF＝∠1，问题得解．
【解答】∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠FBE.
在△ABC和△FBE中，∵
∴△ABC≌△FBE(SAS)，
∴∠C＝∠BEF.
又∵BC∥EF，
∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；(2)学会挖掘题中的已知条件，如“公共边”“公共角”等．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件( A )
A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠C
C．∠D＝∠E D．∠BAE＝∠CAD
2．下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( C )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
3．如图，已知AB＝AD，若AC平分∠BAD，问AC是否平分∠BCD？为什么？
解：AC平分∠BAD.理由：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC.
在△ABC和△ADC中，
∵
∴△ABC≌ADC(SAS)，
∴∠ACB＝∠ACD，
∴AC平分∠BCD.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连结AE、CG.求证：
(1)AE＝CG；
(2)AE⊥CG.
【互动探索】观察图形，证明△ADE≌△CDG，就可以得出AE＝CG，再结合全等三角形的性质和正方形的性质即可证得AE⊥CG.
【证明】(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD＝CD，GD＝ED.
∵∠CDG＝90°＋∠ADG，∠ADE＝90°＋∠ADG，
∴∠CDG＝∠ADE.
在△ADE和△CDG中，∵
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE＝CG.
(2)设AE与DG相交于点M，AE与CG相交于点N.
在△GMN和△DME中，由(1)得∠CGD＝∠AED.
又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°，
∴∠CGD＋∠GMN＝90°，
∴∠GNM＝90°，
∴AE⊥CG.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是证得△ADE≌△CDG.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
第3课时 角边角与角角边
一、基本目标
【知识与技能】
掌握三角形全等的证明方法“ASA”和“AAS”，并能解决相应的实际问题．
【过程与方法】
经历探究全等三角形判定的过程，进一步体会由操作、归纳获得数学规律的过程．
【情感态度与价值观】
1．通过尺规作图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神．
2．培养良好的几何推理意识，发展数学思维，感悟全等三角形的应用．
二、重难点目标
【教学重点】
已知两角一边的三角形全等的探究．
【教学难点】
灵活运用三角形全等条件证明三角形全等．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P39～P41的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)．
2．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)．
3．能确定△ABC≌△DEF的条件是( D )
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
4．如图所示，已知点F、E分别在AB、AC上，且AE＝AF，请你补充一个条件：∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACF.(只需填写一种情况即可)
教师点拨：此题答案不唯一，还可以填AB＝AC或∠AEB＝∠AFC.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.
【互动探索】(引发学生思考)如果∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC，就可用“SAS”证△ADF≌△CBE.由已知中的平行线段，可得∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC.
【证明】∵AD∥BC，BE∥DF，
∴∠A＝∠C，∠DFA＝∠BEC.
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在△ADF和△CBE中，∵
∴△ADF≌△CBE(ASA)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边，且“边”必须是“两角的夹边”，而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分．
【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.
【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证△ADC≌△BDF，只需证∠DAC＝∠DBF即可．又在Rt△ADC与Rt△BDF中，利用“等角的余角相等”即可得∠DAC＝∠DBF.
【证明】∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.
∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AFE＝90°，∠BFD＋∠DBF＝90°，
∴∠DAC＝∠DBF.
在△ADC和△BDF中，∵
∴△ADC≌△BDF(AAS)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)在解决三角形全等的问题中，要注意挖掘题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等．(2)有直角三角形就有互余的角，利用“同角(等角)的余角相等”是证角相等的常用方法．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．完成教材P41“练习”第1～2题．
略
2．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E.
证明：∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠BDE.
在△ABC和△EDB中，∵
∴△ABC≌△EDB(SAS)，
∴∠A＝∠E.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
第4课时 斜边、直角边
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边(或HL)．
【过程与方法】
经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
【情感态度与价值观】
通过探究与交流解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性．
二、重难点目标
【教学重点】
直角三角形全等的判定方法的理解和应用．
【教学难点】
利用直角三角形全等的判定定理解决问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P41～P42的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．
2．判定两个直角三角形全等的方法有SSS、ASA、AAS、SAS、HL.(用简写字母)
3．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的依据是( B )
A．AAS B．SAS
C．HL D．SSS
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.
【互动探索】(引发学生思考)可以通过证△ABC≌△ADC得到∠1＝∠2.结合已知条件，可以利用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△ADC.
【证明】∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC与△ACD均为直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴∠1＝∠2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)直角三角形除一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．
【例2】如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.
【互动探索】(引发学生思考)观察图形，不能直接通过证△AOD与△BOC得到结论，需作辅助线CD，用“HL”证明Rt△ADC≌Rt△BCD，即得AD＝BC.
【证明】连结CD.
∵AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A＝∠B＝90°.
在Rt△ADC与Rt△BCD中，∵
∴Rt△ADC≌Rt△BCD，
∴AD＝BC.
【互动总结】(学生总结，老师点评)观察图形，当不能直接通过全等证边(或角)相等时，可根据图形特点作辅助线或转化为证其他边(或角)相等．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是( B )
A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝7cm.
3．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF.
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴BC＝EF，
∴BC－BE＝EF－BE，即CE＝BF.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
【互动探索】要证BC＝BE，可以通过三角形全等解决，本题应该通过证明哪对三角形全等来解决呢？
【证明】∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADC＝∠AFE＝90°.
在Rt△ADC和Rt△AFE中，∵
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，
∴CD＝EF.
同理可证Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可以通过证明三角形全等解决，在一个问题中，有时我们需要多次证明全等来创造已知条件，从而得到结论．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！