2021-2022学年度人教版八年级数学上册 12．3　角的平分线的性质（2课时）（教案）

12．3　角的平分线的性质
第1课时　角的平分线的性质
一、基本目标
【知识与技能】
1．初步掌握角的平分线的性质定理．
2．掌握用尺规作已知角的平分线的方法．
3．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．
【过程与方法】
在利用尺规作图时，让学生在动手操作的过程中深刻理解角平分线的画法及发现角平分线的性质．
【情感态度与价值观】
在探索角的平分线的画法和性质中培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心．
二、重难点目标
【教学重点】
1．利用尺规作已知角的平分线．
2．角平分线的性质的证明及运用．
【教学难点】
角平分线性质的应用．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P48～P49的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.
2．角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．它的题设是角的平分线上的点，结论是此点到角的两边的距离相等.
3．一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
4．已知：如图，∠AOB.
求作：∠AOB的平分线OC.
略
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．
【互动探索】(引发学生思考)明确尺规所作的射线AP是∠CAB的平分线．要求∠MAB，只需先求得∠CAB.
【解答】∵AB∥CD，
∴∠ACD＋∠CAB＝180°.
又∵∠ACD＝120°，
∴∠CAB＝60°.
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB＝∠CAB＝30°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的平分线是解题的关键．
【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，F在AC上，BD＝DF.求证：CF＝EB.
【互动探索】(引发学生思考)要求CF＝EB，需证Rt△DCF≌Rt△DEB，而由角平分线的性质可得DE＝DC，从而解决问题．
【证明】∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC.
在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵
∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)，
∴CF＝EB.
【互动总结】(学生总结，老师点评)角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝16，BD＝9，则点D到AB的距离是(　C　)
A．9 B．8
C．7 D．6
2．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点，DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为点E、F.求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求证：
(1)AM⊥DM；
(2)M为BC的中点．
【互动探索】(1)要证AM⊥DM，可转化为求∠AMD＝90°.由平行线中，同旁内角的角平分线相交成的角等于90°可得结论；(2)要证M为BC的中点，即证BM＝CM.由题意知，需作辅助线MN(如图)，利用角平分线的性质得出结论．
【证明】(1)∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°，
∴∠MAD＋∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.
(2)过点M作NM⊥AD交AD于点N.
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD.
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，即M为BC的中点．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在已知角的平分线的前提下，作角两边的垂线段是常用辅助线之一．角平线的性质是证线段相等的另一途径．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！
第2课时　角的平分线的判定
一、基本目标
【知识与技能】
理解角平分线的性质定理的逆定理(即判定定理)，能利用角平分线的判定定理解决实际问题．
【过程与方法】
经历探究角平分线的性质定理的逆定理的过程，进一步体验证明几何命题的步骤，能够灵活运用性质定理解决实际问题．
【情感态度与价值观】
在探究角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验．
二、重难点目标
【教学重点】
角的平分线的判定定理的证明及应用．
【教学难点】
角的平分线的判定定理的应用．
环节1　自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P50的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
2．(1)三角形的三条角平分线相交于一点，它到三边的距离相等.
(2)三角形内，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点.
3．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为30°.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】已知：如图，△ABC.
求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等．
作法：(提示)作三个内角平分线交于一点P，点P即为所求作的点．
【例2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D，求证：AD是∠BAC的平分线．
【互动探索】(引发学生思考)证明一条射线是角平分线常添加的辅助线是什么？
【证明】过点D分别作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.
∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，
∴DE＝DF.
同理DG＝DF，
∴DE＝DG，
∴点D在∠EAG的平分线上，
∴AD是∠BAC的平分线．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为点D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是(　A　)
A．∠1＝∠2　 B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2　 D．无法确定
2．如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BOC＝(　A　)
A．110° B．120°
C．130° D．140°
3．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线．”你认为小明的想法正确吗？请说明理由．
解：小明的想法正确．理由如下：
作PC⊥OB于点C，设另一把直尺与OA交于点D.
∵PC⊥OB，PD⊥OA，PD＝PC，
∴射线OP就是∠BOA的平分线．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？如何选？请作简要说明并画出图形．
【互动探索】△ABC的内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，那么本题只有一处站址吗？
【解答】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点P1满足条件．
如图，点P2是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P2作P2E⊥AB，P2D⊥BC，P2F⊥AC，
∴P2E＝P2F，P2F＝P2D，
∴P2E＝P2F＝P2D，
∴点P2到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点P2到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个，如图P2、P3、P4.
综上所述，到三条公路的距离相等的点有4个，故可供选择的地址有4处．
【互动总结】(学生总结，老师点评)由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，得三角形内角平分线的交点满足条件，然后利用角平分线的性质，证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，则可供选择的站址有4处．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课时对应练习！