镶嵌
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(共54张PPT)
镶 嵌
课题学习
双庙中学七（6）
2012年3月
好漂亮的地板!这是怎么铺设的 一点空隙也没有.
埃舍尔的作品——鸟分割的平面
用形状相同或不同的平面封闭图形把平面的一部分 既无缝隙, 又不重叠的 完全覆盖叫覆盖平面（平面镶嵌）。
什么是镶嵌
(一)提出问题
1)回想你家里地板的铺设情况,并说说是用什么
形状的地砖.地板铺成的
2)观看下面地板的拼合图案
3）由此你能想到：为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙
的地板呢
1）它们是何种正多边形拼成的？
2）围绕图中某一点的所有角的和是多少？
仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正
多边形能镶嵌成一个平面？
探究问题（一）
（1）用边长相同的正三角形能否镶嵌？
结论：用边长相同的正三角形可以镶嵌.
（2）用边长相同的正方形能否镶嵌？
结论：用边长相同的正方形可以镶嵌.
啊!拼不了啦,你能说说为什么吗
1
2
3
∠1+∠2+∠3=
（3）用边长相同的正五边形能否镶嵌？
（4）用边长相同的正六边形能否镶嵌？
结论：用边长相同的正六边形可以镶嵌.
收 集 整 理 数 据 正n边形 拼图 每个内角的度数 使用正多边形的个数k 结论
能镶嵌
能镶嵌
不能镶嵌
不能镶嵌
能镶嵌
K= 6
K= 4
K= 3
K= 4
K= 3
60°
90°
108°
108°
120°
n =3
n =6
n =4
n =5
分 析 数 据 正n边形 拼图 每个内角的度数
与360°的关系 结论
n=3
n=4
n=5
n=6
能镶嵌
不能镶嵌
不能镶嵌
能镶嵌
6×60°= 360°
4×90°= 360°
4×108°＞ 360°
3×120°= 360°
3×108°＜ 360°
能镶嵌
镶嵌平面图案需要什么条件？
1 . 拼接在同一个点的各个角的和恰 好等于360°.
2 .相邻的多边形有公共边.
想一想
正方形
正三角形
正六边形
你还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
1.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360° （或360°一定是这个多边形内角的整数倍）！.
2 .在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
你还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
1.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360° （或360°一定是这个多边形内角的整数倍）！.
2 .在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
用两种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面
探究问题（二）
2m+3n=12
m=3
n=2
m·60 +n·90 =360
。
。
。
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，
则有
∵ m,n 为正整数
∴解为
m+2 n=6
m=2
n=2
m=4
n=1
m·60 +n·120 =360
。
。
。
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六边形的角，
则有
∵ m,n 为正整数
∴解为
正方形和正八边形能否镶嵌
正三角形和正十二边形能否镶嵌
想
一
想
135°
135°
90°
150°
150°
60°
正八边形和正方形
正十二边形和正三角形
得出结论：
用两种正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）。
用三种正多边形镶嵌,哪些能
镶嵌成一个平面？
探究问题（三）
思考同一种任意三角形可否镶嵌成一个平面？
同一种任意四边形可否镶嵌成一个平面？
探究新知(四)
想一想
1）用一种普通的三角形形状的地砖
能镶嵌成一个平面图案吗
能，因为三角形三个内角的和为180°将三角形三个不同的内角绕一点可围成一个平角，六个内角可围成一个360°周角，因此，任意一种三角形能铺满平面。
2）用一种普通的四边形地砖能镶嵌
成一个平面图案吗？
能，因为四边形四个内角和为360°将四边形四个内角
绕一点可围成一个周角，
因此，任意一种四边形能铺满平面。
如果用两种正多边形进行镶嵌需要满足什么条件？
小颖家正在为新房子装修，在他的房间里，他想用正三角形和另一种正多边形镶嵌成地板，他有哪些选择？你能帮他出出注意吗？
正多边形 拼 图
和
它们的内角度
和360°的关系：
和
它们的内角度
和360°的关系：
正多边形 拼 图
和
和
3×60°+ 2 ×90°= 360°
3×60°+2 ×90°=360°
4×60°+1 ×120°=360°
正三角形
正四边形
正三角形
正六角形
归 纳
2 .任意三角形一定可以镶嵌. 任意四 边形一定可以镶嵌．在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
1 .平面镶嵌的条件是：拼接在同一个点的各个角的和等于360度 ．
3 .正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正八边形和正方形、正十二边形和正三角形能镶嵌.
收获与启示
用一种正多边形镶嵌的规律：正多边形的内角是360°的约数（或360°是这个正多边形的整数倍）！
用多种正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）
任意三角形一定可以镶嵌.任意四边形一定可以镶嵌．
在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
1. 用一种正多边形镶嵌，哪些可以，分别是哪些正多边形？
2. 你能找到用两种正多边形镶嵌，还有哪些吗？请你设计一个用两个正多边形镶嵌的图形。
课后作业：
镶 嵌
课题学习
双庙中学七（6）
2012年3月
好漂亮的地板!这是怎么铺设的 一点空隙也没有.
埃舍尔的作品——鸟分割的平面
用形状相同或不同的平面封闭图形把平面的一部分 既无缝隙, 又不重叠的 完全覆盖叫覆盖平面（平面镶嵌）。
什么是镶嵌
(一)提出问题
1)回想你家里地板的铺设情况,并说说是用什么
形状的地砖.地板铺成的
2)观看下面地板的拼合图案
3）由此你能想到：为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙
的地板呢
1）它们是何种正多边形拼成的？
2）围绕图中某一点的所有角的和是多少？
仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正
多边形能镶嵌成一个平面？
探究问题（一）
（1）用边长相同的正三角形能否镶嵌？
结论：用边长相同的正三角形可以镶嵌.
（2）用边长相同的正方形能否镶嵌？
结论：用边长相同的正方形可以镶嵌.
啊!拼不了啦,你能说说为什么吗
1
2
3
∠1+∠2+∠3=
（3）用边长相同的正五边形能否镶嵌？
（4）用边长相同的正六边形能否镶嵌？
结论：用边长相同的正六边形可以镶嵌.
收 集 整 理 数 据 正n边形 拼图 每个内角的度数 使用正多边形的个数k 结论
能镶嵌
能镶嵌
不能镶嵌
不能镶嵌
能镶嵌
K= 6
K= 4
K= 3
K= 4
K= 3
60°
90°
108°
108°
120°
n =3
n =6
n =4
n =5
分 析 数 据 正n边形 拼图 每个内角的度数
与360°的关系 结论
n=3
n=4
n=5
n=6
能镶嵌
不能镶嵌
不能镶嵌
能镶嵌
6×60°= 360°
4×90°= 360°
4×108°＞ 360°
3×120°= 360°
3×108°＜ 360°
能镶嵌
镶嵌平面图案需要什么条件？
1 . 拼接在同一个点的各个角的和恰 好等于360°.
2 .相邻的多边形有公共边.
想一想
正方形
正三角形
正六边形
你还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
1.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360° （或360°一定是这个多边形内角的整数倍）！.
2 .在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
你还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
1.要用正多边形镶嵌成一个平面的关键：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360° （或360°一定是这个多边形内角的整数倍）！.
2 .在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
用两种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面
探究问题（二）
2m+3n=12
m=3
n=2
m·60 +n·90 =360
。
。
。
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，
则有
∵ m,n 为正整数
∴解为
m+2 n=6
m=2
n=2
m=4
n=1
m·60 +n·120 =360
。
。
。
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六边形的角，
则有
∵ m,n 为正整数
∴解为
正方形和正八边形能否镶嵌
正三角形和正十二边形能否镶嵌
想
一
想
135°
135°
90°
150°
150°
60°
正八边形和正方形
正十二边形和正三角形
得出结论：
用两种正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）。
用三种正多边形镶嵌,哪些能
镶嵌成一个平面？
探究问题（三）
思考同一种任意三角形可否镶嵌成一个平面？
同一种任意四边形可否镶嵌成一个平面？
探究新知(四)
想一想
1）用一种普通的三角形形状的地砖
能镶嵌成一个平面图案吗
能，因为三角形三个内角的和为180°将三角形三个不同的内角绕一点可围成一个平角，六个内角可围成一个360°周角，因此，任意一种三角形能铺满平面。
2）用一种普通的四边形地砖能镶嵌
成一个平面图案吗？
能，因为四边形四个内角和为360°将四边形四个内角
绕一点可围成一个周角，
因此，任意一种四边形能铺满平面。
如果用两种正多边形进行镶嵌需要满足什么条件？
小颖家正在为新房子装修，在他的房间里，他想用正三角形和另一种正多边形镶嵌成地板，他有哪些选择？你能帮他出出注意吗？
正多边形 拼 图
和
它们的内角度
和360°的关系：
和
它们的内角度
和360°的关系：
正多边形 拼 图
和
和
3×60°+ 2 ×90°= 360°
3×60°+2 ×90°=360°
4×60°+1 ×120°=360°
正三角形
正四边形
正三角形
正六角形
归 纳
2 .任意三角形一定可以镶嵌. 任意四 边形一定可以镶嵌．在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
1 .平面镶嵌的条件是：拼接在同一个点的各个角的和等于360度 ．
3 .正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正八边形和正方形、正十二边形和正三角形能镶嵌.
收获与启示
用一种正多边形镶嵌的规律：正多边形的内角是360°的约数（或360°是这个正多边形的整数倍）！
用多种正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）
任意三角形一定可以镶嵌.任意四边形一定可以镶嵌．
在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
1. 用一种正多边形镶嵌，哪些可以，分别是哪些正多边形？
2. 你能找到用两种正多边形镶嵌，还有哪些吗？请你设计一个用两个正多边形镶嵌的图形。
课后作业：