2021-2022学年度人教版七年级数学上册教案 3.4实际问题与一元一次方程（含2课时）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年度人教版七年级数学上册教案 3.4实际问题与一元一次方程（含2课时） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 166.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-06 10:10:26 | ||
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文档简介
3.4 实际问题与一元一次方程
第1课时 实际问题与一元一次方程(1)
一、基本目标
【知识与技能】
1．进一步熟悉一元一次方程的解法．
2．会用一元一次方程解决配套问题和工程问题．
【过程与方法】
通过列方程解决实际问题，让学生逐步建立方程思想．
【情感态度与价值观】
让学生在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学好数学的信心．
二、重难点目标
【教学重点】
将实际问题抽象为数学问题，列方程解应用题．
【教学难点】
配套问题和工程问题中的等量关系．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P100～P101的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．配套问题：若m件A产品与n件B产品配套，其等量关系是“A产品的数量×n＝B产品的数量×m”．
2．教材第100页“问题”：
设应安排x名工人生产螺母，(22－x)名工人生产螺钉．根据螺母数量与螺钉数量的2倍，列出方程2000x＝2×1200(22－x)．去括号，得2000x＝52 800－2400x.移项、合并同类项，得4400x＝52 800.系数化为1，得x＝12.则生产螺钉的人数为22－12＝10.即应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母．
3．工程问题：常用的数量关系是：工作总量＝工作效率×工作时间，各部分的工作量总和等于1.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？
【互动探索】(引发学生思考)可设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为(42－x)人，根据“两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶”可列出关于x的方程，求解即可．
【解答】设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为(42－x)人．
根据题意，得120x＝2×80(42－x)．
解得x＝24
则42－x＝18.
即生产圆形铁片的工人为24人，生产长方形铁片的工人为18人时，才能使生产的铁片恰好配套．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，难度一般．
【例2】某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．
【互动探索】(引发学生思考)设甲队整治了x天，则乙队整治了(20－x)天．由两个工程队一共整治了360 m建立方程，求出其解即可．
【解答】设甲工程队整治了x天，则乙工程队整治了(20－x)天．由题意，得
24x＋16(20－x)＝360.
解得x＝5.
则乙队整治了20－5＝15(天)．
所以甲队整治的河道长为24×5＝120(m)；
乙队整治的河道长为16×15＝240(m)．
即甲、乙两个工程队分别整治了120 m,240 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是一道工程问题，考查了列一元一次方程解实际问题的运用．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做50天完成，甲先单独做4天，然后两人合做，x天完成这项工程，则可列的方程是( D )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＋＝1
2．服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3 m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，仓库内存有这样的布料600 m，应分别用多少布料做上衣，多少布料做裤子才能恰好配套？
解：设做上衣的布料用x m，则做裤子的布料用(600－x) m．由题意知
×2＝×3.
解得x＝360,600－x＝240.
即用360 m做上衣，240 m做裤子．
3．一本稿件，甲打字员单独打20小时可以完成，甲、乙两打字员合打，12小时可以完成，现在由两人合打7小时，余下部分由乙完成，还需多少小时？
解：设还需x小时，由题意，得
×7＋x＝1.解得x＝12.5.
即还需12.5小时．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】整理一批图书，由1人做160小时完成，先由一些人做4小时，再增加5人做6小时，完成这项工作的，则先安排了多少人做4小时？(假设这些人的工作效率都相同)
【互动探索】首先设先安排了x人整理图书，根据题意，得等量关系：先安排的人4小时的工作量＋增加5人后6小时的工作量＝，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】设先安排x人做4小时．根据题意，得
＋＝.
去分母、去括号，得
4x＋6x＋30＝120.
移项、合并同类项，得10x＝90.
系数化为1，得x＝9.
即先安排了9人做4小时．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出各部分的工作量，再根据“先做4小时完成的工作量＋增加5人后6小时完成的工作量＝工作总量×”列出方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课对应训练！
第2课时 实际问题与一元一次方程(2)
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润、打折数、利润率这些基本量的关系．
2．会解决球赛中的积分问题及电话计费问题．
3．会根据实际问题中的数量关系列方程解决问题，掌握用方程解决一些生活中的实际问题的技巧．
【过程与方法】
通过列方程解决实际问题，让学生逐步建立方程思想．
【情感态度与价值观】
让学生在问题情境中感受到数学与生活的密切联系，提高对数学的兴趣．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握用方程解决盈亏问题、比赛积分问题、电话计费问题．
【教学难点】
根据问题背景，建立适当的数学模型．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P102～P105的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．销售问题．
(1)销售中盈亏问题中基本的量：①成本价：有时也称进价，是商家进货时的价格；②标价：商家在出售时，标注的价格；③售价：消费者购买时真正花的钱数；④商品利润＝商品售价－商品成本价；⑤利润率：商品出售后利润与成本的比值．
(2)销售问题中的几个等量关系：①售价＝进价×(1＋利润率)；②利润与售价、进价的关系：利润＝售价－进价；③利润率与利润、进价的关系：利润率＝×100%＝×100%；④标价、实际售价与打折数的关系：实际售价＝标价×打折数；⑤实际售价与进价、利润之间的关系：利润＝实际售价－进价＝标价×打折数－进价．
2．比赛积分问题．
比赛总场数＝胜场总数＋平场总数＋负场总数；比赛总积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分。
3．方案设计问题．
在生活中，做一件事情往往有多种方案，这就是设计最优方案问题．选择最优方案就要把每一种方案的结果都算出来，通过比较，确定最优方案．
解决方案设计问题的一般步骤：(1)运用一元一次方程解应用题的方法，求解使不同设计方案的值相等的情况；(2)用特殊值试探法选择方案，取小于(或大于)一元一次方程的解的值，比较两种方案的优劣后，再下结论．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】见教材P102探究1.
【例2】见教材P103～104探究2.
【例3】见教材第P104～105探究3.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．“水是生命之源”，某市自来水供应公司为鼓励企业节约用水，按下表规定收取水费，某企业十二月份共缴水费128元，则十二月份用水( B )
用水量 单价(元/吨)
不超过40吨的部分 1.8
超过40吨的部分 2.2
另：每吨用水加收0.2元的城市污水处理费
A.55吨 B．60吨
C．65吨 D．70吨
2．某人向北京打电话，通话3分钟以内话费为2元，超出3分钟部分按每分钟1.2元收费(不足1分钟按1分钟计)，若某人付了8元话费，则此次通话平均每分钟花费( A )
A．1元 B．1.1元
C．1.2元 D．1.3元
3．五一期间，某区一中、二中组织100名优秀教师去某景区旅游(其中一中教师多于二中教师)，景区门票价格规定如下表：
一次性购票人数 1～49人 50～99人 100人及以上
每人门票价格 50元 45元 40元
若两校都以校为单位一次性购票，则两校一共需付4725元，求两校各有多少名优秀教师参加这次旅游．若两校联合起来，作为一个团体购票，能节约多少钱？
解：设一中优秀教师有x人，则二中优秀教师有(100－x)人．由题意，得
45x＋50(100－x)＝4725.
解得x＝55.
则100－x＝45,4725－40×100＝725(元)．
即一中、二中分别有55名、45名优秀教师参加这次旅游．若两校联合起来，作为一个团体购票，能节约725元钱．
4．某足球协会举办了一次足球赛，其计分规则及奖励方案(每人)如下表：
胜一场 平一场
积分 3 1
奖励 1500元/人 700元/人
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队(11名队员)共积分20分，并且没有负一场．
(1)试判断A队胜、平各几场；
(2)若每赛一场每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少元？
解：(1)设A队胜了x场，则平了(12－x)场．
根据题意，得3x＋1×(12－x)＝20.
解得x＝4.
所以12－x＝12－4＝8.
即A队胜4场，平8场．
(2)500×12＋1500×4＋700×8＝17 600(元)．
即A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是17 600元．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】七(1)班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，而且定价也都相同．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不小于5盒)．
(1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠方案付款一样？
(2)当分别购买15盒、30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？
【互动探索】(1)设该班购买乒乓球x盒，根据付款一样列方程求解．
(2)根据各商店优惠方案分别计算出所需款数，再确定去哪家商店购买合算．
【解答】(1)设购买x盒乒乓球时，两种优惠方案付款一样．根据题意，得
30×5＋(x－5)×5＝(30×5＋5x)×0.9.
解得x＝20.
即购买20盒乒乓球时，两种优惠方案付款一样．
(2)当购买15盒时，甲店需付款30×5＋(15－5)×5＝200(元)，
乙店需付款(30×5＋15×5)×0.9＝202.5(元)．
因为200＜202.5，
所以购买15盒乒乓球时，去甲店较合算．
当购买30盒时，甲店需付款30×5＋(30－5)×5＝275(元)，
乙店需付款(30×5＋30×5)×0.9＝270(元)．
因为275＞270，
所以购买30盒乒乓球时，去乙店较合算．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查的是一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解两家商店的优惠方案，并分别用代数式表示甲、乙店购买的费用．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．销售中的盈亏问题，要掌握以下关系式：(1)利润＝售价－进价；(2)利润率＝×100%；(3)售价＝进价×(1＋利润率)；(4)打几折就是按原价的百分之几十销售．
2．积分多少与比赛的胜、负场次、积分规则有关，弄清实际问题中所包含的数学问题是解题关键．
3．用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．
请完成本课对应训练！
第1课时 实际问题与一元一次方程(1)
一、基本目标
【知识与技能】
1．进一步熟悉一元一次方程的解法．
2．会用一元一次方程解决配套问题和工程问题．
【过程与方法】
通过列方程解决实际问题，让学生逐步建立方程思想．
【情感态度与价值观】
让学生在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学好数学的信心．
二、重难点目标
【教学重点】
将实际问题抽象为数学问题，列方程解应用题．
【教学难点】
配套问题和工程问题中的等量关系．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P100～P101的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．配套问题：若m件A产品与n件B产品配套，其等量关系是“A产品的数量×n＝B产品的数量×m”．
2．教材第100页“问题”：
设应安排x名工人生产螺母，(22－x)名工人生产螺钉．根据螺母数量与螺钉数量的2倍，列出方程2000x＝2×1200(22－x)．去括号，得2000x＝52 800－2400x.移项、合并同类项，得4400x＝52 800.系数化为1，得x＝12.则生产螺钉的人数为22－12＝10.即应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母．
3．工程问题：常用的数量关系是：工作总量＝工作效率×工作时间，各部分的工作量总和等于1.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？
【互动探索】(引发学生思考)可设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为(42－x)人，根据“两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶”可列出关于x的方程，求解即可．
【解答】设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为(42－x)人．
根据题意，得120x＝2×80(42－x)．
解得x＝24
则42－x＝18.
即生产圆形铁片的工人为24人，生产长方形铁片的工人为18人时，才能使生产的铁片恰好配套．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，难度一般．
【例2】某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m，乙工程队每天整治16 m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．
【互动探索】(引发学生思考)设甲队整治了x天，则乙队整治了(20－x)天．由两个工程队一共整治了360 m建立方程，求出其解即可．
【解答】设甲工程队整治了x天，则乙工程队整治了(20－x)天．由题意，得
24x＋16(20－x)＝360.
解得x＝5.
则乙队整治了20－5＝15(天)．
所以甲队整治的河道长为24×5＝120(m)；
乙队整治的河道长为16×15＝240(m)．
即甲、乙两个工程队分别整治了120 m,240 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是一道工程问题，考查了列一元一次方程解实际问题的运用．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做50天完成，甲先单独做4天，然后两人合做，x天完成这项工程，则可列的方程是( D )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＋＝1
2．服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3 m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，仓库内存有这样的布料600 m，应分别用多少布料做上衣，多少布料做裤子才能恰好配套？
解：设做上衣的布料用x m，则做裤子的布料用(600－x) m．由题意知
×2＝×3.
解得x＝360,600－x＝240.
即用360 m做上衣，240 m做裤子．
3．一本稿件，甲打字员单独打20小时可以完成，甲、乙两打字员合打，12小时可以完成，现在由两人合打7小时，余下部分由乙完成，还需多少小时？
解：设还需x小时，由题意，得
×7＋x＝1.解得x＝12.5.
即还需12.5小时．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】整理一批图书，由1人做160小时完成，先由一些人做4小时，再增加5人做6小时，完成这项工作的，则先安排了多少人做4小时？(假设这些人的工作效率都相同)
【互动探索】首先设先安排了x人整理图书，根据题意，得等量关系：先安排的人4小时的工作量＋增加5人后6小时的工作量＝，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】设先安排x人做4小时．根据题意，得
＋＝.
去分母、去括号，得
4x＋6x＋30＝120.
移项、合并同类项，得10x＝90.
系数化为1，得x＝9.
即先安排了9人做4小时．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出各部分的工作量，再根据“先做4小时完成的工作量＋增加5人后6小时完成的工作量＝工作总量×”列出方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
请完成本课对应训练！
第2课时 实际问题与一元一次方程(2)
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解商品销售中所涉及的进价、原价、售价、利润、打折数、利润率这些基本量的关系．
2．会解决球赛中的积分问题及电话计费问题．
3．会根据实际问题中的数量关系列方程解决问题，掌握用方程解决一些生活中的实际问题的技巧．
【过程与方法】
通过列方程解决实际问题，让学生逐步建立方程思想．
【情感态度与价值观】
让学生在问题情境中感受到数学与生活的密切联系，提高对数学的兴趣．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握用方程解决盈亏问题、比赛积分问题、电话计费问题．
【教学难点】
根据问题背景，建立适当的数学模型．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P102～P105的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．销售问题．
(1)销售中盈亏问题中基本的量：①成本价：有时也称进价，是商家进货时的价格；②标价：商家在出售时，标注的价格；③售价：消费者购买时真正花的钱数；④商品利润＝商品售价－商品成本价；⑤利润率：商品出售后利润与成本的比值．
(2)销售问题中的几个等量关系：①售价＝进价×(1＋利润率)；②利润与售价、进价的关系：利润＝售价－进价；③利润率与利润、进价的关系：利润率＝×100%＝×100%；④标价、实际售价与打折数的关系：实际售价＝标价×打折数；⑤实际售价与进价、利润之间的关系：利润＝实际售价－进价＝标价×打折数－进价．
2．比赛积分问题．
比赛总场数＝胜场总数＋平场总数＋负场总数；比赛总积分＝胜场积分＋平场积分＋负场积分。
3．方案设计问题．
在生活中，做一件事情往往有多种方案，这就是设计最优方案问题．选择最优方案就要把每一种方案的结果都算出来，通过比较，确定最优方案．
解决方案设计问题的一般步骤：(1)运用一元一次方程解应用题的方法，求解使不同设计方案的值相等的情况；(2)用特殊值试探法选择方案，取小于(或大于)一元一次方程的解的值，比较两种方案的优劣后，再下结论．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】见教材P102探究1.
【例2】见教材P103～104探究2.
【例3】见教材第P104～105探究3.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．“水是生命之源”，某市自来水供应公司为鼓励企业节约用水，按下表规定收取水费，某企业十二月份共缴水费128元，则十二月份用水( B )
用水量 单价(元/吨)
不超过40吨的部分 1.8
超过40吨的部分 2.2
另：每吨用水加收0.2元的城市污水处理费
A.55吨 B．60吨
C．65吨 D．70吨
2．某人向北京打电话，通话3分钟以内话费为2元，超出3分钟部分按每分钟1.2元收费(不足1分钟按1分钟计)，若某人付了8元话费，则此次通话平均每分钟花费( A )
A．1元 B．1.1元
C．1.2元 D．1.3元
3．五一期间，某区一中、二中组织100名优秀教师去某景区旅游(其中一中教师多于二中教师)，景区门票价格规定如下表：
一次性购票人数 1～49人 50～99人 100人及以上
每人门票价格 50元 45元 40元
若两校都以校为单位一次性购票，则两校一共需付4725元，求两校各有多少名优秀教师参加这次旅游．若两校联合起来，作为一个团体购票，能节约多少钱？
解：设一中优秀教师有x人，则二中优秀教师有(100－x)人．由题意，得
45x＋50(100－x)＝4725.
解得x＝55.
则100－x＝45,4725－40×100＝725(元)．
即一中、二中分别有55名、45名优秀教师参加这次旅游．若两校联合起来，作为一个团体购票，能节约725元钱．
4．某足球协会举办了一次足球赛，其计分规则及奖励方案(每人)如下表：
胜一场 平一场
积分 3 1
奖励 1500元/人 700元/人
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队(11名队员)共积分20分，并且没有负一场．
(1)试判断A队胜、平各几场；
(2)若每赛一场每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少元？
解：(1)设A队胜了x场，则平了(12－x)场．
根据题意，得3x＋1×(12－x)＝20.
解得x＝4.
所以12－x＝12－4＝8.
即A队胜4场，平8场．
(2)500×12＋1500×4＋700×8＝17 600(元)．
即A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是17 600元．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】七(1)班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，而且定价也都相同．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不小于5盒)．
(1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠方案付款一样？
(2)当分别购买15盒、30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？
【互动探索】(1)设该班购买乒乓球x盒，根据付款一样列方程求解．
(2)根据各商店优惠方案分别计算出所需款数，再确定去哪家商店购买合算．
【解答】(1)设购买x盒乒乓球时，两种优惠方案付款一样．根据题意，得
30×5＋(x－5)×5＝(30×5＋5x)×0.9.
解得x＝20.
即购买20盒乒乓球时，两种优惠方案付款一样．
(2)当购买15盒时，甲店需付款30×5＋(15－5)×5＝200(元)，
乙店需付款(30×5＋15×5)×0.9＝202.5(元)．
因为200＜202.5，
所以购买15盒乒乓球时，去甲店较合算．
当购买30盒时，甲店需付款30×5＋(30－5)×5＝275(元)，
乙店需付款(30×5＋30×5)×0.9＝270(元)．
因为275＞270，
所以购买30盒乒乓球时，去乙店较合算．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查的是一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解两家商店的优惠方案，并分别用代数式表示甲、乙店购买的费用．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．销售中的盈亏问题，要掌握以下关系式：(1)利润＝售价－进价；(2)利润率＝×100%；(3)售价＝进价×(1＋利润率)；(4)打几折就是按原价的百分之几十销售．
2．积分多少与比赛的胜、负场次、积分规则有关，弄清实际问题中所包含的数学问题是解题关键．
3．用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．
请完成本课对应训练！