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1.6利用三角形测高教学设计
课题 1.6利用三角形测高 单元 1 学科 数学 年级 九
学习 目标 1．经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程. 2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果． 3．能够设计方案测量物体的高度，综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题，提高解决问题的能力.
重点 经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.
难点 综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方案 问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？ 问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高度呢？ 今天让我们一起去探究学习如何利用三角函数测高.（板书：1.6 利用三角函数测高），学完本节内容相信大家就能轻松解决上面的问题了． 学生思考，想出解决问题的办法，并给出自己的答案. 通过创设情境，既复习巩固了三角形相似的内容，又极大地激发了学生学习兴趣，为下面的学习作铺垫，效果非常好.
讲授新课 活动一：测量倾斜角 （多媒体课件展示）测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成（如图）． 使用测倾器测量倾斜角的步骤如下: 1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线,铅垂线和度盘的0刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置. 2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数. 根据刚才测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗 说说你的理由（学生分组讨论后回答）. ∵∠3=30°，∠3+∠2=90°， ∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3=30° ∴目标M的仰角为30°（依据是同角的余角相等）. 也就是说，测倾器上铅垂线所示的度数就是物体仰角的度数． 下面我们来看看怎样利用测倾器测量物体的高度. 活动二：测量底部可以到达的物体的高度 所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离. 如何测量旗杆的高度？ 在现实生活中，我们可以直接在旗杆下来回行走，所以只需测量一次角度（如图中的α）就可以确定旗杆的高度. 1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE＝α． 2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l． 3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a,可求出MN的高度. 根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗 说说你的理由. 解：在Rt△MEC中，因为tanα=，所以ME=tana·EC＝l·tanα. 所以MN＝ME+EN＝l·tanα+a. 同学们能利用自角三角形的边角关系用测角仪和皮尺测出底部可以到达的物体的高度.但现实生活中，还存在有底部不可以到达的物体.它们的高度如何测量呢 活动三:测量底部不可以直接到达的物体的高度 所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离. 在黄浦江的另一端，你能否测量东方明珠的高度呢？ 在现实生活中，我们不可以直接从测点到达被测点的脚下，这时我们能利用两次测量仰角（图中α和β），再结合解三角形的知识来求出东方明珠的高度. 1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一条直线上),测得M的仰角∠MDE=β. 3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b. 提问：根据测量数据,你能求出物体MN的高度吗 说说你的理由. 学生根据测量数据,写出计算物体MN的高度过程： 解：∵在Rt△MDE中，ED=ME/tanβ 在Rt△MCE中，EC =ME/tanα ∴EC-ED=b ∴ ∴ ∴ 典例精析 例1、 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是5m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m). 学生动脑，动手操作，学会工具的使用。 学生思考、讨论、交流，寻求解决问题的思路和方法 同学们大胆讨论、交流寻求解决问题的方法，并尝试自己解决。 学生思考、讨论、交流，尝试自己解决问题 学生自主解答，老师给予订正. 通过演示如何使用测倾器并讲解注意事项，培养学生的使用工具的能力. 让学生先“热热身”进行简单的测量，初步掌握测量的步骤并推导出一般性的公式，为测量底部不可以直接到达的物体的高度做好铺垫. 这个活动的设计方案对于学生来说有一定的难度，所以，在教学中要给学生留有充分的讨论时间，不可急于求成，也可各组间穿插讨论；同时教师要深入小组内讨论，帮助有困难的小组.这个活动的设计方案不唯一，学生说的只要在理，就应该肯定和鼓励.教师还要关注学生是否积极参与，是否真正理解. 进一步培养学生运用所学，解决实际应用问题的意识. 通过例题的讲解，进一步培养了学生运用数形结合思想分析和解决问题的能力，帮助学生树立学好数学的信心.
课堂练习 1.如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点A处测得塔顶B处的仰角α=60°，在塔底C处测得点A的俯角β=45°，已知塔高60米，则山高CD等于( ) A.30（1+）米 B.30（-1）米 C.30 米 D.（30+1）米 2.在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°(tan 27°≈0.51)，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24 m，则旗杆的高度约为( ) A．24 m B．20 m C．16 m D．12 m 3．如图，建筑物C上有一杆AB，从与BC相距10 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为_____m.(结果取整数，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33) 4.如图，两建筑物的水平距离BC为18 m,从点A测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°，则建筑物CD的高度为______m.(结果保留根号) 5.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81） （1）求大楼与电视塔之间的距离AC； （2）求大楼的高度CD（精确到1米） 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识. 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §1.6利用三角函数测高活动一：测量倾斜角 活动二：测量底部可以到达的物体的高度 活动三：测量底部不可以到达的物体的高度 例1 解： 投 影 区学 生 活 动 区
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1.6利用三角函数测高
北师大版 九年级下册
复习旧知
1、解直角三角形，只有哪两种情况？
(1)已知两条边；
(2)已知一条边和一个锐角。
复习旧知
2、直角三角的边角关系：
b
A
B
C
a
┌
c
3、仰角、俯角：
铅垂线
仰角
俯角
水平线
视线
视线
情景导入
问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方案
问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？
问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高度呢？
今天让我们一起去探究学习如何利用三角函数测高， 学完本节内容相信大家就能轻松解决上面的问题了．
新知讲解
0
30
30
60
60
90
90
P
Q
度盘
铅锤
支杆
问题2：如何测量倾斜角？
测量倾斜角可以用测倾器，
----简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成.
问题1：如何测量长度？
测量长度可以用皮尺或卷尺，
新知讲解
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:
2. 转动度盘,使度盘的直径对准目标P,记下此时铅垂线所指的度数.
读数α就是目标的仰角,β就是目标的俯角.
把支架竖直插入地面,使支架的中心线、铅锤线
和度盘的0°刻度线重合, 这时度盘的顶线PQ在水平位置.
新知讲解
如何测量旗杆的高度？
A
C
M
N
E
α
在现实生活中，我们可以直接在旗杆下来回行走，所以只需测量一次角度（如图中的α）就可以确定旗杆的高度.
新知讲解
A
C
M
N
E
α
1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
3.量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度.
MN=ME+EN=l·tanα+a
典例精析
例1、如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是5m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m).
C
A
B
E
D
30°
M
解 如图，作EM垂直CD于M点,
∠DEM=30°,
根据题意，可知
CM=BE=1.4m
BC=EM=30m,
在Rt△DEM中，
DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m).
∴学校主楼的高度约为18.72m.
新知讲解
总结：与仰角(或俯角)有关的计算问题的解决方法：
首先弄清哪个角是仰角(或俯角)，再选择或构造恰当的直角三角形，将仰角或俯角置于这个三角形中，选择正确的三角函数，并借助计算器求出要求的量．
想一想
在黄浦江的另一端，你能否测量东方明珠的高度呢？
M
A
C
B
D
N
E
α
β
在现实生活中，我们不可以直接从测点到达被测点的脚下，这时我们能利用两次测量仰角（图中α和β），再结合解三角形的知识来求出东方明珠的高度.
新知讲解
∴MN= +a
1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.
2.在测点B处安置测倾器,测得M的仰角∠MDE=β.
3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及A,B之间的距离AB=b.
则CD=AB=CE－DE==b
∴ME=
归纳总结
(1)测倾器的使用
(2)误差的解决办法---用平均值
(3)到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？
A
C
M
E
N
A
C
M
E
N
D
B
练一练
小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°，如图所示．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100 m．请求出热气球离地面
的高度．(结果保留整数．
参考数据：sin 35°≈0.574，
cos 35°≈0.819，tan 35°≈0.700)
练一练
解：如图，作AD⊥BC于点D.由题意得∠ABD＝45°，
∠ACD＝35°，BC＝100 m.
设AD＝x m，则BD＝AD＝x m，CD＝ m.
∵BC＝CD－BD，
∴ －x＝100.
∴x≈233.
答：热气球离地面的高度约为233 m.
新知讲解
总结：从同一点看不同的位置，有两个视角，不同位置之间有距离，作垂线将两个视角都放在直角三角形中，利用不同位置之间的距离列方程来解决问题．
1.如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点A处测得塔顶B处的仰角α=60°，在塔底C处测得点A的俯角β=45°，已知塔高60米，则山高CD等于( )
A.30（1+）米 B.30（-1）米
C.30 米 D.（30+1）米
课堂练习
A
2.在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°(tan 27°≈0.51)，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24 m，则旗杆的高度约为( )
A．24 m B．20 m C．16 m D．12 m
D
课堂练习
3.如图，建筑物C上有一杆AB，从与BC相距10 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为_____m.(结果取整数，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
4.如图，两建筑物的水平距离BC为18 m,从点A测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°，则建筑物CD的高度为______m.(结果保留根号)
3
12
课堂练习
5.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；
（2）求大楼的高度CD（精确到1米）
解：（1）由题意，AC＝AB＝610（米）；
（2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝
故BE＝DE·tan 39°．因为CD＝AE，所以CD＝AB－DE·tan 39°＝610－610×tan 39°≈116（米）.
作业布置
课本习题1.7第1、2题
课堂小结
利用三角函数测高
测倾器的认识及使用
测量底部可以到达的物体的高度（一次测量仰角）
测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角）
利用解三角形的知识，求出物体的高度
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