初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.1 圆
一、单选题
1．（2020九上·温州期末）已知⊙O的半径为4cm.若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．与⊙O的位置关系无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=3,r=4,
∴d∴点P在⊙O内；
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系来判断，当d>r时点在圆外，当d=r时点在圆上，当d2．（2020九上·宜兴期中）在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆过点A（0,-4）,则点B（-2，3）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵以O为圆心的圆过点A（0，-4），
∴圆的半径r=4，
∵点B（-2，3），
∴OB= ＜4，
∴点B（-2，3）与⊙O的位置关系是在圆内，
故答案为：A.
【分析】分析已知条件，可用勾股定理求得OB的长，再根据点与圆的位置关系“点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：d＜r点在圆内，d=r点在圆上，d＞r点在圆外”可判断求解.
3．（2020九上·越城期中）如图所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，点A与点B的距离是2 cm.若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出圆的直径是（ ）
A．1 cm B．2 cm C．4 cm D． cm
【答案】C
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵AB=2cm，
∴圆的直径是4cm.
故答案为：C.
【分析】根据圆的概念：在一个平面内，线段AB绕它固定的一个端点A旋转一周，另一个端点B所形成的图形叫做圆，线段AB叫做半径，得出圆的半径为2cm，即可得出圆的直径是4cm.
4．（2020九上·南京期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【答案】D
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、完全重合的弧就是等弧，故原说法错误.
故答案为：D.
【分析】根据圆的基本性质可得：直径是最长的弦； 同圆中，所有的半径都相等 ； 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 ；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧,从而即可一一判断得出答案.
5．（2020九上·苏州期中）平面内有一点P到圆上最远的距离是 ，最近的距离是 ，则圆的半径是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P到⊙O的最近距离为2，最远距离为6，
则：当点在圆外时，则⊙O的直径为6 2＝4，半径是2；
当点在圆内时，则⊙O的直径是6＋2＝8，半径为4.
故答案为：C.
【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和.
6．（2020九上·沭阳月考）如图，已知矩形中ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，若以A为圆心、5cm长为半径画⊙A，则点C与⊙A的位置关系为( )
A．点C在⊙A上 B．点C在⊙A外 C．点C在⊙A内 D．无法判断
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB=3cm，BC=AD=4cm，
∴AC=5cm，
∴点C在⊙A上，
故答案为：A.
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC的长，进而得出点C与⊙A的位置关系.
7．（2020九上·江苏月考）矩形ABCD中，AB＝8， ，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）.
A．点B、C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD= =7，
PC= =9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,
故答案为：C.
【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP的长，利用勾股定理可得r=PD= =7，再根据点B、点C到点P的距离可判断，d＜r，点在圆内；d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外。
二、填空题
8．（2020九上·吴江期中）若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O （填“上”、“内部”或“外部”）
【答案】内部
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径r＝3，
∵OP＝2，
∵
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
9．（2020九上·南京期中）已知⊙O的半径是3，OP＝2 ，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O .
【答案】内部
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP＝2 ＜3，
∴点P在⊙O内部.
故答案为：内部.
【分析】点到圆心的距离为d，圆的半径为r，根据点和圆的位置关系，d＜r，点在圆内，d=r，点在圆上，d＞r，点在圆外判断即可.
10．（2020九上·南京期中）已知圆中最长的弦为6，则这个圆的半径为 .
【答案】3
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵圆中最长的弦为6，
∴⊙O的直径为6，
∴圆的半径为3.
故答案为：3.
【分析】根据圆的基本性质，最长的弦为直径可得结果.
11．（2020九上·温州月考）已知 的面积为 .若点 在 内，那么线段 的长度 的取值范围是 .
【答案】0【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆的面积公式 可以得到圆半径为： ，
所以由题意知线段OP的长度d的取值范围是：0故答案为：0【分析】由已知可以求得⊙O的半径，再根据点与原的位置可以得到d的取值范围.
12．（2020八上·北京期中）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值 ．
【答案】a-b
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值a-b．
故答案为：a-b．
【分析】根据圆外一点到圆的最大距离是过圆心的直线与圆相交的最远的点，到圆的最小距离是点与圆心的连线与圆相交的最近点求解即可．
13．（2020八上·上海期末）到点P的距离等于4cm的点的轨迹是 ．
【答案】以P为圆心4cm长为半径的圆
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．
故答案为：以P为圆心，以4cm为半径的圆．
【分析】根据到定点的距离等于定长的点都在圆上，反过来圆上各点到定点的距离等于定长，得出结论到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．
14．（2020九上·景县期末）已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，若以点A为圆心，2 cm长为半径作⊙A，则点D与⊙A的位置关系 。若以点A为圆心作⊙A，使得B、C、D三点中有且只有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是 。
【答案】点D在圆外；
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：（1）∵圆的半径为＜4
∴点D在圆外。
（2）根据题意可知，有且仅有一点在圆外时，此时该点为点C
连接AC，由勾股定理可得AC=5
∴半径的范围为4≤r＜5.
【分析】（1）根据圆的半径以及AD之间的距离即可判断；
（2）根据题意可知，在圆外的点为点C，求出AC的距离即可得到半径的取值范围。
三、解答题
15．⊙O的半径r＝10cm，圆心O到直线l的距离OD＝6cm，在直线l上有A、B、C三点，且AD＝6cm，BD＝8cm，CD＝5 cm，问：A、B、C三点与⊙O的位置关系各是怎样？
【答案】解：∵OA＝ ＝ ＝ (cm)＜r＝10cm，
OB＝ ＝ ＝10(cm)＝r，
OC＝ ＝ ＝ (cm)＞r＝10cm，
∴点A在⊙O内，点B在⊙O上，点C在⊙O外．
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】根据勾股定理求得OA、OB、OC的长，再通过点与圆心的距离和半径比较大小即可。
16．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．
【答案】解：⑴当d=4cm时，
∵d∴点P在圆内；
⑵当d=5cm时，
∵d=r，
∴点P在圆上；
⑶当d=6cm时，
∵d>r，
∴点P在圆外.
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）点P到圆心的距离<半径，点P在圆内。
（2）点P到圆心的距离=半径，点P在圆上。
（3）点P到圆心的距离>半径，点P在圆外。
17．如图，点B是线段AC上的一点，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，求证：半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长．
【答案】证明：∵半圆AB的长= 2π = πAB，半圆BC的长= 2π = πBC，半圆AC的长= 2π = πAC，
∴半圆AB的长+半圆BC的长= πAB+ πBC= π （AB+BC），
∵AB+BC=AC，
∴半圆AB的长+半圆BC的长= π AC，
∴半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长．
【知识点】圆的认识
【解析】【分析】
根据圆的周长公式可计算出半圆AB的长=πAB，半圆BC的长=πBC，半圆AC的长=πAC，则半圆AB的长+半圆BC的长=
π （AB+BC）=π AC，即半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长。
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一、单选题
1．（2020九上·温州期末）已知⊙O的半径为4cm.若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上
C．在⊙O外 D．与⊙O的位置关系无法确定
2．（2020九上·宜兴期中）在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆过点A（0,-4）,则点B（-2，3）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．无法确定
3．（2020九上·越城期中）如图所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，点A与点B的距离是2 cm.若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出圆的直径是（ ）
A．1 cm B．2 cm C．4 cm D． cm
4．（2020九上·南京期中）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
5．（2020九上·苏州期中）平面内有一点P到圆上最远的距离是 ，最近的距离是 ，则圆的半径是（ ）
A． B． C． 或 D．
6．（2020九上·沭阳月考）如图，已知矩形中ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，若以A为圆心、5cm长为半径画⊙A，则点C与⊙A的位置关系为( )
A．点C在⊙A上 B．点C在⊙A外 C．点C在⊙A内 D．无法判断
7．（2020九上·江苏月考）矩形ABCD中，AB＝8， ，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）.
A．点B、C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内
二、填空题
8．（2020九上·吴江期中）若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O （填“上”、“内部”或“外部”）
9．（2020九上·南京期中）已知⊙O的半径是3，OP＝2 ，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O .
10．（2020九上·南京期中）已知圆中最长的弦为6，则这个圆的半径为 .
11．（2020九上·温州月考）已知 的面积为 .若点 在 内，那么线段 的长度 的取值范围是 .
12．（2020八上·北京期中）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值 ．
13．（2020八上·上海期末）到点P的距离等于4cm的点的轨迹是 ．
14．（2020九上·景县期末）已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，若以点A为圆心，2 cm长为半径作⊙A，则点D与⊙A的位置关系 。若以点A为圆心作⊙A，使得B、C、D三点中有且只有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是 。
三、解答题
15．⊙O的半径r＝10cm，圆心O到直线l的距离OD＝6cm，在直线l上有A、B、C三点，且AD＝6cm，BD＝8cm，CD＝5 cm，问：A、B、C三点与⊙O的位置关系各是怎样？
16．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．
17．如图，点B是线段AC上的一点，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，求证：半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=3,r=4,
∴d∴点P在⊙O内；
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系来判断，当d>r时点在圆外，当d=r时点在圆上，当d2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵以O为圆心的圆过点A（0，-4），
∴圆的半径r=4，
∵点B（-2，3），
∴OB= ＜4，
∴点B（-2，3）与⊙O的位置关系是在圆内，
故答案为：A.
【分析】分析已知条件，可用勾股定理求得OB的长，再根据点与圆的位置关系“点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：d＜r点在圆内，d=r点在圆上，d＞r点在圆外”可判断求解.
3．【答案】C
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵AB=2cm，
∴圆的直径是4cm.
故答案为：C.
【分析】根据圆的概念：在一个平面内，线段AB绕它固定的一个端点A旋转一周，另一个端点B所形成的图形叫做圆，线段AB叫做半径，得出圆的半径为2cm，即可得出圆的直径是4cm.
4．【答案】D
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、完全重合的弧就是等弧，故原说法错误.
故答案为：D.
【分析】根据圆的基本性质可得：直径是最长的弦； 同圆中，所有的半径都相等 ； 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 ；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧,从而即可一一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P到⊙O的最近距离为2，最远距离为6，
则：当点在圆外时，则⊙O的直径为6 2＝4，半径是2；
当点在圆内时，则⊙O的直径是6＋2＝8，半径为4.
故答案为：C.
【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和.
6．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB=3cm，BC=AD=4cm，
∴AC=5cm，
∴点C在⊙A上，
故答案为：A.
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC的长，进而得出点C与⊙A的位置关系.
7．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD= =7，
PC= =9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,
故答案为：C.
【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP的长，利用勾股定理可得r=PD= =7，再根据点B、点C到点P的距离可判断，d＜r，点在圆内；d=r，点在圆上；d＞r，点在圆外。
8．【答案】内部
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径r＝3，
∵OP＝2，
∵
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
9．【答案】内部
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP＝2 ＜3，
∴点P在⊙O内部.
故答案为：内部.
【分析】点到圆心的距离为d，圆的半径为r，根据点和圆的位置关系，d＜r，点在圆内，d=r，点在圆上，d＞r，点在圆外判断即可.
10．【答案】3
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵圆中最长的弦为6，
∴⊙O的直径为6，
∴圆的半径为3.
故答案为：3.
【分析】根据圆的基本性质，最长的弦为直径可得结果.
11．【答案】0【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆的面积公式 可以得到圆半径为： ，
所以由题意知线段OP的长度d的取值范围是：0故答案为：0【分析】由已知可以求得⊙O的半径，再根据点与原的位置可以得到d的取值范围.
12．【答案】a-b
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值a-b．
故答案为：a-b．
【分析】根据圆外一点到圆的最大距离是过圆心的直线与圆相交的最远的点，到圆的最小距离是点与圆心的连线与圆相交的最近点求解即可．
13．【答案】以P为圆心4cm长为半径的圆
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．
故答案为：以P为圆心，以4cm为半径的圆．
【分析】根据到定点的距离等于定长的点都在圆上，反过来圆上各点到定点的距离等于定长，得出结论到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．
14．【答案】点D在圆外；
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：（1）∵圆的半径为＜4
∴点D在圆外。
（2）根据题意可知，有且仅有一点在圆外时，此时该点为点C
连接AC，由勾股定理可得AC=5
∴半径的范围为4≤r＜5.
【分析】（1）根据圆的半径以及AD之间的距离即可判断；
（2）根据题意可知，在圆外的点为点C，求出AC的距离即可得到半径的取值范围。
15．【答案】解：∵OA＝ ＝ ＝ (cm)＜r＝10cm，
OB＝ ＝ ＝10(cm)＝r，
OC＝ ＝ ＝ (cm)＞r＝10cm，
∴点A在⊙O内，点B在⊙O上，点C在⊙O外．
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】根据勾股定理求得OA、OB、OC的长，再通过点与圆心的距离和半径比较大小即可。
16．【答案】解：⑴当d=4cm时，
∵d∴点P在圆内；
⑵当d=5cm时，
∵d=r，
∴点P在圆上；
⑶当d=6cm时，
∵d>r，
∴点P在圆外.
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）点P到圆心的距离<半径，点P在圆内。
（2）点P到圆心的距离=半径，点P在圆上。
（3）点P到圆心的距离>半径，点P在圆外。
17．【答案】证明：∵半圆AB的长= 2π = πAB，半圆BC的长= 2π = πBC，半圆AC的长= 2π = πAC，
∴半圆AB的长+半圆BC的长= πAB+ πBC= π （AB+BC），
∵AB+BC=AC，
∴半圆AB的长+半圆BC的长= π AC，
∴半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长．
【知识点】圆的认识
【解析】【分析】
根据圆的周长公式可计算出半圆AB的长=πAB，半圆BC的长=πBC，半圆AC的长=πAC，则半圆AB的长+半圆BC的长=
π （AB+BC）=π AC，即半圆AB的长与半圆BC的长之和等于半圆AC的长。
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