江西省抚州市黎川第一高级中学校2022届高三上学期第三次同步考试数学（理）试卷（Word版，含答案）

黎川第一高级中学校2022届高三第三次同步考试数学（理科）试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
1、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B.
C． D．
2．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数的实部为 B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数为 D．复数的模为
3. 下列关于函数说法中，正确的是（ ）
A. 函数是奇函数 B. 其图象关于直线对称
C. 其图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增
4．设 则（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
5． 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
6．已知记与夹角为，则为（　　）
A． B. C． D．
7．一个学习小组有7名同学，其中3名男生，4名女生．从这个小组中任意选出3名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前n项和．则使不等式成立的最小正整数n的值是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
9. 给出下列命题：
①若的三条边所在直线分别交平面于三点，则三点共线；
②若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线；
③若三条直线两两平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；
④对于三条直线，若，，则.
其中所有真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10．东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A点测得：塔在北偏东30°的点处，塔顶的仰角为30°，且点在北偏东60°．相距80（单位：），在点测得塔在北偏西60°，则塔的高度约为（ ）
A．69 B．40 C．35 D．23
11．已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，为椭圆上一点，若的面积是，则点的个数为（ ）
A．1 B． C． D．
12．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(x＜0)，g(x)＝ln x(x>0)，其中a∈R.若f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线与g(x)的图象在点B(x2，f(x2))处的切线重合，则a的取值范围为(　　)
A．(－1＋ln 2，＋∞) B．[－1－ln 2，＋∞)
C (，＋∞) D．[，＋∞)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．展开式中的系数为2016，则展开式中常数项为______.（用数字作答）
14．已知,若与夹角为钝角，则的取值范围是
15. 双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点(在第二象限，在第一象限)，，则双曲线的离心率为_________.
16．等腰三角形ABC的腰AB=AC=5, BC=6,将它沿高AD翻折，使二面角B-AD-C成60°，此时四面体ABCD外接球的体积为 .
三．解答题：本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
在①，②，
③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，满足______（填写序号即可）
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
19. （本小题满分12分）
水立方、国家体育馆、五棵松体育馆、首都体育馆、国家速滑馆是2022冬奥会的比赛场馆. 现有8名大学生报名参加冬奥会志愿者比赛场馆服务培训，其中1人在水立方培训，3人在国家体育馆培训，4人在五棵松体育馆培训.
（1）若从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，求所抽调的2人来自不同场馆的概率；
（2）若从中一次抽调3名大学生志愿者到首都体育馆培训，要求这3人中来自水立方的人数和来自国家体育馆的人数都不超过来自五棵松体育馆的人数. 设从五棵松抽出的人数为，求随机变量的概率分布列及数学期望.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆()的左、右焦点分别是，，点为的上顶点，点在上，，且.
（1）求的方程；
（2）已知过原点的直线与椭圆交于，两点，垂直于的直线过且与椭圆交于，两点，若，求.
21．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数a的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，设，求的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]
已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求的最小值．
答案
1-12 DCCAB DABCB CA
13. 14. 15. 4 16.π
12解析　f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线方程为
－＝·(x－x1)，
即y＝x－x＋a.
g(x)的图象在点B(x2，g(x2))处的切线方程为
y－ln x2＝·(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.
两切线重合的充要条件是
由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0,
由①②得a＝x＋ln x2－1＝x＋ln－1
＝x＋ln 2－ln(x1＋1)－1,
设h(t)＝t2＋ln 2－ln(t＋1)－1(－1＜t＜0)，
则h′(t)＝t－＝＜0，
所以h(t)(－1＜t＜0)为减函数，
则h(t)＞h(0)＝－1＋ln 2，
所以a＞－1＋ln 2，
而当t∈(－1,0)且t趋向于－1时，h(t)无限增大，
所以a的取值范围是(－1＋ln 2，＋∞)．
17.解：（1）若选①，由正弦定理得，
因为，所以，
又因为，所以
注：亦可用余弦定理、射影定理求解．
若选②，由正弦定理得，即，
由余弦定理得
又因为，所以
若选③，，
从而得，
又因为，所以
（2）由正弦定理得，
，
所以，
由是锐角三角形可得，得，则，
因为在上单调递增，所以，从而，
所以的取值范围为
18.【详解】（1）因为底面为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，
因为面，所以，
又因为是正三角形，是的中点，
所以，所以平面.
因为，所以平面；
（2）过在平面内作的垂线，知与，两两垂直，
以为坐标原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，
有，，，，，
设平面法向量为，
则，即，令，，，
所以；
设平面的法向量为，，，
则，即，
所以，令，可得，
所以；
设二面角的平面角为，
，
所以，所以，
所以二面角的正弦值为.
19.【详解】（1）、设“从中一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆，所抽调2人来自不同场馆”，在8名大学生一次抽调2名大学生志愿者到国家速滑馆培训，所有基本事件种情况. 若2人都来自国家体育馆有种情况，若2人都来自五棵松体育馆有种情况，所以抽调的2人来自不同场馆的概率.
（2）由题意的所有可能取值为.及来自五棵松体育馆的人数至少是1人，则满足题设条件的情况共有：种.
当时，只有一种情况水立方、国家体育馆、五棵松体育馆各抽1人，共种，此；
当时，水立方1人、五棵松体育馆2人或国家体育馆各1人，五棵松体育馆2人，共=24种，,
当时，3人都来自于五棵松体育馆，共种.
的分布列如下：
.
20．（本小题满分12分）
【解析】（1）设椭圆的焦距为，∵，
∴的坐标为.∵在上，
将代人，得.
又∵，∴，
∴.又∵，
∴，，的方程为.（5分）
（2）当直线的斜率不存在时，，，不符合题意；（6分）
当直线的斜率为0时，，，也不符合题意.
∴可设直线的方程为,
联立得，
则，.
.（9分）
由得或
∴.
又∵，∴，∴，
∴.∵到直线的距离，
∴.（12分）
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，
（ii）若，令得.
当时，；
当时，，
所以，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，单调递减区间为；
单调递增区间为.（5分）
（2）由（1）知：且.
又，∴，
由得，
∴.
令，∴，
∴，所以在上单调递减.
由y的取值范围是，得t的取值范围是，（10分）
∵，∴，
∴，
又∵，故实数a的取值范围是.（12分）
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
（1）由曲线C的参数方程得，
两式平方再相加可得曲线C的普通方程为；
直线l的极坐标方程可化为
∴直线l的直角坐标方程为 ………4分
（2）由（1）知：直线l的参数方程为代入整理得：
，而P（2，0），直线l与曲线C交于M，N两点，设，，即有
所以
………10分
23．[选修4—5：不等式选讲]
可化为：或或，
解得：或或，
所以，不等式的解集为 . ………5分
（2）因为. ………6分
所以的最小值为，即，
由柯西不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4. …10分