第三章圆拔高培优综合试题二2021-2022学年北师大版九年级数学下册（word版含答案）

北师大版九下 圆拔高培优综合试题一
一．选择题（共10小题）
1．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，则tan∠MFG的值是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，给出下列四个结论：①∠ACB＝90°；②△ABD是等腰直角三角形；③AD2＝DE CD；④AC+BC＝CD，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
3．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式计算．例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（　　）
A． B． C． D．2
4．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的个数有（　　）
①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PCB；⑤CF CP为定值．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，点A的坐标为（　　）
A．（﹣12，0） B．（﹣13，0） C．（±12，0） D．（±13，0）
6．如图，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（　　）
A．16 B．20 C．18 D．22
7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　　）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7° C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
8．有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝4，上面有一个以AD为直径的半圆，如图甲，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（　　）
A．π﹣2 B．π+ C．π﹣ D．
9．如图，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（　　）
A．1 B． C．3 D．2
10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．
二．填空题（共5小题）
1．如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为　 　．
2．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值＝　 　．
3．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝4，∠APB＝60°，点E在上，且CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是　 　．
4．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE＝9，则△ABC的面积为　 　．
5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，且BC＝2，P是线段OA中点，连接PC交⊙O于点D，过点P作PC的垂线，交切线BC于点E，交⊙O于点F，连接DF交AB于点G，则PE的长为　 　．
三．解答题（共5小题）
1．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）求证：△OAC∽△ECF；
（3）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求EC的长．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切于点A，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）求证：DE2＝EB EA；
（3）若BE＝1，，求线段AD的长度．
3．已知，如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上动点，E是△ABD外接圆⊙O上的点，且，连结DE，BE．
（1）求证：CD＝BE；
（2）如图2，当AE∥BC时．
①求证：AC是⊙O的切线； ②若AC＝15，BC＝18，求⊙O的半径．
4．如图1，点C在以AB为直径的⊙O上，P是AB延长线上一点，∠PCB＝∠PAC，过点C作CE⊥AB，垂足为D，交⊙O于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点D是PA的中点，求∠P的度数；
（3）如图2，过点B作BM∥PC交⊙O于点M，交CD于点N，连接AM．若tan∠P＝，CN＝5，求AM的长．
5．如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．
①求证：△OMP∽△ONC； ②若CM＝10，tan∠CMO＝2，求ON的长．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．B． 2．D． 3．B． 4．B． 5．D．
6．B． 7．B． 8．C． 9．D． 10．A．
二．填空题（共5小题）
1．　3　． 2．　　． 3．　　． 4．　81　． 5．　　．
三．解答题（共5小题）
1．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）求证：△OAC∽△ECF；
（3）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求EC的长．
【解答】（1）证明：∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵DE⊥AB，
∴∠OBC+∠DFB＝90°，
∵EF＝EC，
∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，
∴∠OCB+∠ECF＝90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，
∴∠BFD＝∠A，
∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，
∴△OAC∽△ECF；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OB＝5，
∴AB＝10，
∴AC＝＝＝6，
∵cos∠ABC＝，
∴，
∴BF＝5，
∴CF＝BC﹣BF＝3，
∵△OAC∽△ECF，
∴，
∴EC＝＝．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切于点A，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）求证：DE2＝EB EA；
（3）若BE＝1，，求线段AD的长度．
【解答】解：（1）∵BD∥OC，
∴∠DBO＝∠COA，∠ODB＝∠COD，
∵OB＝OD，
∴∠DBO＝∠ODB，
∴∠COA＝∠COD，
在△COA和△COD中，
，
∴△COA≌△COD（SAS），
∴∠CAO＝∠CDO，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAO＝90°＝∠CDO，
即OD⊥EC，
∵OD是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）∵EC是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
即∠EDB+∠ODB＝90°，
又∴AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
又∵∠ODB＝∠OBD，
∴∠EDB＝∠EAD，
又∵∠E＝∠E，
∴△EBD∽△EDA，
∴＝，
即DE2＝AE BE；
（3）∵∠ACO+∠COA＝90°，
∠BAD+∠OBD＝90°，
而∠OBD＝∠ODB＝∠COD＝∠COA，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACO，
由△EBD∽△EDA，
∴＝＝tan∠BAD＝，
∵BE＝1，
∴DE＝2，
由DE2＝AE BE得，
22＝1×AE，
∴AE＝4，
∴AB＝4﹣1＝3，
设BD＝a，则AD＝2a，由勾股定理得，
BD2+AD2＝AB2，
即a2+（2a）2＝32，
解得a＝，
∴AD＝2a＝．
2．已知，如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上动点，E是△ABD外接圆⊙O上的点，且，连结DE，BE．
（1）求证：CD＝BE；
（2）如图2，当AE∥BC时．
①求证：AC是⊙O的切线；
②若AC＝15，BC＝18，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵，
∴AD＝AE，∠ADE＝∠ABC＝∠AED，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，
即：∠EAB＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD；
（2）①证明：过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵O是△ADE的外接圆的圆心，
∴O是△ADE三边垂直平分线的交点，
∵AD＝AE，AG⊥DE，
∴AG垂直平分DE，
∴圆心O在AG上，
∵AE∥BC
∴弧AD＝弧EB，
∴BE＝AD，
∵BE＝CD，AE＝AD，
∴AE＝CD，
∴四边形ACBD为平行四边形，
∴AC∥DE，
∴AG⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
②过点A作AF⊥BC，连接OD，
在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，
∵AF⊥BC，AC＝15，BC＝18，
∴BF＝FC＝，
在Rt△AFC中，，
又∵四边形ACDE为平行四边形，
∴DC＝AE＝AD，AB＝AC＝15，
在Rt△ADF中，设AD＝x，则DF＝x﹣9，
∴AD2＝DF2+AF2，
即x2＝（x﹣9）2+12，
∴x＝．
∴AD＝CD＝AE＝，
又∵∠ABC＝∠ADE＝∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，
∴AG＝10，
∵DE＝AC＝15，
∴DG＝7.5，
在Rt△ODG和⊙O中，
∵OD2＝OG2+DG2，OA＝OD，OG＝AG﹣OA，
∴OD2＝（10﹣OD）2+7.52，
∴，
即△ADE外接圆⊙O半径为．
4．如图1，点C在以AB为直径的⊙O上，P是AB延长线上一点，∠PCB＝∠PAC，过点C作CE⊥AB，垂足为D，交⊙O于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点D是PA的中点，求∠P的度数；
（3）如图2，过点B作BM∥PC交⊙O于点M，交CD于点N，连接AM．若tan∠P＝，CN＝5，求AM的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠OCA+∠BCO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠PAC，
∴∠PAC+∠BCO＝90°，
∵∠PCB＝∠PAC，
∴∠PCB+∠BCO＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∵OC是圆的半径，
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：∵D是PA的中点，CE⊥AB，
∴AC＝CP，∠P＝∠PAC，
∵∠PCB＝∠PAC＝∠P，
∴∠ABC＝2∠PAC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠PAC+∠ABC＝90°，
∴3∠PAC＝90°，
∴∠P＝∠PAC＝30°．
（3）∵BM∥PC，
∴∠PCB＝∠CBM，
∵CE⊥AB，
∴，
∴∠BCE＝∠BAC，
∵∠PCB＝∠BAC，
∴∠BCE＝∠CBM，
∴CN＝BN＝5，
在Rt△DBN中，
∵BM∥PC，
∴∠DBN＝∠P，
∵tan∠DBN＝tan∠P＝，
∴DN：DB：BN＝3：4：5，
∵BN＝5，
∴DN＝3，BD＝4，
∴CD＝8，
在Rt△OCD中，设OC＝r，则r2﹣（r﹣4）2＝82，
解得r＝10，
∴AB＝2r＝20，
在Rt△ABM中，，
∴AM：AB＝3：5，
∴AM＝12．
5．如图1，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，C在⊙O上，连接CO，PC．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）如图2，M是线段PC上一点，若OM平分∠COP，OM与线段CE交于点N．
①求证：△OMP∽△ONC；
②若CM＝10，tan∠CMO＝2，求ON的长．
【解答】证明：（1）连接OD，如图1，
∵PD为⊙O切线，
∴∠ODP＝90°，
∵AB⊥CD，且AB为⊙O直径，
∴AB垂直平分CD，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
又∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCP＝∠OCD+∠PCD＝∠ODC+∠PDC＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线；
（2）①∵AB⊥CD，
∴∠CEP＝90°，
∴∠ECP+∠MPO＝90°，
又∠OCD+∠ECP＝90°，
∴∠MPO＝∠OCD，
又OM平分∠COP，
∴∠CON＝∠MOP，
∴△OMP∽△ONC；
（2）②∵∠CNM＝∠CON+∠OCN，
∠CMO＝∠CPO+∠MOP，
∴∠CNM＝∠CMN，
∴CM＝CN＝10，
过点C作CG⊥MN于G，
∵tan∠CMO＝2，
∴NG＝MG＝2，CG＝4，
在Rt△OCM中，由勾股定理得：OM＝，
∴ON＝OM﹣MN＝10。