第三章圆拔高培优综合试题一2020-2021学年北师大版九年级数学下册（word版含答案）

北师大版九下 圆拔高培优综合试题一
一．选择题（共10小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）
A．4 B． C． D．
2．如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（　　）
A．2周 B．3周 C．4周 D．5周
3．如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（　　）
A．0＜x≤ B．﹣≤x≤ C．﹣1≤x≤1 D．x＞
4．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣2，0） C．（﹣4，0）或（﹣2，0） D．（﹣3，0）
5．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（　　）
A．4cm B．3cm C．5cm D．cm
6．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出下列4个结论：①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切线；④．其中一定成立的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
8．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④当P为中点时，EC＝EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正确的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为上一点（点P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，的值始终等于．则下列说法正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
10．如图，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
二．填空题（共5小题）
1．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，DC上两点E，F，且EF是⊙O的切线，当△BEF的面积为时，则⊙O的半径r是　 　．
2．如图，在平面直角坐标系中，半径为3的⊙O与y轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上移动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别相交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　 　．
3．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　 　．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为 　 　，线段DH长度的最小值为 　 　．
5．矩形ABCD的边AB＝4，边AD上有一点M，连接BM，将MB绕M点逆时针旋转90°得MN，N恰好落在CD上，过M、D、N作⊙O，⊙O与BC相切，Q为⊙O上的动点，连BQ，P为BQ中点，连AP，则AP的最小值为　 　．
三．解答题（共5小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，CD的延长线交于点F，连接CG，DG．
（1）求证：∠DGF＝∠AGC．
（2）当ED＝DF，GF＝6，tanF＝时，求AC的长．
2．如图，以△BCG一边BC为直径作半圆交边BG，CG于A，D两点，连接AC，BD，O为圆心，连接AD并延长交BC的延长线于点F，已知∠G＝67.5°，．
（1）求∠ABC的度数；
（2）证明CF＝CA并直接写出的值；
（3）若四边形ABCD的面积为，求⊙O的半径．
3．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接AD并延长至点C，连接BC交⊙O于点E，AB＝BC＝10，AC＝12，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）连接DE，设△CDE的面积为S1，四边形ADEB的面积为S2，求的值；
（3）点P在上，且的长为，点Q为线段BD上一动点，连接PQ，求的最小值．
4．如图①，Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，经过顶点B，C作⊙O，分别交边AB，AC于点D，E，连接DE，DC．
（1）求证：AD＝ED．
（2）当AE＝4，CE＝2时，求⊙O的半径．
（3）设＝x，tan∠DCB＝y．
①求y关于x的函数表达式； ②如图②，连接OE，OD，若＝，求y的值．
5．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O切线；
（2）若AC＝8，sin∠CAB＝，求⊙O半径；
（3）若F是AB中点，求证：CE CF＝OE BC．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．B． 2．C． 3．A． 4．D． 5．A．
6．D． 7．D． 8．C． 9．A． 10．A．
二．填空题（共5小题）
1．　　． 2．　　． 3．　　． 4． 　﹣　． 5．　　．
三．解答题（共5小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，CD的延长线交于点F，连接CG，DG．
（1）求证：∠DGF＝∠AGC．
（2）当ED＝DF，GF＝6，tanF＝时，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ACDG是⊙O的内接四边形，
∴∠ACD+∠AGD＝180°，
∵∠AGD+∠DGF＝180°，
∴∠ACD＝∠DGF，
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴＝，
∴∠AGC＝∠ACD，
∴∠DGF＝∠AGC．
（2）∵∠DGF＝∠ACD，∠F＝∠F，
∴△FDG∽△FAC，
∴＝，
∴FD FC＝FG FA，
∵CD⊥AB，
∴tanF＝＝，
∵ED＝DF，
∴EF＝2DE，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴∠ACD＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴AC＝2CE，
设CE＝DE＝DF＝x，则AE＝x，AC＝2x，FC＝3x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得AF＝＝x，
∵FD FC＝FA FG，
∴x 3x＝6x，
解得x＝0（舍）或x＝2，
∴AC＝2x＝4．
2．如图，以△BCG一边BC为直径作半圆交边BG，CG于A，D两点，连接AC，BD，O为圆心，连接AD并延长交BC的延长线于点F，已知∠G＝67.5°，．
（1）求∠ABC的度数；
（2）证明CF＝CA并直接写出的值；
（3）若四边形ABCD的面积为，求⊙O的半径．
【解答】（1）解：∵BC是直径，
∴∠BDC＝∠BDG＝90°，
∵∠G＝67.5°，
∴∠GBD＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝45°．
（2）证明：∵BC是直径，
∴∠CAB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵∠CAD＝∠CBD＝22.5°∠ACB＝∠F+∠CAD，
∴∠F＝∠CAD＝22.5°，
∴CF＝CA，
设CF＝CA＝AB＝m，则BC＝m，BF＝m+m，
∴＝＝﹣1．
（3）解：如图，连接OD，过点D作DE⊥BG于点E，DF⊥BC于点F．
∵∠DBE＝∠DBF＝22.5°，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵＝，
∴AD＝CD，
∵∠DFC＝∠DEA＝90°，
∴Rt△DEA≌△DFC（HL），
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形ABCD＝S四边形DEBF，
∵DE＝DF，BD＝BD，∠BED＝∠BFD，
∴△BDE≌△BDF（HL），
∴S四边形ABCD＝2S△BDF，
设OD＝OB＝r，
∵∠ODB＝∠OBD＝22.5°，
∴∠DOF＝∠ODB+∠OBD＝45°，
∴∠FDO＝∠DOF＝45°，
∴DF＝OF＝r，
∵四边形ABCD的面积为，
∴2××（r+r）×r＝+1，
∴r＝（负根已经舍弃），
∴⊙O的半径为．
3．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接AD并延长至点C，连接BC交⊙O于点E，AB＝BC＝10，AC＝12，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）连接DE，设△CDE的面积为S1，四边形ADEB的面积为S2，求的值；
（3）点P在上，且的长为，点Q为线段BD上一动点，连接PQ，求的最小值．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AB＝BC，
∴∠OAD＝∠C．
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝BC，
∴AD＝DC＝6，
∵四边形ADEB是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE+∠ABE＝180°，
∵∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝，
∴；
（3）如图，过点Q作QG⊥AB于点G，
∵sin∠ABD＝，
∴QG＝BQ，
∴PQ+BQ＝PQ+QG，
∴当P，Q，G三点共线时，PQ+BQ有最小值为PG，
∵的弧长为π，
∴，
∴∠POB＝60°，
∴PG＝OP sin60°＝，
∴PQ+BQ的最小值为．
4．如图①，Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，经过顶点B，C作⊙O，分别交边AB，AC于点D，E，连接DE，DC．
（1）求证：AD＝ED．
（2）当AE＝4，CE＝2时，求⊙O的半径．
（3）设＝x，tan∠DCB＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图②，连接OE，OD，若＝，求y的值．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，且⊙O经过B、C、E，
∴直线BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠CBD+∠CED＝180°，
∵∠AED+∠CED＝180°，
∴∠AED＝∠CBD，
∵CA＝CB，
∴∠CAD＝∠CBA，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝ED．
（2）解：∵∠EDA＝∠ACB＝90°，∠DAE＝∠CBA＝45°，
∴△ADE∽△CAB，
∴AE＝4，AD＝DE，
∴AD＝DE＝＝2，CA＝AE+CE＝2+4＝6，且，
即，
∴AB＝6，
∴DB＝AB﹣AD＝4，
∴BE＝＝＝2，
∴⊙O的半径为．
（3）①∵tan∠DCB＝y，
∴，，
∴sin∠DCB＝ sin∠CBD＝，cos∠BCD＝，
∴tan∠DCB＝＝＝y，
设EC＝m，
∴AE＝mx，
∴BC＝m+mx＝m（1+x），BD＝BC﹣AD，AD＝AE，
∴BD＝m（1+x）﹣mx＝m（1+），
∴∠CED＝45°，
∴cos∠CED＝﹣＝，
∴CD2＝m2+m2x2+m2x，
∴y＝＝＝，
②设CE＝n，AE＝nx，
∴DE＝，AC＝n（1+x）＝BC，
∴S△ABC＝AC BC＝n2（1+x）2，BE＝＝＝n，
∴OE＝BE＝且△OED为等腰三角形，
∴O点到DE的距离为：＝＝n，
∴S△OED＝×nx n＝n2，
∵＝，
∴＝，
∵x＞0，
∴x＝3，
∴y＝＝．
5．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O切线；
（2）若AC＝8，sin∠CAB＝，求⊙O半径；
（3）若F是AB中点，求证：CE CF＝OE BC．
【解答】（1）证明：连OD，
在△AOC和△AOD中，
，
∴△AOC△AOD（SSS），
∴∠ACO＝∠ADO，
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ACO＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OC为半径，
∴AC是⊙O切线；
（2）解：连接OD，
设BC＝3x，则AB＝5x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴82+（3x）2＝（5x）2，
∴x＝2，
∴BC＝6，
设OD＝a，则OB＝6﹣a，
∵sin∠CAB＝，
∴sin∠OBD＝，
∴，
∴a＝，
∴OD＝，
∴⊙O半径为；
（3）证明：∵F为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴AF＝CF＝BF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠OEC＝∠FBC，
∴△OCE∽△FCB，
∴，
∴，
∴CE CF＝OE BC．