(共17张PPT)
直线的一般式方程
(一)填空
名称 已知条件 标准方程 适用范围
点斜式
斜截式
两点式
截距式
过点 与x轴垂直的直线可表示成 ，
过点 与y轴垂直的直线可表示成 。
（二）填空
1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是____________
2．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是___________
3．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是_________
思考1：以上三个方程是否都是二元一次方程
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
思考2：对于任意一个二元一次方程
（A，B不同时为零）
能否表示一条直线？
总结:
由上面讨论可知,
(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示,
(2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.
我们把关于x,y的二元一次方程
Ax+By+C=0 (A,B不同时为零)
叫做直线的一般式方程,简称一般式
1.直线的一般式方程
2.二元一次方程的系数和常数项对
直线的位置的影响
课本第98页，探究：在方程 中，
1.当 时，方程表示的直线与x轴平行；
2.当 时，方程表示的直线与x轴垂直;
3.当 时，方程表示的直线与x轴重合;
4.当 时，方程表示的直线与y轴重合；
5.当 时，方程表示的直线过原点.
探究：在方程 中，
1.当 时，方程表示的直线与x轴 ；
2.当 时，方程表示的直线与x轴垂直；
3.当 时，方程表示的直线与x轴______ ；
4.当 时，方程表示的直线与y轴重合 ；
5.当 时，方程表示的直线过原点.
平行
重合
3.一般式方程与其他形式方程的转化
（一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式转
化为一般式，把握直线方程一般式的特点
例1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：
3.在x轴,y轴上的截距分别是
3
2
,-3;
2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);
x
3
2
+
y
-3
=1
2x-y-3=0
注意：
对于直线方程的一般式，一般作如下约定：
按含x项、含y项、常数项顺序排列；
x项的系数为正；
x，y的系数和常数项一般不出现分数；
无特别说明时， 最好将所求直线方程的结果写成一般式。
（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知
直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法
例2 把直线 化成斜截式，求出直线的斜率以及它在y轴上的截距。
解：将直线的一般式方程化为斜截式： ，
它的斜率为： ，它在y轴上的截距是3
思考：若已知直线 ，求它在x轴上
的截距．
求直线的一般式方程
的斜率和截距的方法：
（1）直线的斜率
（2）直线在y轴上的截距b
令x=0，解出 值，则
(3) 直线与x轴的截距a
令y=0，解出 值，则
拓展训练题:
设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的截距都为零，当然相等，此 时a=2,方程为3x+y=0.
若 ，即l不过原点时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等，有 ，即 a+1=1, ∴a=0 , l 的方程为 x+y+2=0.
所以， l 的方程为3x+y=0 或 x+y+2=0
（2）将l的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴欲使l不经过第二象限，当且仅当
或 ，∴
综上所述，a的取值范围是 ．
P100 A组 第8题
P101 B组 第1题
布置作业(共18张PPT)
点到直线的距离
仓库
铁路
仓库
l
l
.
P
点到直线的距离
Q
P
y
x
o
l
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样求点P到直线l的距离呢
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
Q
Q
x
y
o
x=x1
P(x0,y0)
y
o
y=y1
(x0,y0)
x
P
(x0,y1)
(x1,y0)
点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______.
(2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______.
练习1
直线 的方程
直线 的斜率
直线 的方程
直线 的方程
交点
点 之间的距离 （ 到 的距离）
点 的坐标
直线 的斜率
点 的坐标
点 的坐标
两点间距离公式
x
y
O
思路简单运算繁琐
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点到直线的距离公式:
若直线不平行于坐标轴(即A ≠0且B≠0),由
可得它的斜率是
直线ＰＱ的方程是
即
与
联立，解得
x
y
点到直线的距离
当点P为原点（0，0）时，如何求直角三角形斜边上的高？
|PQ|×|RS|=|PS|×|PR|
等面积法：
思路二：间接法
x
y
O
面积法求出 |PQ|
求出点R的坐标
求出点S的坐标
求出 |PR|
求出|PS|
利用勾股定理求出|SR|
构造直角三角形
S
R
d
点到直线的距离
练习2
3、求点P0（-1，2）到直线 2x+y-10 = 0的距离.
1、求点A（-2，3）到直线 3x+3 = 0的距离.
2、求点B（-5，7）到直线 5y+3 = 0的距离.
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
点到直线的距离：
例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，
求三角形ABC的面积
解：设AB边上的高为h
AB的方程为
x
y
C (-1,0)
O
-1
1
2
2
3
3
1
B (3,1)
A (1,3)
化为一般式
还有其他方法吗？
例题分析
y
x
o
l2
l1
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
两条平行直线间的距离：
例7、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是
Q
P
1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______;
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____.
练习3
练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于
的直线方程 .
解:设所求直线的方程为y-2=k(x+1) 即 kx-y+2+k=0
由题意得
∴k2+8k+7=0
∴所求直线的方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.
2
-1
2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0
的距离公式是
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
小结(共12张PPT)
3.3.1 两条直线的交点坐标
1 .两条直线的交点坐标
思考：
几何元素及关系 代数表示
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
A(a,b)
l:Ax+By+C=0
点A
直线l
Aa+Bb+C=0
点A的坐标是方程组
的解
结论1：求两直线交点坐标方法-------联立方程组
例1：求下列两条直线的交点： l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:
l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
解：解方程组
3x+4y－2 =0
2x+y+2 = 0
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
解：解方程组
x－2y+2=0
2x－y－2=0
∴l1与l2的交点是（2，2）
设经过原点的直线方程为
y=k x
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为
x-y=0
x= －2
y=2
得
x= 2
y=2
得
x
y
M
-2
2
0
l1
l2
练习1：下列各对直线是否相交，如果相交，求出交点的坐标，否则试着说明两线的位置关系：
（1）l1:x-y=0, l2:x+3y-10=0;
（2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0;
（3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;
解:（１）x=5/2,y=5/2，两直线有交点（５／2，５／2）
（２）方程组无解，两直线无交点。
l1‖l2
（３）两方程可化成同一个方程，两直线有无数个交点。
l1与l2重合
2. 二元一次方程组的解与两条直线的位置关系
í
ì
í
ì
平行
重合
相交
无解
无穷多解
唯一解
2
1
2
1
2
1
,
,
,
l
l
l
l
l
l
=0时，方程为3x+4y-2=0
x
y
=1时，方程为5x+5y=0
l2
=-1时，方程为x+3y-4=0
0
l1
l3
上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线系（直线集合）
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0是过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
3.共点直线系方程：
回顾例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
解：设直线方程为x-2y+2+λ(2x-y-2)=0,
因为直线过原点(0，0)，将其代入上式可得：
λ=1
将λ=1 代入 x-2y+2+λ(2x-y-2)=0得：
3x-3y=0即x-y=0为所求直线方程。
练习2：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，
且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
解法一：解方程组
x+2y－1=0，
2x－y－7=0
得
x=3
y= －1
∴这两条直线的交点坐标为（3， － 1）
又∵直线x+3y－5=0的斜率是－1/3
∴所求直线的斜率是3
所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ(x+2y－1)=0中
经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0
∴ － ———— =3
2+λ
2λ－1
解得 λ= 1/7
因此，所求直线方程为3x－y－10=0
4.能力提升：
①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m
的值是
（A）0 （B）－24 （C）±6 （D）以上都不对
②若直线x－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象 限，则k的取值范围是
（A）（-∞，0） （B）（0，1]
（C）（0，1） （D）（1，＋∞）
③两直线x-y-1=0,3x+y-2=0与y轴所围成的三角形的面积为
（A）9/4 （B）9/8 （C）3/4 （D）3/8
④已知不论m取何实数值，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过一定点,则这点的坐标为
⑤当k为何值时,直线 y=kx+3过直线 2x-y+1=0与y= x+5的交点
⑥两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0,的交点在第四象限，则k的取值范围是_______
K=3/2A
两直线交点的求法---联立方程组。
两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。
共点直线系方程及其应用
í
ì
í
ì
平行
重合
相交
无解
无穷多解
唯一解
2
1
2
1
2
1
,
,
,
l
l
l
l
l
l(共15张PPT)
两点间的距离
1、在数轴上两点的距离公式
A（xA，yA） B（xB，yB）
2、平面直角坐标系下两直线的交点的求法
联立解方程组
复习
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢
两点间的距离
y
x
o
P1
P2
y
x
o
P2
P1
两点间距离公式
x
y
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
Q(x2,y1)
O
两点间距离公式
x
y
P (x,y)
O(0,0)
|y|
|x|
数形结合
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1)
(3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
例题分析
解：设所求点为P(x,0)，于是有
解得x=1，所以所求点P(1,0)
练习
已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的距离等于10，求点P的纵坐标。
例题分析
例4：证明平行四边形四条边的平方和
等于两条对角线的平方和.
A
B
C
D
分析：首先要建立适当
的平面直角坐标系，用
坐标表示有关量，然后
进行代数运算.
例2.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条对角线的平方和。
证明：以A为原点，AB为x轴
建立直角坐标系。
x
y
A
B
C
D
(0,0)
(a,0)
(b,c)
(a+b,c)
则四个顶点坐标分别为
A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
坐标法
第二步:进行有关代数运算
第三步:把代数运算结果翻译成几何关系。
第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量。
证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。
y
x
A
C
(0,0)
(a,0)
(0,b)
B
D
练面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
收获
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.
收获
已知△ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),
C( )
试判断△ABC的形状.
分析：计算三边的长，比较后可得结论.
思考
P110 A组 第6、8题
布置作业(共21张PPT)
3.2.2 直线的两点式方程
y=kx+b
y- y0 =k(x- x0 )
复习
巩固
1). 直线的点斜式方程：
2). 直线的斜截式方程：
k为斜率， P0(x0 ,y0)为经过直线的点
k为斜率，b为截距
一、复习、引入
解：设直线方程为：y=kx+b.
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程．
一般做法：
由已知得：
解方程组得：
所以，直线方程为: y=x+2
简单的做法：
化简得： x-y+2=0
还有其他做法吗？
为什么可以这样做，这样做
的根据是什么？
动点轨迹法解释：
kPP1= kP1P2
即：
得:y=x+2
设P(x,y)为直线上不同于P1 ， P2的动点，与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上，根据斜率相等可得：
二、直线两点式方程的推导
已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2)，求通过这
两点的直线方程．
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 ， P2的点．
可得直线的两点式方程：
∴
∵ kPP1= kP1P2
记忆特点：
推广
左边全为y，右边全为x
两边的分母全为常数
分子，分母中的减数相同
不是!
是不是已知任一直线中的两点就
能用两点式 写出直线方程呢？
两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
注意：
当x1 ＝x2或y1= y2时，直线P1 P2没有两点式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时，两点式的分母为零，没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢？
三、两点式方程的适应范围
若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2）
中有x1 ＝x2 ,或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么？
当x1 ＝x2 时
方程为： x ＝x１
当 y1= y2时
方程为： y= y１
例2：如图，已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．
解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得：
即
所以直线l 的方程为：
四、直线的截距式方程
②截距可是正数,负数和零
注意：
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线
直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？
截距式直线方程:
直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b叫做直
线在y轴上的截距
⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相
等的直线有几条
解: ⑴ 两条
例3:
那还有一条呢？
y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
所以直线方程为：x+y-3=0
a=3
把(1,2)代入得：
设 直线的方程为:
解：三条
⑵ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条
解得：a=b=3或a=-b=-1
直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x
设
例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，
B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线
方程，以及该边上中线的直线方程。
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
整理得：5x+3y-6=0
这就是BC边所在直线的方程。
五、直线方程的应用
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：
即
整理得：x+13y+5=0
这就是BC边上中线所在的直线的方程。
过A(-5,0),M 的直线方程
中点坐标公式：
则
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2)
且中点M的坐标为(x,y).
∵B(3,-3),C(0,2)
∴ M
思考题：
已知直线l 2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的直线l 1的方程。
解：当x=0时，y=3.
(0,-3)在直线l 上，关于(1,2)的对称点为(2,7).
当x=-2时，y=1.
(-2,1)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(4,3).
那么，点 (2,7) ，(4,3)在l 1上
因此，直线l 1的方程为：
化简得: 2x + y -11=0
还有其它的方法吗？
∵ l ∥l 1，所以l 与l 1的斜率相同，
∴ kl1=-2
经计算，l 1过点(4,3)
所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)
化简得： 2x + y -11=0
3)中点坐标公式：
小结：
1)直线的两点式方程
2)两点式直线方程的适应范围
直线方程的截距式:
谢谢,下节课见!
作业：P110 2. 3.(共20张PPT)
3.2.2 直线的两点式方程
y=kx+b
y- y0 =k(x- x0 )
复习
巩固
1). 直线的点斜式方程：
2). 直线的斜截式方程：
k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的任意一个点
k为斜率，b为截距
一、复习、引入
解：设直线方程为：y=kx+b.
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程．
一般做法：
由已知得：
解方程组得：
所以，直线方程为: y=x+2
简单的做法：
化简得： x-y+2=0
还有其他做法吗？
为什么可以这样做，这样做
的根据是什么？
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程．
动点轨迹法解释：
kPP1= kP1P2
即：
得:y=x+2
设P(x,y)为直线上不同于P1 、P2的动点，并且P点与P1(1,3)和P2(2,4)在同一直线上，根据斜率相等可得：
二、直线两点式方程的推导
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程．
已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2)，求通过这
两点的直线方程．
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 ， P2的点．
可得直线的两点式方程：
∴
∵ kPP1= kP1P2
记忆特点：
推广
左边全为y，右边全为x
两边的分母全为常数
分子，分母中的减数相同
不是!
是不是已知任一直线中的两点就
能用两点式 写出直线方程呢？
两点式不能表示垂直于坐标轴的直线．
注意：
当x1 ＝x2或y1= y2时，直线P1 P2没有两点式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时，两点式的分母为零，没有意义)
那么哪些直线的方程不能用两点式来表示呢？
三、两点式方程的适应范围
若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2）
中有x1 ＝x2 ,或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么？
当x1 ＝x2 时
方程为： x ＝x１
当 y1= y2时
方程为： y= y１
例2：如图，已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．
解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得：
即
所以直线l 的方程为：
四、直线的截距式方程
截距式直线方程:
②截距可是正数,负数和零
注意：
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线
直线与x轴的交点(a, o)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？
直线与y轴的交点(0, b)的纵坐标b叫做直
线在y轴上的截距
⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条
解: ⑴ 两条
例3:
那还有一条呢？
y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
所以直线方程为：x+y-3=0
a=3
把(1,2)代入得：
设 直线的方程为:
解：三条
⑵ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条
解得：a=b=3或a=-b=-1
直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x
设
例3:
例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，
B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线
方程，以及该边上中线的直线方程。
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
整理得：5x+3y-6=0
这就是BC边所在直线的方程。
五、直线方程的应用
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：
即
整理得：x+13y+5=0
这就是BC边上中线所在的直线的方程。
过A(-5,0),M 的直线方程
中点坐标公式：
则
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ,y1 ), (x2 ,y2)
且中点M的坐标为(x,y).
思考题：
已知直线l 2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的直线l 1的方程。
解：当x=0时，y=3. 即点(0,-3)在直线l上，
它关于(1,2)的对称点为(2,7).
当x=-2时，y=1.点(-2,1)在直线l上， 它关于(1,2)的对称点为(4,3).
因此，直线l 1的方程为：
化简得: 2x + y -11=0
那么，点 (2,7) ，(4,3)在l1上
还有其它的方法吗？
∵ l ∥l 1，所以l 与l 1的斜率相同，
∴ kl1=-2
经计算，l 1过点(4,3)
所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)
化简得： 2x + y -11=0
3)中点坐标公式：
小结：
1)直线的两点式方程
2)两点式直线方程的适应范围
直线方程的截距式:
谢谢,下节课见!
作业：P101 10. 11.(共30张PPT)
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？
问题引入
x
y
O
l
P（x，y）
为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来．
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位置由哪些条件确定？
问题引入
x
y
O
l
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的位置能够确定吗？
问题引入
x
y
O
l
l’
l’’
P
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，…它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？
问题引入
x
y
O
l
l’
l’’
P
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直线的倾斜程度呢？
问题引入
x
y
O
l
l’
l’’
P
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角 ．
x
y
O
l
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0O
直线的倾斜角 的取值范围为：
直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？
平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，
倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，
倾斜程度相同的直线其倾斜角相同．
x
y
O
a
已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角α．也不能确定一条直线的位置．
但是，直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线．
直线的倾斜角
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者缺一不可．
确定直线的要素
x
y
O
l
P
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
前进量
升
高
量
问题引入
问题引入
前进
升
高
例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度（比）
通常用小写字母k表示，即
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.
倾斜角是 的直线有斜率吗？
倾斜角是 的直线的斜率不存在．
直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．
如：倾斜角 时，直线的斜率
当 为锐角时，
如：倾斜角为 时，由
即这条直线的斜率为
直线的斜率
倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度．
X
.
p
Y
O
X
.
p
Y
O
X
.
p
Y
O
X
.
p
Y
O
（1）
（2）
（4）
（3）
o
o
标出下列图中直线的倾斜角，并说出各自斜率符号？
k>0
k<0
k不存在
K=0
下列哪些说法是正确的（ ）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
F 、直线斜率的范围是R
G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
E、F
l1
l2
l3
关系为
的大小
的斜率
在图中的直线
,
,
,
,
3
2
1
3
2
1
k
k
k
l
l
l
k1直线的倾斜角与斜率之间的关系:
直线
情况
平行于
x 轴
由左向
右上升
垂直
于x轴
由左向
右下降
的
大小
k的范围
k的 单调性
k=0
无
k>0
递增
不存在
无
k<0
递增
判断正误：
②直线的斜率值为 ，则它的倾斜角为 （ ）
③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有
斜率。 （ ）
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为
（ ）
④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平
行于y轴的直线的倾斜角不存在 （ ）
X
X
X
X
已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？
两点的斜率公式
给定两点P1 （ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）， 并且x1 ≠x2，如何计算直线P1 P2的斜率k．
当 为锐角时，
在直角 中
设直线P1 P2的倾斜角为α（ α ≠90° ），当直线P1 P2的方向（即从P1指向P2的方向）向上时，过点P1作 x 轴的平行线，过点P2作 y 轴的平行线，两线相交于点 Q，于是点Q的坐标为（ x2，y1 ）．
两点的斜率公式
当 为钝角时，
在直角 中
两点的斜率公式
同样，当 的方向向上时，也有
两点的斜率公式
1．已知直线上两点 ，运用上述公式计算直线 斜率时，与 两点坐标的顺序有关吗？
无关
两点的斜率公式
2．当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？
不适用
当直线 与 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
经过两点 的直线的斜率公式为：
两点的斜率公式
成立
例1 如图 ，已知 ，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解：直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率
由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角．
典型例题
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线 及 ．
即
解：取 上某一点为 的坐标是 ，根据斜率公式有:
设 ，则 ，于是 的坐标是 ．过原点及 的直线即为 ．
x
y
是过原点及 的直线， 是过原点及
的直线， 是过原点及 的直线．
典型例题
1. 求经过A（-2，0），B（5，3）两点的直线的
斜率和倾斜角.
课堂练习
2. 若直线过(－2,3)和(6，－5)两点，
则直线的斜率为 ,倾斜角为 。
-1
1350
3. 若三点A（5，1），B（a，3），C（-4，2）
在同一条直线上，确定常数a的值.
4. 斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b) 三点，则a、b的值是 ( )
A. a=4,b=0 B. a=－4,b=－3
C. a=4,b=－3 D. a=－4,b=3
C
两点间斜率公式
知识小结
倾斜角
斜率
P89 A组
第 2、3、4、5 题
布置作业(共17张PPT)
1、过两点P(1-a,1+a),Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围是_______
2、过原点引直线l,使l与连接两点A(1,1)和B(1,-1)的线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是_______
课前练习
1.在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准， x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α 叫做直线l的
复习回顾
2.倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的 ,常用k来表示.
k=tanα
斜率
倾斜角
1.为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线倾斜角与斜率的概念，并导出了计算斜率的公式，即把几何问题转化为代数问题。
2.那么，我们能否通过直线l1、l2的斜率k1、k2来判断两条直线的位置关系呢？
3.我们约定：若没有特别说明，说“两条直线 l1与 l2”时，一般是指两条不重合的直线。
思考：l1// l2时，k1与k2满足什么关系？
o
y
x
例如，用斜率证明三个点共线时就需要用到这个结论.
例题讲解
例3. 已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.
x
y
O
B
A
P
Q
解：
例4 .已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
解：
x
y
O
A
B
C
D
O
x
y
垂直
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么
它们的斜率之积等于－1；
反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么
它们互相垂直.
例5. 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),试判断直线AB与PQ的位置关系.
解：
例6 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点，试判断三角形ABC的形状.
解：
x
y
O
A
B
C
补充练习:
－3
P90
第 8、4 题
布置作业(共20张PPT)
直线的点斜式方程
复习
1.倾斜角 的定义及其取值范围;
求出下列直线的斜率 和倾斜角 ：
(2) A(-1,-2), B(3,2) , C(5,4) ,则
＝ ＝ ＝
A(0,0), B(1, ) ,则
＝ ＝
60°
45°
1
1
课前练习
问题：确定一条直线需要知道哪些条件？
思考：取这条直线上不同于点P的任意一点 ，它的横坐标x与纵坐标y满足什么关系？
例如：一个点 和斜率为k＝2就能确定一条直线 .
Q
–
–
－1
1
o
y
x
.
P
3
.
直线与方程有什么联系？
一般的，设直线 经过点 ，斜率为 则方程 叫做直线的点斜式方程。
局限性：只适用于斜率存在的情形。
Q
–
–
－1
1
o
y
x
.
P
3
.
（过点 斜率为2确定的）方程y-3＝2（x-0）是直线 的方程，且称为直线 的点斜式方程。
例1 一条直线过点 ，斜率为2，求这条直线的方程。
解：
由直线的点斜式方程知
即
变式：
一条直线过点 ，倾斜角为 ，求这条直线的方程。
练习2：根据下列条件，分别写出方程；
（1）经过点（4，-2），斜率为3；
（2）经过点（3，1），斜率为1/2；
（3）经过点（2，3），倾斜角为 ；
（4）经过点（2，5），倾斜角为 ；
（5）斜率为2，与x轴交点的横坐标为-7
3x-y-14=0
x/2-y-1/2=0
y-3=0
X-2=0
2x-y+14=0
图2
Ⅰ 当过 点直线的倾斜角为90°时, 斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示。
Ⅱ当过 点直线的倾斜角为0°时, 直线的方程是
图1
例2 已知直线 的斜率为 ，与y轴的交点是 ，求直线 的方程。
解：
由直线的点斜式方程知
即
斜率
y轴上的截距
斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率存在的情形。
此方程由直线 的斜率和它在 轴上的截距确定，所以这个方程也叫作直线的斜截式方程。
Q
–
–
－1
1
o
y
x
.
P
3
.
例3．写出下列直线的方程：
(2)倾斜角是135°，在y轴上的截距是3．
(1)斜率为 ，在y轴上的截距是-2．
（3）斜率为3，与y轴交点的纵坐标为-1
y=3x-1
x-3=0
y-1=0
（4）过点（3，1），垂直于x轴；
垂直于y轴；
课堂练习
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长为12，且斜率为-3/4的直线方程。
2.已知直线l 过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为8 求直线l 的方程。
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长为12，且斜率为-3/4的直线方程。
解：
设直线的方程为y=-3x/4+b
则它与两坐标轴的交点分别为(4b/3,0)和(0,b)
由题意知
整理得
所以直线的方程为 y=-3x/4+3 或 y=-3x/4－3
课堂练习
解：
设直线的方程为y-4=k(x-1)
则它与两坐标轴的交点分别为(1-4/k,0)和(0,4-k)
整理得
所以直线得方程为y-4=-4(x-1) 即y=-4x+8
2.已知直线l 过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为8 求直线l 的方程。
由题意知k<0且有
(1-4/k)(4-k)=8
课堂练习
3、求经过点(1,-1),且与直线y=2x-7平行的直线方程
4、求经过点(0,2),且与直线y=-3x+5垂直的直线方程
课堂练习
小 结
(3)要注意两种形式的直线方程的使用范围．
(1)介绍了直线的方程涵义及直线方程的两种形式：
点斜式：
斜截式：
(2) 两种特殊情况:过点
且与坐标轴平行的
直线的方程分别是:
作 业 第100页 A组 第 3、4、5 题
已知直线上的两点坐标是A(-5，0)、B(3，-3)，求这两点所在直线的方程．
直线的倾斜角的取值范围是:[00, 1800)
B
返回
方程的 解(x,y)
直线 上的点(x,y)
上一页
Q
–
–
－1
1
o
y
x
.
P
3
.
结论：如果直线 上每个点的坐标都是某个方程的解；反之，以这个方程的解为坐标的点都在直线 上。就称直线 是方程的直线，方程是直线 的方程。
