(共18张PPT)
4.2.3 直线与圆的方程的应用
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决.对此，我们必须掌握解决问题的基本思想和方法.
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
轮船
港口
台风
思考1:解决这个问题的本质是什么？
思考2:你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？
轮船
港口
台风
x
y
o
思考3:如图所示建立直角坐标系，取10km为长度单位，那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所在圆的方程分别是什么？
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应作怎样的回答？
轮船
港口
台风
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高度吗？
思考2:如图所示建立直角坐标系，那么求支柱A2P2的高度，化归为求一个什么问题？
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
x
y
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如何？
思考3:取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？
x2+(y+10.5)2=14.52
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
x
y
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题Ⅱ:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？
X
y
o
思考2：如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
A
B
C
D
M
x
y
o
N
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的坐标如何？
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距离|MN|？
A
B
C
D
M
x
y
o
N
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从而命题成立.你能用平面几何知识证明这个命题吗？
A
B
C
D
M
N
E
理论迁移
例1 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4，|OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值.
O
A
B
P
C
X
y
O1
M
O2
P
N
o
y
x
例2 如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，圆心距为4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N，且使得|PM|= |PN|，试求点P的运动轨迹是什么曲线？
作 业
P132 习题4.2
A组:1，5，11(共37张PPT)
24.2.3圆与圆的位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
点在圆外 d＞r
点在圆上 d＝r
点在圆内 d＜r
没有公共点 直线与圆相离 d＞r
有一个公共点 直线与圆相切 d＝r
有两个公共点 直线与圆相交 d＜r
通过刚才对日全食的观察，想象一下两圆有没有出现公共点？公共点的个数是怎样的？
观察与思考
2008北京奥运会自行车比赛会标在图中两圆的位置关系是_____
练一练
在图中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是 .
相交
练一练
r1
r2
r2
r2
r2
r1
r2
r1
r1
r1
如果两个圆的半径分别为r1和r2（r1活动2：
○1
d
d
○1
○1
○1
○2
1、判断正误：
（1）、若两圆只有一个交点,则这两圆外切. （ ）
（2）、如果两圆没有交点，则这两圆的位置关系是外离. （ ）
（3）、当O1O2=0时,两圆是同心圆. （ ）
（4）、若O1O2=1.5,r=1,R=3,则O1O2（5）、若O1O2=4，且r =7,R=3,则O1O2＝R－r,所以两圆内含. （ ）
练一练
×
√
×
×
×
2、⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,在下列情况下，分别求出两 圆的圆心距d的取值范围：
（1）外离 ________ （2）外切 ________ （3）相交 ____________（4）内切 ________ （5）内含___________
练一练
3d>7
d=7
d=3
d<3
0 ≤d<3
已知⊙
的半径为
(1) ⊙
⊙
外切,则 的半径为 .
⊙
·
·
(2) ⊙
⊙
内切,则 的半径为 .
⊙
(3) ⊙
⊙
相切,则 的半径为 .
⊙
·
·
·
·
·
·
圆与圆相切分为外切和内切,注意分类讨论思想
例题分析
说说这节课你的收获吧！
位置关系 图形 交点个数 d与R、r的关系
外离
内含
外切
相离
相交
内切
相切
0
2
1
d＞R+r
0 ≤ d＜R-r
R-r ＜d＜R+r
d=R+r
d=R-r
圆与圆的位置关系 d,R,r数量关系
思想方法：类比方法与分类讨论
小 结
性质
判定
习题24.2第7题，第15题
作 业 布 置
再见
生活中的数学
生活中的数学
生活中的数学
（七）例题讲析
例1：如图，⊙0的半径为5cm,点P是⊙0外一点，OP＝8cm，
求：（1）以P为圆心，作⊙P与⊙O外切，小圆P的半径是多少？
（2）以P为圆心，作⊙P与⊙O内切，大圆P的半径是多少？
A
B
P
O
解：（1）设⊙O与⊙P外切于点A，则
OP=OA+AP AP＝OP－OA
∴ PA＝8－5＝3cm
(2)设⊙O与⊙P内切于点B，则
OP＝BP-OB
PB＝OP＋OB＝8+5＝13cm
外离
圆和圆的五种位置关系
O1O2>R+r
O1O2=R+r
R-rO1O2=R-r
0≤O1O2O1O2=0
外切
相交
内切
内含
同心圆
(一种特殊的内含)
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r1
r2
r2
r2
r2
r1
r2
r1
r1
r1
如果两个圆的半径分别为r1和r2（r1活动2：
○1
d
两圆的位置关系 d与r1和r2的关系
外离
外切
相交
内切
内含
＝> d>r1+r2
＝> d=r1+r2
＝> r2-r1d
○1
○1
＝> d=r2-r1
○1
＝> d<
<
<
<
<
○2
两圆的五种位置关系
圆与圆的位置关系(从公共点个数看)
(没有公共点)
(有1个公共点)
(有2个公共点)
相离
外离
内含
特殊情况
同心圆
相切
外切
内切
相交
圆与圆的五种位置关系
相交
O1
R
O2
r
d
O1
R
O2
r
d
O1
R
O2
r
d
O2
r
d
O1
R
R
d
O2
r
O1
两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
观察与思考
怎样从两圆的圆心距与两圆半径的数量关系来判断两圆的位置关系
在图中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是 .
在图中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是 .
在图中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是 .
（
图中有几种相切
（五）、探索圆心距与两圆半径的关系
4、定圆O的半径是4厘米，动圆P的半径是1厘米。
（1）设⊙P和⊙O相外切，那么点P与点O的距离
是多少？点P可以在什么样的线上移动？
（2）设⊙P和⊙O相内切，情况怎样？(共30张PPT)
圆的标准方程
A
r
x
y
O
赵州桥，建于隋炀帝大业年间（595-605年），至今已有1400年的历史，出自著名匠师李春之手，是世界上最古老的单肩石拱桥,是世界造桥史上的一个创造。
问题 : 假设桥梁圆拱损坏需修缮,若你修缮专家之一,那你该怎样去修缮桥梁圆拱呢
温故知新:
1、什么是圆？
如图，在一个平面内，线段CP绕它固定的一个端点C旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。
2、圆有什么特征呢？
思考：
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
圆心－－确定圆的位置
半径－－确定圆的大小
(1)圆上各点到定点（圆心)的距离都等于定长（半径r)；
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
A
M
r
x
O
y
设M(x,y)是圆上任意一点，
根据定义，点M到圆心A的 距离等于r，所以圆心为A的圆就是集合
P={M| |MA|=r}
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
A
x
y
O
M
r
思 考：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
A
x
y
O
M
r
思 考：
求方程的一般步骤：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
A
x
y
O
M
r
思 考：
建系设点
求方程的一般步骤：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
A
x
y
O
M
r
思 考：
建系设点
列方程
求方程的一般步骤：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
A
x
y
O
M
r
思 考：
建系设点
化简方程
列方程
求方程的一般步骤：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程
问题:圆的标准方程有什么特征
特别地：圆心在原点，半径为r的圆的方程是什么？
（1）有两个变量x,y，形式都是与某个实数差的平方；
（2）两个变量的系数都是1
（3）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。
x 2 +y 2 = r2
1 (口答) 求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
练习
X
y
0
+2
-2
C(0、0) r=2
X
Y
0
-1
C(-1、0) r=1
(1) x2+y2=9
(2) (x+3)2+(y-4)2=5
练习
2、写出下列圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为3；
（2）、圆心在(-3、4),半径为 .
3、圆心在（-1、2），与y轴相切
练习
X
Y
0
c
-1
C(-1、2) r=1
(x+1)2+(y-2)2=1
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
2
0
2
C(2,2)
C(-2,-2)
X
Y
-2
-2
Y=X
练习
4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.
X
Y
0
C（8、3）
P（5、1）
5、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.
练习
(x-8)2+(y-3)2=13
8、已知圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ，判断点 是 否在圆上？
6、圆心为 ，半径长等于5的圆的方程为（ ）
A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25
C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=5
7、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标为____,半径r =____
练习
点 呢？
点（3，－4）呢？
重要结论：
点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2
的位置关系：
例1、
若现在已知圆拱上的三点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),
你能求出圆拱所在的圆的标准方程吗
X
C(1、3)
3x-4y-6=0
Y
0
例2、求以c(1、3）为圆心，并和直线
3x-4y-6=0相切的圆的方程.
解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
已知a=1,b=3
因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的距离，
所以 |3×1-4 ×3-6| 15
所以圆的方程为
r=
=
= 3
(x-1)2+(y-3)2=9
5
2
2
)
4
(
3
-
+
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小．圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C与A, B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线 上．又圆心C在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB|．
解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
直线AB的斜率:
典型例题
因此线段AB的垂直平分线 的方程是
即
圆心C的坐标是方程组
的解．
典型例题
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解：
所以圆心C的坐标是
圆心为C的圆的半径长
所以，圆心为C的圆的标准方程是
典型例题
解此方程组，得
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解：
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时，圆的标准方程为：x2 + y2 = r2
(2)推导圆的标准方程的方法与步骤？
(3)点与圆的位置关系？
(4) 如何求圆的标准方程 必须具备三个独立的条件
课堂小结：
P1２４ A组
第２题 第３题
布置作业
问题3、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m， 拱高为4m。求该圆拱桥所在的圆的方程。
解：以圆拱所对的的弦所在的直线为x轴，弦的中点为原点建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
02+(4-b)2= r2
102+(0-b)2=r2
解得：b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
A （-10，0）
B （10，0）
P （0，4）
y
x
O
变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。
y
x
A
B
P
O
E
F
G
H
C
D
R
T
变二：已知一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水面的高度是2米，船宽4米，问该船能否通过该桥？若能，那么船在什么区域内可通过？若不能，说明理由。
x2+(y+10.5)2=14.52
令x＝2或－2即可
Y＝3.86(共26张PPT)
空间直角坐标系
x
O
数轴上的点可以用
唯一的一个实数表示
-1
-2
1
2
3
A
B
数轴上的点
x
y
P
O
x
y
(x,y)
平面中的点可以用有序实数对(x，y)来表示点
平面坐标系中的点
y
O
x
在教室里同学们的位置坐标
讲台
y
O
x
教室里某位同学的头所在的位置
z
如何确定空中飞行的飞机的位置？
右手直角坐标系
空间直角坐标系
—Oxyz
横轴
纵轴
竖轴
Ⅶ
面
面
面
空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
点的坐标：
x称为点P的横坐标
O
x
y
z
Px
Pz
x
z
y
P
Py
y称为点P的纵坐标
z称为点P的竖坐标
反之：（x,y,z)对应唯一的点P
空间的点P
有序数组
C'
D'
B'
A'
C
O
A
B
y
z
x
xoy平面上的点竖坐标为0
yoz平面上的点横坐标为0
xoz平面上的点纵坐标为0
x轴上的点纵坐标竖坐标为0
z轴上的点横坐标纵坐标为0
y轴上的点横坐标竖坐标为0
一、坐标平面内的点
二、坐标轴上的点
例题
例1、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=2，写出D`，C，A`，B`四点的坐标.
练习
1、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于点P.分别写出点C，B`，P的坐标.
练习
z
x
y
A
B
C
O
A`
D`
C`
B`
Q
Q`
2、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中，对角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.
结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为1/2的小正方体堆积成的正方体），其中红色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图：建立空间直角
坐标系 后，
试写出全部钠原子
所在位置的坐标。
例2：
y
z
x
P135 例2
对称点
x
y
O
x0
y0
(x0,y0)
P
(x0 , -y0)
P1
横坐标不变，
纵坐标相反。
(-x0 ,y0)
P2
横坐标相反，
纵坐标不变。
P3
横坐标相反，
纵坐标相反。
-y0
-x0
(-x0 , -y0)
空间对称点
点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标
(1)与点M关于x轴对称的点
(2)与点M关于y轴对称的点
(3)与点M关于z轴对称的点
(4)与点M关于原点对称的点
(5)与点M关于xOy平面对称的点
(6)与点M关于xOz平面对称的点
(7)与点M关于yOz平面对称的点
(x,-y,-z)
(-x,y,-z)
(-x,-y,z)
(-x,-y,-z)
(x,y,-z)
(x,-y,z)
(-x,y,z)
关于谁对称谁不变
空间点到原点的距离
空间两点间的距离公式
类比
猜想
解
原结论成立.
例 4
已知 A (－3 , 2 , 1)、B (0 , 2 , 5).
△AOB 的周长.
解
由两点间距离公式可得
由两点间距离公式 可得
所以，
△AOB 的周长
解
设P点坐标为
所求点为
练习
P138 练习 1.（只求距离）
一、空间直角坐标系
二、空间两点间的距离公式:
（注意它与平面直角坐标系的区别）
（轴、面、卦限）
小结
三、空间两点间的中点坐标公式:(共31张PPT)
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
点在圆外 d＞r
点在圆上 d＝r
点在圆内 d＜r
没有公共点 直线与圆相离 d＞r
有一个公共点 直线与圆相切 d＝r
有两个公共点 直线与圆相交 d＜r
复习回顾：
生活中的数学
生活中的数学
你还能举一些生活中由圆和圆组成的图案吗？
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
太阳
月亮
月亮
月亮
月亮
月亮
月亮
月亮
月亮
月亮
月亮
请同学们观看罕见的日全食发生的全过程!
设想：如果把月亮与太阳看成同一平面内的两个圆，那么两个圆在作相对运动的过程中有几种位置关系产生呢？
验证
圆
和
圆
的
位
置
关
系
没有公共点
一个公共点
两个公共点
相 离
相切
相交
外 离
内 含
内 切
外 切
相 交
（同心圆）
r
o1
d
r
o1
d
r
o1
d
r
o1
d
r
o1
d
r
o1
d
R
O2
五种位置关系的直观描述
外离
外切
相交
内含
内切
R+r
R-r
0
外离
圆和圆的五种位置关系
d>R+r
d=R+r
R-rd=R-r
0≤dd=0
外切
相交
内切
内含
同心圆
(一种特殊的内含)
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
外离
圆和圆的五种位置关系
d>R+r
d=R+r
R-rd=R-r
0≤dd=0
外切
相交
内切
内含
同心圆
(一种特殊的内含)
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
r
R
O
1
O
2
外离
外切
相交
内切
内含
两 圆 的 公 切 线
圆和圆的位置关系
今有一圆形硬币，在这硬币的周围排列几枚同样大小的硬币，使所有的硬币都与这枚硬币外切，并且相邻彼此外切，则需硬币多少枚？
试一试
利用连心线长d与|r1+r2|和| r1-r2 |的大小关系判断
圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r12 (r1>0)
圆C2：(x-c)2+(y-d)2=r22 (r2>0)
判断圆和圆的位置关系
(1)几何法：
(2)代数法：
利用两个圆的方程组成方程组的实数解的个数
两个圆相离（外离或内含）
△<0
两个圆相切（外切或内切）
△=0
两个圆相交
△>0
例3、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
解法一：圆C1与圆C2的方程联立，得
(1)-(2)，得
两圆的公共弦方程
所以，方程(4)有两个不相等的实数根x1,x2，把x1,x2分别代入方程(3)：
得到y1,y2.
因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2).
例3、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
解法二：
把圆C1和圆C2的方程化为标准方程：
例3、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
例3、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
所以圆C1与圆C2相交，
它们有两个公共点A，B.
分析：要判断两圆的位置关系，关键是找到圆心距和两圆半径的数量关系。
所以两圆外切。
因为
解（2）：将两圆的方程化成标准方程，得
故两圆的半径分别为 ，两圆的圆心距
因为
所以两圆相交 .
解（1）：根据题意得，两圆的半径分别为 ，两圆的圆心距
例4、判断下列两圆的位置关系：
（1）
（2）
课堂练习：
1、若圆 相交，求实数m的范围 。
2、已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆 相切，求圆C的方程。
1解得:
外切
内切
课堂小结:
外离
外切
相交
内切
内含
0
1
2
1
0
d>R+r
d=R+r
R-rd=R-r
d公共点
圆心距和半径的关系
两圆位置
一圆在另一
圆的外部
一圆在另一
圆的外部
两圆相交
一圆在另一
圆的内部
一圆在另一
圆的内部
名称
课外思考
4、求过点A(0,6)且与圆C: 切于原点的圆的方程。
5、 求与点A(1,2)的距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有 条。
o
4、求过点A(0,6)且与圆C: 切于原点的圆的方程。
分析：如图，所求圆经过原点和点A(0,6),且圆心必在已知圆的圆心和切点的连线上，根据这三个条件可确定圆的方程。
将圆C化为标准方程，得
则圆心为C(-5,-5),半径为 ，
所以经过已知圆的圆心和切点的直线方程为 。
由题意知，O(0,0),A(0,6)在所求圆上，且圆心在直线上 ，
则有
解：设所求圆的方程为
解得
所以所求圆的方程为： 。
A(0,6)
5、 求与点A(1,2)的距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有 条。
2
分析：因为到A点距离为1的直线都是以A为圆心，以1半径的圆的切线，到B点距离为2的直线都是以B圆心，以2半径的圆的切线，所以本题就转化为求两圆的公切线条数，因为两圆相交，显然，满足题意的直线有2条。
作法:
1.取A(1,2)再以以A为圆心，以1为半径作圆A.
2.取B(3,1)再以以B为圆心，以3为半径作圆B.
３. 作圆A和圆B的公切线.
显然：有两解．(共22张PPT)
1、点与圆有几种位置关系？
复习提问：
.A
.A
.A
.A
.A
. B
.A
.A
.C
.A
.A
2、过两点能画多少个圆？
它们的圆心有什么规律？
过三点一定能画一个圆吗？
若将点改成直线 ，那么直线与圆的
位置关系又如何呢？
.O
a
b
c
情景引入：
直线和圆的位置关系
d
r
d>r 相离
直线和圆的位置关系
d
r
d>r 相离
d直线和圆的位置关系
r
d>r 相离
d=r 相切
d
d直线和圆的位置关系
判定直线和圆位置关系
判定圆 和直线Ax+By+C=0位置关系的方法：
(2)比较圆心（a，b）到直线Ax+By+C=0的距离d和半径r的大小：
dr 相离
(1)从方程组 Ax+By+C=0 中消去变量y（或x），
得到关x或y的二次方程，
考察根的判别式Δ的情况，容易证明以下结论：
Δ>0 相交 Δ=0 相切 Δ<0 相离
图象
位置关系
公共点个数
法
（代数法）
法
（几何法）
怎样判断直线与圆的位置关系？
相交
相切
相离
2个
1个
无
例1 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0
相切的圆的方程。
已知条件
圆心
C（1，3）
直线
3x-4y-7=0
求
直线与圆相切
d=r
圆的方程
例2 求实数m，使直线 x-my+3=0 和圆 x2+y2-6x+5=0
（1）相交；（2）相切；（3）相离。
直线x-my+3=0
比
较
d
与
r
相交
相切
相离
dd=r
d>r
r=2
圆心（3，0）
练习：
已知一个圆的圆心在原点，并与直线
4x+3y-70=0相切。求圆的方程。
分
析
例3 已知曲线 与直线l:y=k(x-2)+4有
两个不同的交点，求实数k的取值范围。
x
y
O
1
2
.
例3 已知曲线 与直线l:y=k(x-2)+4有
两个不同的交点，求实数k的取值范围。
分
析
y=k(x-2)+4
过定点A（2，4）
有两个不同的交点
x
y
(2,1)
C(-2,1)
O
.
A(2,4)
B
分
析
y=k(x-2)+4
过定点A（2，4）
有两个不同的交点
圆心（0，1）
直线kx-y+4-2k=0
k的取值范围是
x
y
(2,1)
C(-2,1)
O
.
A(2,4)
B
.
例3 已知曲线 与直线l:y=k(x-2)+4有
两个不同的交点，求实数k的取值范围。
例4 已知实数x，y满足 ，求 的取值范围。
设 P（x，y）是圆上的点
分
析
A(-1,-2)
.
P(x,y)
.
P(x,y)
.
P(x,y)
.
P(x,y)
.
y
x
O
1
例4 已知实数x，y满足 ，求 的取值范围。
设 P（x，y）是圆上的点
y
x
O
分
析
A(-1,-2)
.
P(x,y)
.
P(x,y)
.
P(x,y)
.
P(x,y)
.
例4 已知实数x，y满足 ，求 的取值范围。
设 P（x，y）是圆上的点
AB为圆的切线
圆心（0，0）
y+2=k（x+1）
d=r
k=
的取值范围是
B
C
y
x
O
kx-y+k-2=0
分
析
A(-1,-2)
.
.
.
.
.
B
D
练习
若实数x，y满足 ，则 的最小值等于（ ）
（A） （B） （C） （D）2
已知直线y=x+m与曲线 有两个不同的交点，则实
数m的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
一、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
二、判定直线和圆的位置关系：
1.比较d与r
2.判别式法
三、数形结合的思想方法
把代数问题转化为解析几何问题（如例4）
（特别地，d=r时，直线与圆相切）
*方法1较优越
四、注意画好方程的曲线
如例3
知识小结(共21张PPT)
直线与圆的位置关系（2）
Ｏ
d
r
B
C
A
情境引入
如图：直线BC和⊙O的位置关系是_________
切线
切点
公共点Ａ叫_________
想一想：
满足什么条件的直线是圆的切线？
直线BC叫⊙O的_______
相切
已知⊙O和⊙O上的一点D，如何过点D画⊙O的切线？
不妨在直线l 上任意取一点P（点D除外），连结OP，
则OP＞OD
∴点P在⊙O外
∴l 与⊙O只有一个公共点D。
∴l 与⊙O相切
P
l
切线识别方法：
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
判断下图中的l 是否为⊙O的切线
⑴半径
⑵外端
⑶垂直
巩固练习
1、如图，已知点B在⊙O上。根据下列条件，能否判定直线AB和⊙O相切？
⑴OB=7,AO=12,AB=6
⑵∠O=68.5°,∠A=21°30′
2、如图，AB是⊙O的直径， AT=AB，∠ABT=45°。
求证：AT是⊙O的切线
巩固练习
思考与探索？
直线l 与⊙O相切于点A，连接OA，则OA是过切点的半径，直线l 与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？
归纳： 切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径
A
B
例1 、如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上的一点，若∠APB=40度
求∠ACB的度数
A
P
O
B
C
例2、如图⊿ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径， ∠CAD= ∠ABC。判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
A
D
C
B
O
例3、如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且
OA＝OB，CA＝CB 求证：直线ＡＢ是⊙O的切线
B
Ｏ
A
C
证明：
连接OC
∵ OA=OB，CA=CB
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线
∴ AB⊥OC
直线ＡＢ经过半径ＯＣ的外端C，并且垂直于半径OC，所以AB是⊙O的切线
例4 ：如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝30°。
求证：直线AB是⊙O的切线
证明：连结OB
∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°
∴∠OBC=∠C=∠A=30°
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°
∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
=180°－(60°+30°)
=90° ∴ AB是⊙O的切线
例5、如图：点O为∠ABC平分线上一点， OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC是⊙O 的切线。
C
Ｏ
A
B
D
E
证明：
作OE⊥BC于E
∵ 点O为∠ABC平分线上一点
OD⊥AB于D
∴ OE＝OD
又∵ OD为⊙O半径
圆心Ｏ到直线BC的距离等于半径，所以BC与⊙O相切
2、d与r的数量关系：当圆心到直线的距离d等于圆的半径r时，该直线是这个圆的切线
A
切线识别方法：
归纳与发现
1、定义：若一直线与圆只有一个公共点，这条直线是该圆的切线。
3、经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
作OE⊥BC于E
当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时
辅助线：是过圆心作这条 直线的垂线段。
再证明这条垂线段的长等于半径。
连结OC
当已知条件中直线与圆已有一个公共点时
辅助线：是连结圆心和这 个公共点。
再证明这条半径与直线垂直。
例3、如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB
求证：直线ＡＢ是⊙O的切线
B
Ｏ
A
C
例5、如图：点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC与作⊙O相切。
C
A
Ｏ
B
D
E
判定一条直线是圆的切线的三种方法
１、利用定义：与圆有唯一公共点的直线 是圆的切线。
２、利用数量关系：与圆心距离等与圆的半 径的直线是圆的切线。
３、经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线。
小结
２、填空：
在三角形OAB中,若OA=4,OB=4,圆O的半径是2,则当∠AOB=________时,直线AB与圆O相切。
１、选择：下列直线能判定为圆的切线是（ ）
A、与圆有公共点的直线
B、垂直于圆的半径的直线
C、过圆的半径外端的直线
D、到圆心的距离等于该圆半径的直线
练习
D
120度
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
３、证明题：
(１)、如图：AB为⊙O直径，⊙O过BC中点D，
DE ⊥ AC 垂足为E
求证：DE是⊙O的切线
练习
(２)、如图,Rt⊿ABC中, ∠B=90度, ∠ A的平分线交BC于点D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D
试说明:AC是⊙D的切线
练习
4、如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，
过A作AC⊥DC，
求证：DC是⊙O的切线。
巩固练习
5 如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，CD＝AD＋BC。
求证：以CD为直径的⊙O与AB相切
E
证明：过点O作OE⊥AB,垂足为E。
∵AD∥BC,AB⊥BC, ∴ AD⊥AB
而OE⊥AB ∴ AD∥OE∥BC
巩固练习(共21张PPT)
4.1.1 圆的
标准方程
复习引入
两点间的距离公式是什么？
复习引入
两点间的距离公式是什么？
点B(x2，y2)到A(x1，y1)的距离为
讲授新课
讨 论：
具有什么性质的点的轨迹称为圆？
圆的定义？
讲授新课
讨 论：
具有什么性质的点的轨迹称为圆？
圆的定义？
思 考：
在平面直角坐标系中，如何确定
一个圆呢？
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
A
x
y
O
M
r
思 考：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
A
x
y
O
M
r
思 考：
求方程的一般步骤：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
A
x
y
O
M
r
思 考：
建系设点
求方程的一般步骤：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
A
x
y
O
M
r
思 考：
建系设点
列方程
求方程的一般步骤：
已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一
点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
A
x
y
O
M
r
思 考：
建系设点
化简方程
列方程
求方程的一般步骤：
圆的标准方程：
圆的标准方程：
圆的标准方程的两个基本要素：
圆心坐标和半径.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
圆的标准方程：
圆的标准方程的两个基本要素：
圆心坐标和半径.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
圆的方程形式有什么特点？
当圆心在原点时，圆的方程是什么？
思 考：
例1.写出下列各圆的方程：
(1) 圆心在原点，半径是3；
(2) 经过点P(5, 1)，圆心在点C(8, －3).
例2.已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以
P1P2为直径的圆的方程，试判断点
M(6, 9)、N(3，3)、Q(5, 3)是在圆上，
在圆内，还是在圆外？
例2.已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以
P1P2为直径的圆的方程，试判断点
M(6, 9)、N(3，3)、Q(5, 3)是在圆上，
在圆内，还是在圆外？
探 究:
点M(x0, y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是
什么？在圆外呢？
例3.△ABC的三个顶点的坐标分别是
A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它
的外接圆的方程.
例4.已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和
B(2,－2 )，圆心C在直线l: x－y＋1＝0
上，求圆心为C的圆的标准方程.
练习
3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、
B(x2, y2)，证明：圆的方程是
(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
1. P.120第1题、P.121第4题；
2. 求下列条件所决定的圆的方程：
(1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线
x－7y＋2＝0相切；
(2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上，
且与直线y＝2x＋5相切．
课堂小结
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别表示
圆心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法：
(1)定义法；
(2)待定系数法:确定a，b，r.
课后作业
1. 阅读教材P.118到P.120；
2. 《习案》二十五.(共12张PPT)
§4.1.2 圆的一般方程
它是关于x、y的二元二次方程.
引入新课
将圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，
可得：
x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0
如果设D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,那么就可以得到方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程的形式.
能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢？
任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的
形式，反过来，当D2+E2-4F>0时，方程表示一个圆.
它叫做圆的一般方程.
(1)圆的一般方程和Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
比较，在形式上有什么突出的特点
(2)要求出圆的一般方程，必须先求出什么？
可用什么方法求？
例题分析
例4、求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)
的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
例5、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
（2）利用待定系数法求圆的方程，对于已知条件容易求出圆心坐标和半径或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程。
（1）任何一个圆的方程都可以写X2+y2+Dx+Ey+F=0的
形式，但是方程X2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆，
只有在D2+E2-4F>0时，方程表示圆心为 ，半径
为 的圆。
小结
圆的参数方程
y
x
O
P
r
θ
怎样得到圆心在O1(a,b)，半径为r的圆的
参数方程呢？
O1(a,b) P(x,y)
P1(x1,y1)
y
x
o
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即
并且对于t的每一个允许值，由方程组③所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.
参数方程的定义：
③
),
(
),
(
í
ì
=
=
t
g
y
t
f
x
(1)x,y都是同一变量t的函数;
(2)该函数对曲线上任意一点都适合;
(3)对于t的每一个允许值, x、y都有唯一的值
与之对应;
(4)参数t的取值范围要受限制,它不能使x,y的取
值范围扩大,也不能使x,y的取值范围缩小;
(5)学会将简单的曲线参数方程与普通方程互化.
对于参数方程，要注意以下几点：
81页练习1、2
互化例子
例6、如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，
点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在
圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？
P M A
x
o
y
θ
例题分析
81页练习3
参数法解题
的最大值和最小值。
求函数
2
cos
1
sin
)
(
1
-
-
=
q
q
q
f(共18张PPT)
圆的一般方程
A
r
x
y
O
圆的标准方程的形式是怎样的？
其中圆心的坐标和半径各是什么？
复习回顾:
想一想：若把圆的标准方程
展开后，会得出怎样的形式？
这个方程有何特征？
这样就得到：凡是圆的方程都可以化成：
反过来，此方程都表示圆吗？
x2、y2的系数皆为 1 的二元二次方程 ,且不含xy 项
配方
将方程
（*）
与圆的标准方程比较，可知
(1)当 时,方程(*)表示以
为圆心，以 为半径的圆。
(2)当 时，方程(*)只有一个解，
表示一个点
(3)当 时，方程(*)无解，不表示
任何图形
方程
叫做圆的一般方程
圆心（－ ,－ ），半径 r =
①是
②不是
③不是
例1：
例2:已知三角形ABC顶点的坐标为A（4，3）、
B（5，2）、C（1，0），求三角形ABC外接圆
的方程，并求半径和圆心坐标。
解：
设所求圆的方程为
因为点A、B、C在所求的圆上，固有
4D+3E+F+25=0
5D+2E+F+29=0
D+F+1=0
D= - 6
E= - 2
F= 5
故所求圆的方程是 x 2+y2 - 6x - 2y + 5=0
由 ,得
由 ,得圆心坐标为（3，1）。
P
O
A
B
例2:某圆拱桥梁的示意图如图所示。该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长(精确到0.01m).
6
O
x
P2
A2
Y
解：
以线段AB所在直线为x轴，线段AB
的中点O为坐标原点建立直角
坐标系，那么A,B,P的坐标
分别为（-18，0）（18，0）
（0，6）
设圆拱所在的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0
因为点A、B、P在所求的圆上，故有
182+18D+F=0
182 -18D+F=0
62+6E+F=0
D=0
E=48
F=-324
故圆拱所在的方程
是x2+y2+48y-324=0
将点P2的横坐标x=6代入上式，解得
答：支柱A2P2的长约为5.39m.
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
x
y
O
E
A(5,1)
B(7,-3)
C(2,-8)
几何方法
方法一：
方法二：待定系数法
待定系数法
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
求轨迹方程的一般步骤:
1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
C
B
A
x
y
O
练习：
1、下列方程各表示什么图形？
（1）x2+y2=0
（2）x2+y2 －2x+ 4y －6=0
（3）x2+y2 +2ax－b2=0
表示点（0，0）
可化为(x-1)2+(y+2)2=11
所以表示以点（1，-2）为圆心以 为半径的圆
可化为(x+a)2+y2=a2+b2
所以此方程表示以（-a，0）为圆心，以为 半径的圆
2、求下列各圆的半径和圆心坐标。
(1)x2+y2-6x=0
(2)x2+y2+2by=0
即 (x－3)2+y2=9
圆心为(3，0) ，半径为 3
即x2+(y+b)2=b2
圆心为(0，－b) ，半径为 |b|
3、求经过点A(4,1)、B(－6,3)、C(3,0)
的圆的方程。
解：
设所求的圆的方程为
4D+E+F+17=0
因为点A、B、C在所求的圆上，故有
-6D+3E+F+45=0
3D+F+9=0
D=1
E=-9
F=-12
故所求圆的方程是 x 2+y2 +x - 9y -12=0
圆的方程
（x-a)2+(y-b)2=r2
ｘ2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
知a、b、r
D2+E2+4F>0
配方
互化
作 业
P124
A组 第 6 题
B组 第 3 题
