自贡市一中2019-2020高一上册数学期中考试（含解析）

自贡市一中2019-2020高一上册数学期中考试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集，集合，5，，则=（ ）
A．，2，3， B．，1，2， C． D．，2，
2．函数的定义域为（ ）
A． B．且
C．且 D．
3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
5．已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
6．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
8．函数的单调递增区间为　　
A． B． C． D．
9．若函数在区间上是单调递减的,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．函数的大致图象是（ ）．
A． B．
C． D．
11．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A． B．[1，2] C． D．（0，2]
二、填空题
13．若函数(其中且)，则的图像恒过定点__________．
14．若函数f(x)的定义域是[－1,3]，则函数f(2x－1)的定义域是________
15．已知函数，则函数的解析式为______________.
16．给出下列几种说法：
①若，则；
②若，则；
③为奇函数；
④为定义域内的减函数；
⑤若函数是函数（且）的反函数，且，则，其中说法正确的序号为_________.
三、解答题
17．计算：（1）
（2）
18．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.
（1）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
（2）当A＝{x∈Z|－2≤x≤5}时，求A的非空真子集的个数；
（3）若A∩B＝ ，求实数m的取值范围.
19．已知函数，且时，总有成立．
求a的值；
判断并证明函数的单调性；
求在上的值域．
20．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm．经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ (c，m为常数)．
（1）求c，m的值；
（2）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？
21．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
（1）补充完整图像，写出函数的解析式和其单调区间；
（2）若函数，求函数的最小值．
22．已知函数的定义域为，且满足下列条件：
（）．（）对于任意的，，总有．
（）对于任意的，，，．则
（Ⅰ）求及的值．
（Ⅱ）求证：函数为奇函数．
（Ⅲ）若，求实数的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】
首先确定全集，而后由补集定义可得结果．
【详解】
，1，2，3，4，5，，
，1，2，．
故选：．
【点睛】
本题考查了集合的补集，熟练掌握补集的定义是解决本题的关键
2．B
【分析】
根据使得根式和分式有意义，列出不等式组，求解即可
【详解】
欲使函数有意义只需，解得.
故函数定义域为：且
故选：B
3．D
【分析】
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，则它们是同一函数，对选项逐一判断即可.
【详解】
解：对于A，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
对于B，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
对于C，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
对于D，，，它们的定义域为，对应关系也相同，是同一函数；
故选：D.
4．D
【分析】
直接观察函数的奇偶性和单调性即可判断.
【详解】
A选项：是偶函数，故A错误；
B选项：是非奇非偶函数，故B错误；
C选项：在上是减函数，故C错误；
D选项：既是奇函数又是增函数，故D正确.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：函数奇偶性的判断常用的方法有：（1）定义法；（2）图象法.要结合具体函数灵活选择合适的方法求解.
5．C
【分析】
设幂函数的解析式为,代入求解解析式,进而求得即可.
【详解】
设幂函数的解析式为,代入有,故.
故.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了幂函数的解析式求解以及函数求值,属于基础题.
6．B
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性，即可判断的范围，进而求出结果.
【详解】
由题意可知，,
所以.
故选：B.
7．D
【分析】
根据分段函数解析式，代入即可求解.
【详解】
解：，
则，得，解得．
故选：D
8．D
【分析】
根据复合函数的单调性“同增异减”，注意函数的定义域，转化求解即可．
【详解】
函数，
令，，
则有，在定义域内是增函数，
只需求解，，的增区间即可．
函数开口向上，对称轴．
，，解得或，
增区间为：．
故选D．
【点睛】
本题考查了复合函数的单调性的求解，根据“同增异减”即可求解属于基础题．
9．D
【分析】
求出对称轴，根据二次函数的单调性即可选出答案.
【详解】
函数开口向上.且对称轴为 .
因为函数在区间上是单调递减.
所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查二次函数的单调区间，属于基础题.解本类题型需熟练掌握二次函数单调区间的判断.
10．C
【分析】
先利用定义判断函数定义域和对称性，结合对数函数图象和平移变换作出y轴右侧部分图象，再结合对称性即得到函数图象.
【详解】
函数中，令得定义域为，且，即是偶函数，图象关于y轴对称，当时，，图象可由向右平移一个单位得到（如图所示），
再关于y轴对称得到时的图像，即函数图象为选项C中的图象.
故选：C.
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
11．B
【分析】
由条件可得，当时函数单调递增，当时函数单调递增，再根据时的函数值，得到，求出的取值范围即可．
【详解】
函数是上的增函数，
，解不等式组得：.
所以的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查逻辑思维能力，属于常考题.
12．A
【分析】
由偶函数的性质将化为： ，再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围.
【详解】
解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
所以，
则为，
因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
所以|log2a|≤1，解得a≤2，
则a的取值范围是[，2]，
故选：A.
【点睛】
此题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题.
13．
【分析】
函数(其中且)恒过定点.
【详解】
令，解得，，所以的图像恒过定点.
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
由题意函数的定义域为，则对于函数中，令，即可求解.
【详解】
由题意函数的定义域为，则对于函数中，令，
解得，即函数的定义域为.
【点睛】
本题主要考查了抽象函数的定义域的求解问题，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
15．
【分析】
令，可得，代入化简可得的表达式，由此可得出函数的解析式.
【详解】
令，可得，代入可得.
所以，.
故答案为；.
【点睛】
本题考查利用换元法求函数解析式，考查计算能力，属于基础题.
16．①③
【详解】
试题分析：①，；②，，；③的定义域为，，，，即奇函数；④的定义域为，虽然在每个区间上都是单调减，但是单调减区间不是两个的并集，因为右支比左支高；⑤由题可知，且，，，故正确的是①③
考点：1、函数的定义域；2、函数的奇偶性.3、换底公式.4、函数的单调性．5、反函数．
【方法点晴】本题主要考查的是函数的定义域、函数的奇偶性、换底公式、函数的单调性、反函数，属于难题，①若 ，则 ，考察换底公式；②若 ，则，考察方程的求解；③为奇函数，考察奇偶性的判断；④的定义域为，虽然在每个区间上都是单调减，但是单调减区间不是两个的并集，因为右支比左支高；⑤由题可知，且，，．
17．（1） ；（2）3.
【分析】
（1）根据指数的运算法则性质计算；
（2）根据对数的运算法则及性质运算即可.
【详解】
(1)
(2)
18．（1）{m|m≤3}；（2）254；（3）{m|m<2或m>4}.
【分析】
（1）由A∪B＝A，则B A，再分和，求出的范围；
（2）先求出集合及集合中元素的个数，再求出A的非空真子集的个数；
（3）由A∩B＝ ，分和分析，再结合数轴上表示集合，得到的关系式，求得的取值范围.
【详解】
解（1）因为A∪B＝A，所以B A，
当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；
当B≠ 时，根据题意，可得，解得2≤m≤3.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.
（2）当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
（3）当B＝ 时，由（1）知m<2；
当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或解得m>4.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.
【点睛】
本题考查了由集合的包含关系求参问题，集合的子集个数问题，交集为空集求参问题，特别注意考虑对集合为空集的分析，属于中档题.
19．（1） ； （2）见解析； (3) .
【详解】
试题分析：根据条件建立方程关系即可求a的值；
根据函数单调性的定义判断并证明函数的单调性；
结合函数奇偶性和单调性的定义即可求在上的值域．
试题解析：
，，即，
，
．
函数为R上的减函数，
的定义域为R，
任取，且，
.
．
即
函数为R上的减函数．
由知，函数在上的为减函数，
，
即，
即函数的值域为.
点晴：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.
20．（1）c，m的值分别为128， ；（2） 至少排气32分钟．
【分析】
（1）由已知得当和时，与，代入可求得答案；
（2）根据题意构造不等式，解之即可．
【详解】
解：（1）由题意可得
解得
故c，m的值分别为128，；
（2）由（1）知，令，即，解得t≥32，
即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．
21．（1）作图见解析；；递减区间为、，递增区间为、；（2）．
【分析】
（1）由，可得，运用已知函数解析式和偶函数的定义可得解析式，作出函数的图象，由此分析单调性可得答案；
（2）根据题意，求得的解析式，以及对称轴，讨论区间与对称轴的关系，结合单调性可得最小值．
【详解】
解：（1）根据题意，当时，，可得，
函数是定义在R上的偶函数，可得，
则；函数图象如图：
其递减区间为、，递增区间为、；
（2）当时，，
对称轴为，
当，即时，在递增，可得为最小值，且为；
当，即时，在递减，可得为最小值，且为；
当，即时，的最小值为，且为，
故．
22．（1）； （2）见解析； （3）.
【分析】
（Ⅰ）由题意，对于任意，都有，∴令，即可求解的值；
（Ⅱ）令，得，再令 ，则，进而得到 ，即可得到结论.
（Ⅲ）∵对于任意的，可得为单调增函数，利用单调性把不等式转化为，得∴，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）∵对于任意，都有，
∴令，得 ，∴．
令，则，∴．
（Ⅱ）令，则有，∴，
令 ，则，
∴ ，即： ．
故为奇函数．
（Ⅲ）∵对于任意的，∴为单调增函数，
∵
则
且 ，∴，∴，
∴，即： ，解得或 ．
故实数的取值范围是 ．
【点睛】
本题主要考查了抽象函数的性质的判定与证明，以及利用函数的单调性求解不等式问题，其中解答中合理赋值，正确利用奇偶性的定义判定，以及利用函数的单调性转化不等式是解答的关键，着重考查了转化思想与赋值思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.