2021—2022 学年第一学期期中考试试题
高 二 数 学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题 4 个选项中只有一个符合题目要求）
2
1．命题“ x0 R，x0－x0－1>0”的否定是( )
A． 2 2x R，x －x－1≤0 B． x R，x －x－1>0
C． 2 2x0 R，x0－x0－1≤0 D． x0 R，x0－x0－1≥0
2
2．已知全集为 R，集合 A x | x x 2 0 ，B x | 0 x 3 ，则( RA)∪B＝（ ）
A． 1,3 B． 1,2 C． 0,2 D． 1,3
2x 1, x 2
3．设 f (x) ，则 f(f(2))2 的值为（ ）
log3(x 1), x 2
A．0 B．1 C．2 D．3
4．对于任意实数a，b，c，d ，命题⑴若a b，c 0，则ac bc;⑵若a b，则ac2 bc2;⑶若ac2 bc2，则a b;
1 1
⑷若a b，则 ；⑸若a b 0，c d，则ac bd;
a b
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
x y 4 0,
5．已知实数： x ， y 满足不等式组 x y 2 0, 则 z x 3y 的最小值为（ ）
2x y 5 0,
A．34 B．10 C．6 D．4
6．“x＝1”是“ 2x －2x＋1＝0”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
1
7．已知△ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别a,b,c，若a 1，b 2，sin A ，则sin B （ ）
6
2 1 5 1
A． B． C． D．
3 3 6 2
8．等比数列 an 中， a2 2， a5 16，则 a9 等于（ ）
A．－128 B．128 C．－256 D．256
9．一个袋子装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为 1、2、3、4，从袋中随机抽取两个球，则
取出的球的编号之和等于 5 的概率为（ ）
5 1 2 1
A． B． C． D．
6 6 3 3
1
10．等差数列 an 满足a a S 9 11 3，则 13 （ ）
2
A．6 B．26 C．39 D．78
11．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯
视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是（ ）
4 3 3 1 3
A． B． C． D．
3 6 2 3
12．函数 f (x) 2sin 2x ，则下列选项正确的是（ ）
6
A．当 x＝ 时， f (x)取最大值 B． f (x) 在区间 ，0 单调递增6 3
5
C． f (x)在区间 , 单调递减 D． f (x)的一条对称轴为 x
3 6 12
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
开始
13．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出 x 的值为___________.
n＝1，x＝1
n＝n＋2
14．△ABC 中， AB 3， AC 8， A ，则BC ____________．
3 是
n＜10？ x＝3x－1
n
15．若向量a (m,2)，b (2 n,4)，a∥b，则m ______________.
2 否
1
16．若 a＞2，则 a＋ 的最小值为____________． 输出 x
a－2
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 结束
17．在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若b2 c2 a2 bc ，且bc 8，
（1）求角 A.
（2）求△ ABC 的面积.
18．已知数列 an 为等差数列，且 a3 7 ，a5 3 .
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）求数列 an 的前n项和 Sn 的最大值.
19．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下
表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号 t 1 2 3 4 5
储蓄存款 y 千亿元 5 6 7 8 10
（1）求 y 关于 t 的回归方程 y b t a ；
（2）用所求回归方程预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款．
n
(ti t)( yi y)
参考公式：回归方程 y ＝ b t＋ a 中， b ＝ i 1 ， a ＝ y － b ·t
n
(ti t)2
i 1
20．已知点 N(0，1)，直线 l :3x 4y 0，直线m 过点 N 且与 l 垂直，直线m 交圆 x2 y2 4于两点 A，B .
（1）求直线m 的方程；
（2）求弦 AB 的长.
21．已知等比数列 a nn 的前 项和为 Sn ，且 S2＝a3－a1．
（1）求数列 an 的公比q 的值；
1
（2）记bn log2 an 1，数列 bn 的前n项和为Tn ，若T4 2b5，求数列 的前 9 项和．
bnbn 1
2
22．已知函数 f x ax ax 1 a R
（1）若 f x 0的解是 2 x 3，求实数a 的值
（2）解关于 x 的不等式 f x 2x 3参考答案
一、选择题：
1．【答案】A 2．【答案】D
3．【答案】B 4．【答案】A
5．【答案】C 6．答案 A
7．【答案】B 8．【答案】C
9．【答案】D 10．【答案】D
11．【答案】B 12．【答案】C
二、填空题：
13.122
14.7
15．A
16．小 3
三、解答题：
17．【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）由，得，
∴，，可得.
（2）.
18．【答案】（1）；（2）36.
【详解】
解：因为为等差数列，令其公差为，
则由题意得，
得，
故
，
即的通项公式为.
（2）由（1）知，，
故
，
所以当，的最大值为.
19．【答案】（1）；（2）千亿元
【详解】
由题意可得：，，
，
，
所以，，
则线性回归方程为；
（2）时，（千亿元），
即用所求回归方程预测该地区年的人民币储蓄存款约为千亿元.
20．【答案】（1）；（2）.
解：（1）直线的斜率为，则直线的斜率为，又过点，由点斜式方程可知直线为：，即.
（2）直线与圆相交，则圆心到直线的距离为：，圆的半径为，所以弦长.
21．【答案】（1）或2；(2) .
试题分析：（1）由题意得，设等比数列的通项公式，利用条件S2＝a3－a1即可求解；（2）由（1）可得到数列的通项公式，再由,求出数列的通项公式，裂项即可求解.
试题解析： （1）由是等比数列，则，
由题知公比（否则与S2＝a3－a1矛盾），
由S2＝a3－a1，
得＝a1q2－a1，则q2－q－2＝0，
解得或2；
（2）由题意知q取值为2，
则，
所以数列是一个公差为1的等差数列，
由得，
解之得，即，
所以数列的前9项和，
．
22．【答案】（1）；（2）答案见解析.
解：(1)当时，故在上恒成立，故；
当时，由的解是可知为方程的两个根，利用韦达定理可得，解得，带回检验；
故满足条件的实数.
（2）
∴
方程
①当时，，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为
④当时，不等式无解，解集为；
⑤当时，不等式的解集为.
