第九章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】B
【解析】依题意，在△DEC 中，DC 1， EC 12 22 5 ， CDE 45 90 135 ，
DC EC DC sin CDE 1 sin135 10
由正弦定理得 ，在△CDE 中， sin CED 。
sin CED sin CDE EC 5 10
2.【答案】B
b22 2 2 c
2 2a 1
【解析】由 (a b c)(b c a) 3bc ，得 (b c)2 a2 3bc ，即b c a bc ，又ocs A ，
2bc 2
又 A 为△ABC 的内角， A 。
3
3.【答案】C
【解析】由 2 2 ，得 c2 a2 b2 2ab 6 ，又 c2 a2 b2 2abcosC a2 b2c (a b) 6 ab，
1 1 3 3 3
6 2ab ab， ab 6 ， S△ABC absinC 6 。
2 2 2 2
4.【答案】C
a2 b2 c2
【解析】因为△ABC 的三条边分别为 a、b、c，三角形面积为 S ，
4
1 2abcosC
所以 absinC ，整理得 tan C 1，由于0＜C＜ ，所以C 。
2 4 4
5.【答案】B
【解析】如图，设行驶 15 分钟后，甲行驶到点 M，乙行驶到点 N，
15 15
由题意知 AM 8 2， BN 12 3，MB AB AM 3 2 1
60 60
1
所以由余弦定理得MN 2 MB2 BN 2 2MB BN cos120 1 9 2 1 3 13，所以MN 13 km 。
2
6.【答案】30°
b c csin B 2 1
【解析】由正弦定理得 ， sinC ，又 c＜b， C 30 。
sin B sinC b 2 2
3
7.【答案】
4
a b
【解析】 bsin A acos B 0， ，由正弦定理，得 cos B sin B ， tan B 1，又B
sin A cos B
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3
（0， ）， B 。
4
8.【答案】
6
【解析】由正弦定理及 sinC 2 3sin B 得 c 2 3b， a2 b2 3bc ， a2 b2 3 b 2 3b，即 a2 7b2 ，
b2 c2 a2 b2 (2 3b)2 7b2 3
由余弦定理得 cos A ，又0＜A＜ ， A 。
2bc 2b 2 3b 2 6
9.【答案】6 3
【解析】由余弦定理得b2 a2 c2 2accos B ；
又 b 6 ， a 2c ， B ；
3
36 4c2 c2 2 2c2
1
；
2
c 2 3 ， a 4 3 ；
1 1 3
S△ABC acsin B 4 3 2 3 6 3 。
2 2 2
10.【答案】
4
【解析】设 AB c ， BC a ， AC b ；
则 | BC |2 CA CB 2S ；
a2 abcosC absinC ，即 a bsinC bcosC ；
由正弦定理得 sin A sin Bsin C sin BcosC ；
又 sin A sin(B C) sin BcosC cos BsinC ；
sin B cos B ，即 tan B 1，又0＜B＜ ， B 。
4
1
11.【答案】（1）在△ABC 中，因为 cos B ；
7
2 4 3所以 sin B 1 cos B ；
7
asin B 3
由正弦定理得 sin A ；
b 2
由题设知 ＜ B＜ ，所以0＜ A＜ ；
2 2
所以 A 。
3
3 3
（2）在△ABC 中，因为 sinC sin(A B) sin Acos B cos Asin B ；
14
3 3 3 3
所以 AC 边上的高为 asinC 7 。
14 2
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BD AB
12.【答案】（1）在△ABD 中，由正弦定理得 ；
sin A sin ADB
5 2 2
即 ，所以 sin ADB ；
sin 45 sin ADB 5
2 23
由题设知， ADB＜90 ，所以 cos ADB 1 。
25 5
2
（2）由题设及（1）知， cos BDC sin ADB ；
5
2
在△BCD中，由余弦定理得 BC2 BD2 DC2 2BD DC cos BDC 25 8 2 5 2 2 25 ；
5
所以 BC 5 。
13.【答案】（1）由 2asin A (2 b c)sin B (2c b)sinC 及正弦定理；
得 2a2 2 2 2 (2b c)b (2c b)c ，即bc b c a ；
b2 c2 a2 1
cos A ， A 60 。
2bc 2
（2） A B C 180 ， B C 180 60 120 ；
由 sin B sinC 3 ，得 sin B sin 120 B 3 ；
sin B sin120 cos B cos120 sin B 3 ；
3 3
sin B cos B 3 ，即 sin B 30 1；
2 2
0 ＜B＜120 ， 30 ＜B 30 ＜150 ；
B 30 90 ， B 60 ；
A B C 60 ，△ABC 为等边三角形。
14.【答案】如右图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时 x海
里，则 BC 0.5x ， AC 5；
依题意， BAC 180 38 22 120 ；
由余弦定理可得 BC 2 AB2 AC 2 2AB AC cos120 ，所以 BC 2 49， BC 0.5x 7，解得 x 14 ；
3
5
AC sin BAC 5 3
又由正弦定理得 in ABC 2 ，所以 ABC 38 ；
BC 7 14
又 BAD 38 ，所以 BC∥AD，故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该
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走私船。
高中数学 必修第四册 4 / 4第九章综合测试
一、选择题
1.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE 1，连接 EC，ED，则 sin CED （ ）
3 10 10
A. B.
10 10
5 5
C. D.
10 15
2.在△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 (a b c)(b c a) 3bc ，则 A 等于（ ）
A. B.
6 3
2
C. D.
4 3
3.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 c2 (a b)2 6 ，C ，则△ABC 的面积为
3
（ ）
9 3
A.3 B.
2
3 3
C. D. 3 3
2
a2 b2 c2
4.设△ABC 的三条边分别为 a、b、c，三角形面积为 S ，则 C 为（ ）
4
A. B.
6 3
C. D.
4 2
5.甲船在湖中 B 岛的正南 A 处，AB 3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从 B 岛出发，
以12 km/h 的速度向北偏东 60°方向驶去，则行驶 15 分钟时，两船的距离是（ ）
A. 7 km B. 13 km
C. 19 km D. 10 3 3 km
二、填空题
6.在△ABC 中，已知b 2 ， c 1， B 45 ，则角C ________。
7.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知bsin A acos B 0 ，则 B ________。
8.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a ， b ， ，若 a2 b2c 3bc，且 sinC 2 3sin B ，则角 A
________。
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9.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若b 6，a 2c ，B ，则△ABC 的面积为________。
3
2
10.已知△ABC 的面积为 S，且 | BC | CA CB 2S ，则 B ________。
三、综合题
1
11.在△ABC 中， a 7 ，b 8 ， cos B 。
7
（1）求 A；
（2）求 AC 边上的高。
12.在平面四边形 ABCD 中， ADC 90 ， A 45 ， AB 2， BD 5。
（1）求 cos ADB；
（2）若DC 2 2 ，求 BC。
13.在△ABC 中， a ，b ， c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A 2b c sin B 2c b sinC 。
（1）求角 A 的大小；
（2）若 sin B sin C 3 ，试判断△ABC 的形状。
14.已知岛 A 南偏西 38°方向，距岛 A3 海里的 B 处有一艘缉私艇，岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/小时
的速度向岛北偏西 22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？
5 3 3 3
参考数据: sin38 , sin 22
14 14
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