第九章综合测试
一、选择题
1.在△ABC 中，若 AB 13 ， BC 3 ， C 120 ，则 AC （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5
2.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c ，若 a b， A 2B，则 cos B （ ）
2
5 5 5 5
A. B. C. D.
3 4 5 6
3.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若 c 2 ，b 6 ， B 120 ，则 a 等于（ ）
A. 6 B.2 C. 3 D. 2
a2 b2 c2
4.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 若△ABC 的面积为 ，则C （ ）
4
A. B. C. D.
2 3 4 6
2 2 2
5.△ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，则“△ABC 为锐角三角形”是“ a b ＞c ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河
流的宽度 BC 等于（ ）
A. 240( 3 1) m B.180( 2 1) m C.120( 3 1) m D. 30( 3 1) m
7. 在 △ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边分 别 为 a，b，c ， 若 △ABC 为 锐 角 三 角 形 ， 且 满 足
s i nB ( 1 2 cCo s ) A2 s i nC c o s A c，Co则s 下s列i等n 式成立的是（ ）
A. a 2b B. b 2a C. A 2B D. B 2A
8.已知△ABC 中， a，b， c分别为角 A，B，C 所对的边，且 a 4 ， b c 5 ， tan A tan B 3
3 tan A tan B ，则△ABC 的面积为（ ）
3 3 3
A. B. 3 3 C. D. 3
2 2
高中数学 必修第四册 1 / 4
9.在△ABC 中，内角 A，B， 2 2C 所对应的边分别为 a，b，c 若 c (a b) 6 ，C 则△ABC 的面积（ ）
3
9 3 3 3
A.3 B. C. D. 3 3
2 2
10.将一根长为12 m的铁管 AB 折成一个 60°的角 ACB ，然后将 A、B 两端用木条封上，从而构成三角形
ACB 在不同的折法中，△ABC 面积 S 的最大值为（ ）
A.9 B. 9 3 C.18 D.18 3
11.已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，△ABC 的外接圆的面积为 3 ，且
cos2 A cos2 B co2sC 1 sinA siCn，则△ABC 的最大边长为（ ）
A.2 B.3 C. 3 D. 2 3
12.如图，有四座城市 A、B、C、D，其中 B 在 A 的正东方向，且与 A 相距120 km，D 在 A 的北偏东 30°
方向，且与 A 相距60 km ；C 在 B 的北偏东 30°方向，且与 B 相距60 13 km ，一架飞机从城市 D 出发以
360 km/h 的速度向城市 C 飞行，飞行了15 min ，接到命令改变航向，飞向城市 B，此时飞机距离城市 B 有
（ ）
A.120 km B. 60 6 km C. 60 5 km D. 60 3 km
二、填空题
13.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，已知bsin A acos B 0 ，则 B ________。
14.如图，在离地面高 200 m 的热气球 M 上，观察到山顶 C 处的仰角为 15°，山脚 A 处的俯角为 45°，已知
BAC 60 ，则山的高度 BC 为________ m 。
15.如图在平面四边形 ABCD 中， A B C 75 ， BC 2，则 AB 的取值范围是________。
高中数学 必修第四册 2 / 4
16.在△ABC 中， ACB 60 ， BC＞2， AC AB 1，当△ABC 的周长最短时，BC 的长是________。
三、解答题
1
17.在△ABC 中， a 3，b c 2， cos B 。
2
（1）求b ， c 的值；
（2）求 sin(B C)的值。
18.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 已知 sin A 3 cos A 0， a 2 7 ，b 2。
（1）求角 A 和边长 c ；
（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC ，求△ABD 的面积。
cos A cos B sinC
19.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c ，且 。
a b c
（1）证明： sin Asin B sin C ；
（ ）若b2 c2
6
2 a2 bc ，求 tan B。
5
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20.在△ABC 角中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 asin B 3bcos A。
（1）求角 A；
（2）若△ABC 的面积为 2 3 ， a 5，求△ABC 的周长。
ccos B
21.在△ABC 中， a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 3 bsinC a 。
tanC
（1）求角 A；
（2）若△ABC 的内切圆面积为 4 ，求△ABC 面积 S 的最小值。
22.如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下上至 C 处有两种路径，一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先
从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C。现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，
速度为50 m/min ，在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留1 min 后，再从 B 匀速步行到 C，
12 3
假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路 AC 长为1 260 m ，经测量 cos A ， cosC 。
13 5
（1）求索道 AB 的长；
（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？
高中数学 必修第四册 4 / 4第九章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】A
【解析】余弦定理 AB2 BC 2 AC 2 2BC AC cosC 将各值代入， AC 2 3AC 4 0 ，
解得 AC 1或 AC 4 （舍去）选 A。
2.【答案】B
5 5
【 解 析 】 在 △ABC 中 a b ， 由 正 弦 定 理 可 得 sin A sin B ① ， 又 A 2B ，
2 2
5 5
sin A sin 2B 2sin Bcos B ②，由①②可得 sin B 2sin Bcos B，可得 B ，故选 B。
2 4
3.【答案】D
2 2
【解析】由余弦定理，得b2 a2 c2 2accos B ，则6 a2 2 a ，即 a2 a 4 0 ，解得 a 2
2 2
或 a 2 2 （舍）。
4.【答案】C
1 a2 b2 c2
【解析】由题可知 ，所以 a2 b2S△ c
2 2absinC ，
ABC absinC
2 4
由余弦定理 a2 b2 c2 2abcosC ，
所以 sin C cosC ，
C (0， ) ，
C ，故选 C。
4
5.【答案】A
【解析】当△ABC 为锐角三角形时， 2 2 2C 一定为锐角，此时 a b ＞c 成立，
当 a2 b2＞c2 成立时，由余弦定理可得 cosC＞0 ，即 C 为锐角，但此时△ABC 形状不能确定，
故△ABC 为“三角形”是“ a2 b2＞c2 ”的充分不必要条件，故选：A。
6.【答案】C
60 AB BC
【解析】 AC 120 ， AB ， ，
sin 75 sin30 sin 45
ABsin 45 60 2
所以 BC 120( 3 1) ，故选 C。
sin30 sin 30 45
7.【答案】A
【解析】 sin(A C) 2sin BcosC 2sin AcosC cos AsinC ，
所以 2sin BcosC sin AcosC 2sin B sin A 2b a ，选 A。
高中数学 必修第四册 1 / 7
8.【答案】C
【解析】因为 tan A tan B 3 3 tan A tan B ，
所以 tan A tan B 3(1 tan A tan B) ，
tan A tan B
即 tan(A B) 3 ，
1 tan A tan B
2
所以 A B ，C ，
3 3
又因为 a 4 ，b c 5，
1
所以 (5 b)2 42 b2 2 4b ，
2
3 1 3 3 3 3
解得b ，则△ABC 的面积为 S 4 。
2 2 2 2 2
故选 C。
9.【答案】C
【解析】因为 c2 (a b)2 6 ，C ，所以由余弦定理得：c2 a2 b2 2abcos ，即 2ab 6 ab ，
3 3
1 3 3 3
ab 6，因此△ABC 的面积为 absinC 3 ，故选 C。
2 2 2
10.【答案】B
【解析】设 AC x ，0＜x＜12，则 BC 12 x ，
2
1 3 3 x 12 x
S x(12 x)sin60 x(12 x)≤ 9 3 ，当且仅当 x 12 x ，即 x 6 时取等号，S
2 4 4 2
最大值为9 3 ，故选 B。
11.【答案】B
【解析】△ABC 的外接圆的面积为 R2 3 ， R 3 ，
cos2 A cos2 B cos2 C 1 sin Asin C ，
则1 sin2 A 1 sin2 B 1 sin2 C 1 sin Asin C ，
sin2 A sin2 B sin2 C sin AsinC 0，根据正弦定理： a2 c2 b2 ac 0 ，
1
根据余弦定理： a2 c2 b2 2accos B ac ， cos B ， B 120 ，
2
故 b 为最长边：b 2R sin B 3，故选 B。
12.【答案】D
【解析】取 AB 中点 E，连 DE 设飞机飞行了 15 分钟到达 F 点，连 BF 如图所示：则 BF 为所求。
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因为 E 为 AB 中点，且 AB 120 km ，所以 AE 60 km ，
又 DAE 60 ， AD 60 km ，所以三角形 DAE 为等边三角形，所以DE 60 km ， ADE 60 ，
在等腰三角形 EDB 中， DEB 120 ，所以 EDB EBD 30 ，
所以 ADB 90 ，由勾股定理得 BD2 AB2 AD2 1202 602 10800，
所以 BD 60 3 km，
因为 CBE 90 30 120 ， EBD 30 ，所以 CBD 90 ，
所以CD BD2 BC 2 10800 602 13 240 km ，
BD 60 3 3
所以 cos BDC ，
CD 240 4
1
因为 DF 360 90 km，
4
所以在三角形 BDF
3
BF 2 BD2 DF 2 2 BD DF cos BDF (60 3)2 902 2 60 3 90 10800 ，
4
所以 BF 60 3 km ，
故一架飞机从城市 D 出发以360 km/h 的速度向城市 C 飞行，飞行了15 min ，接到命令改变航向，飞向城
市 B，此时飞机距离城市 B 有60 3 km。故选 D。
二、
3
13.【答案】
4
【解析】由正弦定理，得 s i nB s iAn sAi n cB o s ， 0A (0， ) ， B (0， ) ， sin A 0 得
3
sin B cos B 0，即 tan B 1， B ，故选 D。
4
14.【答案】300
【 解 析 】 在 △D A M中 DM 200 ， AM 200 2 ， △AMC 中 A 75 ， C 45 ， M 60
AM AC 600
， AC ， BC 300 。
sin 45 sin 60 3
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15.【答案】 ( 6 2， 6 2)
【解析】如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在△BCE 中，
BC BE 2 BE
B C 75 ， E 30 ， BC 2 ，由正弦定理可得 ，即 ，解得
sin E sin C sin 30 sin 7 5
BE 6 2 ，平移 AD，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此时与 AB 交于 F，在△BCF 中， B BFC 75 ，
BF BC BF 2
FCB 30 ，由正弦定理知， ，即 ，解得 BF 6 2 ，所以 AB
sin FCB sin BFC sin30 sin75
的取值范围为 ( 6 2， 6 2)。
16.【答案】12 2
a2 b2 c2 1
【解析】设 A，B，C 所对的边 a，b，c ，根据余弦定理可得 cosC ，
2ab 2
所以 a2 b2 c2 ab
将b c 1代入上式，可得 a2 2c 1 ac a ，
a2 a 1
化简可得 c ，
a 2
a2 a 1
所以△ABC 的周长 L a b c a 2c 1 a 1 2 ，
a 2
设 a 2 t ， (t＞0) ，则 a t 2 ，
(t 2)2 (t 2) 1 6 6
可得 L t 3 2 3t 9≥2 3t 9 9 6 2 ，
t t t
6
当且仅当3t ，即 t 2 此时 a 2 2 ，
t
可得周长的最小值为9 6 2 ，BC 的长是 2 2 ，故答案为： 2 2 。
三、
a2 c2 b2 1
17.【答案】（1）由余弦定理可得 cos B ，
2ac 2
b 7
因为 a 3，所以 c2 b2 3c 9 0；因为b c 2，所以解得 。
c 5
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b2 c2 a2 13
（2）由（1）知 a 3，b 7， c 5 ，所以 cos A ；
2bc 14
3 3
因为 A 为△ABC 的内角，所以 sin A 1 cos2 A ，
14
3 3
因为 sin(B C) sin( A) sin A 。
14
2
18.【答案】（1） sin A 3 cos A 0 ， tan A 3 ， 0＜A＜ ， A ，由余弦定理可得
3
a2 b2 c2
1
2bccos A，即 228 4 c2 2 2c ，即 c 2c 24 0 ，解得 c 6 （舍去）或 c 4 ，
2
故 c 4。
（ ） c2 22 b a2 2abcosC ， 16 28 4 2 2 7 2 cosC ，
2 AC 2
cosC ， CD 7 ，
7 cosC 2
7
1 1 1 3
CD BC ， S△ABC AB AC sin BAC 4 2 2 3 ，
2 2 2 2
1
S△ABD S△ 。 ABC 3
2
a b c
19.【答案】（1）根据正弦定理，设 k(k＞0)，则 a k sin A，b k sin B ，c k sinC ，
sin A sin B sinC
cos A cos B sinC cos A cos B sinC
代入 中，有 ，
a b c k sin A k sin B k sinC
变形可得 sin Asin B sin Acos B cos Asin B sin(A B)，
在△ABC 中，由 A B C ，有 sin(A B) sin( C) sin"C ，所以 sin Asin B sin C 。
6 b2 c2 a2 3 4
（2）由已知，b2 c2 a2 bc ，根据余弦定理，有 cos A ，所以 sin A 1 cos2 A ，
5 2bc 5 5
4 4 3 sin B
由（1）， sin A sin B sin'' A cos B cos A sin B ，所以 sin B cos B sin B ，故 tan B 4。
5 5 5 cos B
20.【答案】（1）由题意，在△ABC 中，因为 asin B 3bcos A，
由正弦定理，可得 sin Asin B 3sin B cos A，
又因为 B (0， ) ，可得 sin B 0 ，
所以 sin A 3 cos A，即： tan A 3 ，
因为 A (0， ) ，所以 A 。
3
（2）由（1）可知 A ，且 a 5，
3
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1 3
又由△ABC 的面积 2 3 bcsin A bc，解得bc 8 ，
2 4
由余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A，可得： 25 b2 c2 bc (b c)2 3bc (b c)2 24，
整理得 (b c)2 49，解得：b c 7 ，
所以△ABC 的周长 a b c 5 7 12 。
ccos B
21.【答案】（1）因为 3 bsinC a ，
tanC
所以 3(sin BsinC cos BcosC) sin A，
即 3 cos(B C) sin A，所以 3 cos A sin A，即 tan A 3 ， A 。
3
（2）由题意知△ABC 内切圆的半径为 2，
如图，内切圆的圆心为 I，M、N 为切点，则 AI 4， AM AN 2 3 ，
从而 a b c 4 3 ，由余弦定理得 (b c 4 3)2 b2 c2 bc ，
整理得3bc 48 8 3(b c)≥16 3 bc ，
16 1 1 3
解得bc≥48或bc≤ （舍去），从而 S bcsin A≥ 48 12 3 ，
3 2 2 2
即△ABC 面积 S 最小值为12 3 。
12 3 5 4
22.【答案】（1）在△ABC 中，因为 cos A ， cosC ，所以 sin A ， sinC ，
13 5 13 5
5 3 12 4 63
从而 sin B sin[ (A C)] sin(A C) sin AcosC sinC cos A ，
13 5 13 5 65
AB AC AC 1260 4
由正弦定理 ，得 AB sinC 1040 m 。
sinC sin B sin B 63 5
65
（2）假设乙出发 t min 后，甲、乙两游客距离为 d ，此时，甲行走了 (100 50t) m ，乙距离 A 处130t m ，
12
所以由余弦定理得 d 2 (100 50t)2 (130t)2 2 130t (100 50t) 200 37t 2 70t 50 ，
13
1040 35
由于0≤t≤ ，即0≤t≤8 ，故当 t min 时，甲、乙两游客距离最短。
130 37
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BC AC AC 1260 5
（3）由正弦定理 ，得 BC sin A 500 m ，
sin A sin B sin B 63 13
65
乙从 B 出发时，甲已走了50 (2 8 1) 550(m) ，还需走710 m 才能到达 C，
500 710 1250 625
设乙步行的速度为 v m/min ，由题意得 3≤ ≤3，解得 ≤v≤ ，
v 50 43 14
1250 625
所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在 ， （单位：m/min ）
43 14
范围内。
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