第十一章综合测试
基础练习
一、单选题
1.如图，四棱锥 P ABCD ，AC BD O，M 是 PC 的中点，直线 AM 交平面PBD于点 N ，则下列结论
正确的是（ ）
A.O，N，P，M 四点不共面 B.O，N，M，D 四点共面
C.O，N，M 三点共线 D.P，N，D 三点共线
2.如图，直三棱柱 ABC A B C 中，AA AB AC BC ，则异面直线1 1 1 1 AB 和 BC 所成角的余弦值为（ ） 1 1
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 2 4 4
3.如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
A. AC BD B. AC∥截面 PQMN
C. AC BD D.异面直线PM 与BD所成的角为 45
4.设 E，F 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱 DC 上两点，且 AB 2，EF 1，给出下列四个命题：
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①三棱锥D1 B1EF 的体积为定值；
②异面直线D1B1与EF 所成的角为 45 ；
③ D1B1 平面 B1EF ；
④直线D1B1与平面D1EF 所成的角为60 。
其中正确的命题为（ ）
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
5.在如图的正方体 ABCD A B C D 中，AB 3，点M 是侧面 BCC B 内的动点，满足 AM BD '，设 AM
与平面 BCC B 所成角为 ，则 tan 的最大值为（ ）
2 4 3A. B. 2 C. D.
2 3 4
二、填空题
6.在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA 面 ABCD，PA AB 4，E，F，H 分别是棱 PB，
BC，PD 的中点，过 E，F，H 的平面交棱 CD 于点 G，则四边形 EFGH 面积为________。
7.如图，在四面体 ABCD 中，若截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的是________。
① AC∥面 PQMN；② AC BD；③BD∥面 PQMN；④ AC BD
高中数学 必修第四册 2 / 6
8.已知：如图，在60 的二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面用的两个半平面内，且
都垂直 AB，已知 AB 4, AC 6, BD 8，则CD ________。
三、解答题
9.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E，F 分别是 B1C1，AB，AA1 的中点。
（1）求证：EF∥平面 A1BD；
（2）若 A1B1 A1C1 ，求证：平面A1BD 平面BB1C1C 。
10.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与棱 PD 交于点
F。
（1）求证： AB∥EF ；
（2）若PA AD，且平面PAD 平面 ABCD ，试证明 AF 平面 PCD ；
（3）在（2）的条件下，线段 PD 上是否存在点 M，使得EM 平面 PCD ？（直接给出结论，不需要说明
理由）
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提升练习
一、单选题
1.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，P Q R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点，那么正方体的过 P、Q、R 的截面图
形是（ ）
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
1
2.如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E、F，且 EF ，则下列结论中
2
正确的个数为
① AC BE ；
② EF∥平面ABCD ；
③三棱锥 A—BEF 的体积为定值；
④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等。
A.4 B.3 C.2 D.1
3.在棱长为 l 的正方体 ABCD A B C D 中，点 P1，P2 分别是线段 AB1，BD1（不包括端点）上的动点，且线1 1 1 1
段 PP 平行于平面 A ADD ，则四面体1 2 1 1 P1P AB 的体积的最大值是（ ） 2 1
1 1 1 1
A. B. C. D.
24 12 6 2
4.已知正方体 ABCD A B C D ，过顶点 A 作平面 ，使得直线 AC 和 BC 与平面 所成的角都为60 ，这1 1 1 1 1 1
样的平面 可以有（ ）
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
5.如图，平面四边形 ABCD 中，E，F 是 AD，BD 中点， AB AD CD 2，BD 2 2 ， BDC 90 ，
将△ABD 沿对角线 BD 折起至△A BD ，使平面 A BD 平面 BCD，则四面体 A BCD 中，下列结论不正确
的是（ ）
高中数学 必修第四册 4 / 6
A. EF∥平面 A BC
B.异面直线 CD 与 A B 所成的角为90
C.异面直线 EF 与 A C 所成的角为 60
D.直线 A C 与平面 BCD 所成的角为30
二、填空题
6.如图， 450 的二面角的棱上有两点 A，B，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于
AB，已知 AB 2， AC 2 ，BD 4，则CD ________。
7.如图所示，在直角梯形 BCDF 中， CBF BCE 90 ，A、D 分别是 BF、CE 上的点， AD//BC ，且
AB DE 2BC 2AF （如图①），将四边形 ADEF 沿 AD 折起，连接 BE、BF、CE（如图②），在折起的
过程中，则下列表述：
① AC // 平面 BEF ；
②四点 B、C 、 E 、 F 可能共面；
③若 EF CF ，则平面 ADEF 平面 ABCD ；
④平面 BCE 与平面 BEF 可能垂直，其中正确的是________。
8.在边长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点E 平面 AA1B1B ，点 F 是线段 AA1的中点，若D1E CF ，
则线段 D1E 的最小值为________。
三、解答题
9.如图，AB为圆O 的直径，点 E ，F 在圆O 上， AB / /EF ，矩形 ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已
知 AB 2，EF 1。
高中数学 必修第四册 5 / 6
（Ⅰ）求证：平面DAF 平面CBF ；
（Ⅱ）求直线 AB与平面CBF 所成角的大小；
10.如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，
AB AE， FA FE ， AEF 45 。
（1）设线段CD、AE 的中点分别为 P、M ，求证：PM∥平面 BCE ；
（2）求二面角F BD A所成角的正弦值。
高中数学 必修第四册 6 / 6第十一章综合测试
答案解析
基础练习
一、
1.【答案】D
【解析】直线 AC 与直线 PO 交于点 O，所以平面 PCA 与平面 PBD 交于点 O，所以必相交于直线 PO，直
线 AM 在平面 PAC 内，点 N AM 故 N 面 PAC，故 O，N，P，M 四点共面，所以 A 错，点 D 若与
M，N 共面，则直线 BD 在平面 PAC 内，与题目矛盾，故 B 错，O，M 为中点，所以OM∥PA，
ON PA P ，故ON OM O，故 C 错，
故选 D。
2.【答案】D
【解析】连接 B1C 交 BC1于点O ，取 AC 中点 D ，连接OD ，
设 AA1 AB AC BC 2 ，
三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱， 四边形 BCC1B1为矩形，
1 1
O为 B1C 中点， DO//AB1 且 DO AB1 4 4 2 ，
2 2
1 2 2 5 1
又 DC 4 1 5 ，OC1 BC1 21 ， cos DOC1 ， 2 2 2 2 4
1
异面直线 AB1 和 BC1所成角的余弦值为 cos DOC1 ，
4
故选：D。
3.【答案】C
【解析】因为截面 PQMN 是正方形，所以 PQ∥MN 、QM∥PN ，
则 PQ∥平面ACD 、QM∥平面BDA，
高中数学 必修第四册 1 / 10
所以 PQ∥AC ，QM∥BD ，
由 PQ QM 可得 AC BD ，故 A 正确；
由 PQ∥AC 可得 AC∥截面PQMN ，故 B 正确；
异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角，故 D 正确；
综上 C 是错误的，
故选 C。
4.【答案】A
1 1 1 2
【解析】如图所示，三棱锥 D1 B1EF 的体积为V S D EF ·B1C1 2 2 1 为定值，①正确；
3 1 3 2 3
EF∥D1C1 ， B1D1C1是异面直线D1B1与 EF 所成的角为 45 ，②正确；
若 D1B1 平面 B1EF ，则D1B1 EF ，而 EF∥D1C1 故D1B1 D1C1，而D1B1与 D1C1 所成角为 45 ，③错
误；
平面 D1EF 即为平面 D1C1CD，故直线D1B1与平面D1EF 所成的角是为 C1D1B1 45 ，④错误。
综上，正确的命题序号是①②。
故选：A。
5.【答案】B
【解析】如图，连结 AB ， B C ， AC ，易证得 BD 平面 ACB ，因为 AM BD 所以 AM 平面
ACB ，又因为M 平面 BCC B ，所以M 在 B C 上移动，如图 AB 平面 BCC B ，所以 AMB ，在
AB 3 2
Rt△AMB 中， tan ，当BM 最小时， tan 最大，即当BM B C 时，BM 最小，值为 ，所
BM 2
3
tan max 2
以 3 2 。
2
故选：B。
二、
6.【答案】 4 6
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1
【解析】设 G 是 CD 中点，由于 E，F，H 分别是棱 PB，BC，PD 的中点，所以 EF∥PC ，EF PC ，
2
1
HG∥PC ， HG PC ，所以 EF∥HG ， EF HG ，所以四边形 EFGH 是平行四边形，由于PA 平面
2
ABCD ，所以PA BD，而 BD AC ， PA AC A，所以BD 平面 PAC ，所以 BD PC ，由于
FG∥BD ，所以 BG PC ，也即 FG EF ，所以四边形 AFGH 是矩形。
1 1
而 EF PC 2 3 ， FG BD 2 2 ，
2 2
从而 SEFGH 2 3 2 2 4 6 ，
故答案为： 4 6 。
7.【答案】①③④
【解析】①项，截面 PQMN 为正方形，则有QM PQ 且 PQ∥MN ，所以 PQ / / 平面DAC ，又 PQ 面
ABC，面ABC 面DAC AC ，所以 PQ//AC ，又 PQ 平面 PQMN ， AC 平面 PQMN ，所以 AC // 平
面 PQMN ，故①项正确；
②项，由④项得出 AC BD ，但不能得出 AC BD，故②项是错误的；
③项，截面 PQMN 为正方形，则有 PN∥QM ，所以 PN // 平面 BDC ，又 PN 面 ABD，
面ABD 面DBC BD ，所以 PN //BD ，又 PN 平面 PQMN ，BD 平面 PQMN ，所以 BD// 平面
PQMN ，故③项正确；
④项，由①，③可得 PQ//AC ， PN //BD ，又 PQ PN ，所以 AC BD ，故④正确；
故答案为：①③④。
8.【答案】 2 17
【解析】CD CA AB BD ，所以
2 2 2 2 2
CD CA AB BD CA AB BD 2 CA AB CA BD AB BD
2
16 36 64 2 0 6 8 cos 0 116 48 68 ，所以 CD 2 17 ，故填： 2 17 。
3
高中数学 必修第四册 3 / 10
三、
9.【答案】（1）因为 E，F 分别是 AB，AA1的中点，所以 EF∥A1B，
因为 EF 平面A1BD ， A1B 平面A1BD ，所以 EF∥平面A1BD 。
（2）在直三棱柱 ABC—A1B1C1中， BB1 平面A1B1C1，因为 A1D 平面A1B1C1 ，所以 BB1 A1D，
因为 A1B1 A1C1 ，且 D 是 B1C1 的中点，所以 A1D B1C1，
因为 BB1 B1C1＝B1，B1C1， BB1 平面BB1C1C ，所以 A1D 平面BB1C1C ，
因为 A1D 平面A1BD ，所以平面 A1BD 平面BB1C1C 。
10.【答案】（1） 底面 ABCD 是菱形， AB∥CD ，又 AB 面 PCD ，CD 面 PCD ， AB∥面
PCD，又 A，B，E，F 四点共面，且平面 ABEF 平面 PCD EF ， AB∥EF ；
（2）在正方形 ABCD 中，CD AD ，又 平面 PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD 平面 ABCD AD ，
CD 平面PAD，又 AF 平面PAD， CD AF ，由（1）可知 AB∥EF ，
又 AB∥CD ， CD∥EF ，由点 E 是棱 PC 中点， 点 F 是棱 PD 中点，
在△PAD 中， PA AD ， AF PD，又 PD CD D， AF 平面 PCD ；
（3）若存在符合题意的点M ： EM 平面 PCD ， EM 平面 PBC ， 平面 PBC 平面PCD ，而这
与题意矛盾了， 不存在。
提升练习
一、
1.【答案】D
【解析】由已知的三点 P、Q、R，确定截面的一条边 PQ，延长 PQ 交 BC 于一点，连接该点与点 R 即可
得到与棱 BB1 的交点 M，利用公理 3 确定交线 RM，PM，同样的方法找出其它交线，即可得到截面如图
所示：
故选：D。
2.【答案】B
【解析】①中 AC BE ，由题意及图形知， AC 面DD1B1B ，故可得出 AC BE ，此命题正确；②
高中数学 必修第四册 4 / 10
EF∥平面ABCD ，由正方体 ABCD—A1B1C1D1 的两个底面平行，EF 在其一面上，故 EF 与平面 ABCD 无
公共点，故有 EF∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥 A—BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形
知，三角形 BEF 的面积是定值，A 点到面 DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥 A—BEF 的体积为定值，此
命题正确；④由图形可以看出，B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF
的面积相等不正确。
3.【答案】A
【解析】由题意在棱长为 l 的正方体 ABCD A B 中，点 P ， P 分别是线段 上的动点，且线1 1C1D1 1 2 AB, BD1
段 PP 平行于平面 A ADD ，设 ，即 PP 2x ， P 到平面 的距1 2 1 1, P1P2B AD1B P1B x, x (0,1) 1 2 2 AA1B1B
1 1 1 1
离为 x，所以四棱锥 P1P AB 的体积为2 1 V (1 x) 1 x (x x
2 ) ，当 x 时，体积取得最大值
3 2 6 2
1
，故选 A。
24
4.【答案】D
【解析】 A1C1∥AC ， 过 A1 在空间作平面 ，使平面 与直线 AC 和 BC1所成的角都等于60 ，
即过点 A1 在空间作平面 ，使平面 与直线 A1C1和 BC1所成的角都等于60 ，
连接 A1B ， AB1 ，设它们的交点为O ，连接OC1 ，
易得 C1A1B C1BA1 A1C1B 60 ，
由题意可得O 为 A1B 的中点，则OC1 A1B ，
高中数学 必修第四册 5 / 10
故要使平面 与直线 A1C1和 BC1所成的角都等于60 ，
只要满足OC1 平面 即可，符合题意的只有 1 个平面，
故选：D。
5.【答案】C
【解析】A 选项：因为 E，F 分别为 A D和 BD 两边中点，所以EF∥A B，即EF∥平面 A BC ，A 正确；
B 选项：因为平面 A BD 平面 BCD，交线为 BD，且CD BD ，所以CD 平面 A BD，即CD A B ，
故 B 正确；
C 选项：取 CD 边中点 M，连接 EM，FM，则 EM∥A C ，所以 FEM 为异面直线 EF 与 A C 所成角，又
EF 1， EM 2 ， FM 3 ，即 FEM 90 ，故 C 错误，
D 选项：连接 A 'F ,CF ，则 A'F BD ，平面 A BD 平面 BCD，故 A'F 平面 BCD ，
故 A 'CF 为直线 A C 与平面 BCD 所成的角， A 'F 2 ，CF 6 ，
3
故 tan A 'CF ， A 'CF 30 ，D 正确；
3
故选：C。
二、
6.【答案】 14
【解析】由已知 AB AC ， BD AB ，即 AB BD 0 ， AB AC 0 ，＜AC ， BD＞ 45 ，
CD CA AB BD ，
2 2 2 2 2
CD CA AB BD CA AB BD 2 CA BD cos135 ，
2 4 16 2 2 4 cos45 14，
CD 14 。
7.【答案】①③
高中数学 必修第四册 6 / 10
【解析】对于命题①，连接 AC、BD 交于点 M，取 BE 的中点 M、N，连接 MN、FN，如下图所示：
1
则 AF DE 且 AF //DE ，四边形 ABCD 是矩形，且 AC BD M ， M 为BD的中点，
2
1
N 为 BE的中点， MN //DE 且MN DE ， MN //AF 且MN AF ，
2
四边形 AFNM 为平行四边形， AM //FN ，即 AC //FN ，
AC 平面 BEF ， FN 平面 BEF ， AC // 平面 BEF ，命题①正确；
对于命题②， BC //AD ， BC 平面 ADEF ， AD 平面 ADEF ， BC // 平面 ADEF ，
若四点 B、C 、 E 、 F 共面，则这四点可确定平面 ，则 BC ，平面 平面 ADEF EF ，由线面
平行的性质定理可得 BC //EF ，
则 EF //AD ，但四边形 ADEF 为梯形且 AD 、 EF 为两腰， AD 与 EF 相交，矛盾，
所以，命题②错误；
对于命题③，连接 DF 、CF ，设 AD AF a，则DE 2a ，
在 Rt△ADF 中， AD AF a， DAF ，则△ADF 为等腰直角三角形，
2
且 AFD ADF ，DF 2a ， EDF ，且DE 2a ，
4 4
由余弦定理得 EF 2 DE2 DF 2 2DE DF cos EDF 2a2 ， DF 2 EF 2 DE 2 ，
DF EF ，又 EF CF ， DF CF F ， EF 平面CDF ，
CD 平面CDF ， CD EF ，
CD AD ， AD 、EF 为平面 ADEF 内的两条相交直线，所以，CD 平面 ADEF ，
高中数学 必修第四册 7 / 10
CD 平面 ABCD ， 平面 ADEF 平面 ABCD ，命题③正确；
对于命题④，假设平面 BCE 与平面 BEF 垂直，过点 F 在平面 BEF 内作 FG BE ，
平面 BCE 平面 BEF ，平面 BCE 平面BEF BE ， FG BE ， FG 平面 BEF ，
FG 平面 BCE ，
BC 平面 BCE ， BC FG ，
AD AB， AD AF ， BC //AD， BC AB ， BC AF ，
又 AB AF A， BC 平面 ABF ， BF 平面 ABF ， BC BF ，
FG BF F ， BC 平面 BEF ， EF 平面 BEF ， BC EF ，
AD//BC ， EF AD，显然EF 与 AD 不垂直，命题④错误，
故答案为：①③。
8.【答案】 6 5
5
【解析】取 AB 的中点 H，连接 B1H，D1H，D1B1，BF，如图，
由正方体性质可得 B1D1 平面 ACC1A1 ，所以 B1D1 CF ，
又因为 F 是线段 AA1 的中点，所以△ABF ≌△BB1H ，可知 B1H BF ，
又因为CB 平面 AA1B1B ，所以CB B1H ，
又因为CB BF B ，所以 B1H 平面 BCF ，所以 B1H CF ，
又因为 B1H B1D1 B1，所以CF 平面D1B1H ，
则点 E 在直线 B1H 上，所以当 D1E B1H 时，线段D1E 的值最小，
由题知 D D H 3 1B1 2 2 ， B1H 5 ， 1 ，
D B 2 B H 2 D H 2 8 5 9 10
所以 cos HB1D1
1 1 1 1 ，
2D1B1 B1H 2 5 2 2 10
高中数学 必修第四册 8 / 10
2 3 10所以 sin HB D ， 1 1 1 cos HB1D1
10
3 10 6 5
所以 D1Emin B1D1 sin HB1D1 2 2 ，
10 5
故答案为： 6 5 。
5
三、
9.【答案】（1） 平面 ABCD 平面 ABEF ，CB AB ，
平面 ABCD 平面 ABEF AB， CB 平面 ABEF ，
AF 平面 ABEF ， AF CB，
又 AB为圆O 的直径， AF BF ， AF 平面CBF ，
AF 平面 ADF ， 平面DAF 平面CBF
（2）根据（1）的证明，有 AF 平面CBF ，
FB为 AB在平面CBF 内的射影，
因此， ABF 为直线 AB与平面CBF 所成的角，
AB / /EF ， 四边形 ABEF 为等腰梯形，过点 F 作FH AB，交 AB于 H ，
AB EF 1
AB 2, EF 1，则 AH ，
2 2
在 Rt△AFB 中，根据射影定理 AF 2 AH·AB，得 AF 1，
AF 1
sin ABF ， ABF 300 ，
AB 2
直线 AB与平面CBF 所成角的大小为 30°。
10.【答案】（1）取 BE 中点 N，连 MN,CN，又 M 为 AE 的中点，
1
MN∥AB ，MN AB，在正方形 ABCD 中，P 是 CD 中点，
2
CP∥MN ，CP MN ， 四边形 CPMN 为平行四边形，
MP∥CN ，MP 平面 BCE ，CN 平面 BCE ，
PM∥平面 BCE ；
（2）设 AB AE 2， ABE是等腰直角三角形， AB AE，
AE AB，平面 ABCD 平面 ABEF ，
平面 ABCD 平面 ABEF AB， AE 平面 ABEF ，
高中数学 必修第四册 9 / 10
AE 平面 ABCD ，过 F 做 FQ / / AE ，交 AB 于 Q，
FQ 平面 ABCD ， FA FE， AEF 45 ，
EF AF ， EAF 45 ， AF 2 ， FAQ 45 ，
在 Rt△AFQ 中， FQ AQ 1, BQ 3 ，
过 Q 做QO BD 垂足为 O，连 FO，
FQ 平面 ABCD, FQ BD ， FQ OQ Q ，
BD 平面 FOQ, BD OF ，
FOQ 为二面角F BD A的平面角，
△ 3 2在 Rt BOQ 中， BQ 3, OBQ 45 , OQ ，
2
△ 22在 Rt FOQ 中，OF FQ2 OQ2 ，
2
FQ 22
sin FOQ ，
OF 11
22
二面角F BD A所成角的正弦值 。
11
高中数学 必修第四册 10 / 10
