第十一章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】B
【解析】由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的
任意一条直线，故①错误；对于②，设平面 平面 m ， n ， l ，
平面 平面 ， 当 l m时，必有 l ，而 n ， l n ，
而在平面 内与 l 平行的直线有无数条，这些直线均与 n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平
面内的无数条直线，即②正确；
对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；
对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面
面垂直的性质定理，故④正确；故选：B。
2.【答案】B
3
【解析】由球体的体积公式得 4 4
3
3 d d ， 6V 6 16V R d 3 ， 1.9099 ， 1.7778 ，
3 3 2 6 9
21 300 21 6
1.9091， 1.9082 ， 与 最为接近，故选 C。
11 157 11
3.【答案】B
【解析】 内有无数直线与 平行是 ∥ 的必要不充分条件，A 不符合；
内有两条相交直线与 平行是 ∥ 的充要条件，B 符合；
， 平行同一条直线是 ∥ 的必要不充分条件，C 不符合；
， 垂直同一平面是 ∥ 的必要不充分条件，D 不符合。
4.【答案】D
【解析】当体积最大时，平面 SAD 平面 ABCD ，如下图所示：
对①：若 AC SB 又根据题意， AC SD，故 AC 平面 SDB，又BD 平面 SDB ；
故可得 AC BD ，而根据题意，无法得知两直线位置关系，故不正确；
对②： AB∥CD ，由CD 平面 SCD ，故 AB∥平面SCD ，正确；
对③：因为无法得知底面 ABCD 的边长关系，所以无法确定，故错误；
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对④：AB 与 SC 所成角度为 SCD ，而 DC 与 SA 所成角度为 SAB ，
两个角度显然不相等，故错误，综上所述，正确的只有②，故选：D。
5.【答案】ACD
【解析】A 中 ， 也可相交，A 不正确；由垂直同一直线的两平面平行知，B 正确；C 中， ， 垂直，
不正确；D 中 l 与 也可平行或 l ，不正确。
6.【答案】ABD
【解析】A1D 与 AB1所成角即 A1D 与 DC1 成的角，再连接 A1C 构成等边△A1DC1，即 A 正确；A1D 与 BC1
成的角即 A1D 与 AD1成的角，由 A1D AD1 即 B 正确；由 BD1 平面A1DC1 ， BD1 A1D，即 C 不正确；
1 1 a3
V V a a2 ，即 D 正确。
三棱锥A A1CD 三棱锥A1 ACD 3 2 6
二、
7.【答案】（1）（2）（3）
【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得（3）；当截面过正方体的体对角线时得（2）；当截面既不平行
于任何侧面也不过体对角线时得（1）；但无论如何都不能截出（4）。
8.【答案】 7
1 1
【解析】由体积相等得： 4 52 22 8 r2 4 r2 8 r 7
3 3
9.【答案】①③④
【解析】如图所示： BE 和 DF，BF 和 D'E 分别是正方体两平行平面被平面 BFD'E 所截，所以BE∥D 'F ，
D 'E∥BF ， 四边形 BFD'E 为平行四边形， ①正确，②不正确，当 E，F 分别为 AA'，CC'中点时，四边
形 BFD'E 为菱形，设正方体棱长为 a ，则 BF 2 D 'F 2 a2 ，BD '2 3a2 ，即 BF 2 D 'F 2 BD '2 ，四边形
BFD'E 不可能为正方形，③正确（其射影是正方形 ABCD），④正确，当 E，F 分别是 AA'，CC'中点时，
平面BFD 'E 平面BB 'D 。
10.【答案】（1） BD CD
（2）60°
【解析】（1）AB AC ，AD BC ， BD AD ，CD AD ， BDC 为二面角的平面角， BDC 90 ，
BD DC 。
2
（2）设等腰直角三角形的直角边长为 a ，则斜边长为 2a ， BD CD a ，
2
2 2
2 2
折叠后 BC a a a， 折叠后△ABC 为等边三角形， BAC 60 。 2 2
三、
11.【答案】（1）连接 B1C，ME，
因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，
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1
所以ME∥B1C ，且ME B C ， 1
2
又因为 N 为 A1D 的中点，
1
所以 ND A D ，由题设知 A1B1∥DC ，可得 B1C∥A1D ，故ME∥ND ， 1
2
因此四边形 MNDE 为平行四边形，MN∥ED ，又MN 平面C1DE ， ED 平面C1DE ，
所以MN∥平面C1DE 。
（2）过点 C 作 C1E 的垂线，垂足为点 H，
由已知可得 DE BC ，DE C1C ，所以DE 平面C CE ，故DE CH1 ，
从而CH 平面C1DE ，故 CH 的长即为 C 到平面 C1DE 的距离，
4 17
由已知可得CE 1，C1C 4 ，所以C1E 17 ，故CH ，
17
4 17
从而点 C 到平面 C1DE 的距离为 。
17
12.【解析】（1）由题意，因为PA 面 ABC， BC 面 ABC， PA BC ，
又 ACB 90 ，即 AC BC ， PA AC A， BC 平面 PAC，
BC 平面 PBC， 平面 PAC 平面 PBC。
（2）取 PC 的中点 D，连接 AD，DM； AC PA， AD PC ，
由（1）知， BC⊥平面 PAC，
又 AD 平面 PAC， BC AD ，而 PC BC C ， AD 平面 PBC，
所以 DM 是斜线 AM 在平面 PBC 上的射影，
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所以∠AMD是 AM 与平面 PBC 所成角，且 AD DM ，
设 AC BC PA 2a ，则由 M 是 PB 中点得
1
DM BC a ，
2
AD 2a，所以
AD
tan AMD 2 ，
DM
即 AM 与平面 PBC 所成角的正切值为 2 。
高中数学 必修第四册 4 / 4第十一章综合测试
一、选择题
1.已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，
即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式
16
d 3 V ，人们还用
9
过一些类似的近似公式，根据 3.14159 判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）
A. 16 21 300d 3 V B. d 3 V C. d 3 V D. d 3 2V
9 11 157
3.设 ， 为两个平面，则 ∥ 的充要条件是（ ）
A. 内有无数条直线与 平行
B. 内有两条相交直线与 平行
C. ， 平行于同一条直线
D. ， 垂直于同一平面
4.如图，在直角梯形 SABC 中， ABC BCS 90 ，过点 A作 AD SC 交 SC 于点 D ，以 AD 为折痕把
△SAD 折起，当几何体 S ABCD 的的体积最大时，则下列命题中正确的个数是（ ）
① AC SB
② AB∥平面 SCD
③ SA与平面 SBD所成的角等于 SC 与平面 SBD所成的角
④ AB与 SC 所成的角等于 DC 与 SA所成的角
A.4 B.3 C.2 D.1
5.（多选题）设 l 为直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ）
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A.若 l∥ ， l∥ ，则 ∥ B.若 l ， l ，则 ∥
C.若 l ， l∥ ，则 ∥ D.若 ， l∥ ，则 l
6.（多选题）如图正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a ，以下结论正确的是（ ）
A.异面直线 A1D 与 AB1 所成的角为 60°
B.直线 A1D 与 BC1 垂直
C.直线 A1D 与 BD1 平行
1
三棱锥 — 的体积为 a3D. A A1CD
6
二、填空题
7.一个正方体内接于一个球（即正方体的 8 个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是
________。
8.现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制
作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________。
9.在正方体 ABCD—A'B'C'D'中，过对角线 BD'的一个平面交 AA'于点 E，交 CC'于点 F，则：①四边形 BFD'E
一定是平行四边形；②四边形 BFD'E 有可能是正方形；③四边形 BFD'E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方
形；④平面 BFD'E 有可能垂直于平面 BB'D。
以上结论正确的为________。（写出所有正确结论的编号）
10.如图所示，以等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高 AD 为折痕，使△ABD 和△ACD折成互相垂直的
两个平面，则：
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（1）BD 与 CD 的关系为________；（2） BAC ________。
三、解答题
11.如图，直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形， AA1 4 ， AB 2， BAD 60 ，E，M，N 分别是
BC，BB1，A1D 的中点。
（1）证明：MN∥平面 C1DE；
（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离。
12.如图，在三棱锥 P—ABC 中， ACB 90 ， PA 底面 ABC。
（1）求证：平面 PAC 平面 PBC；
（2）若 AC BC PA ，M 是 PB 的中点，求 AM 与平面 PBC 所成角的正切值。
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