第十一章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】D
【解析】△OAB 是直角三角形，其两条直角边分别是 4 和 6，则其面积是 12。
2.【答案】A
3 3 3
【解析】设正方体的棱长为 a ，球的半径为 r ，则 6a2 54， a 3，又 2r 3a ， r a ，
2 2
27
S 4 r2表 4 27 。
4
3.【答案】A
【解析】对于 A，若m ， n ，根据线面垂直的性质可得m n ；故正确；
对于 B，若m∥ ， n∥ ，则m与 n可能相交、平行或者异面；故错误；
对于 C，若m ，m n ，则 n∥ 或n ，故错误；
对于 D，若m∥ ，m n ，则 n与 相交、平行或n ，故错误。
4.【答案】B
【解析】设圆柱的轴截面的边长为 x，则由 x2 8 ，得 x 2 2 ，
2
S圆柱表 2S S侧 2 2 2 2 12 底
5.【答案】A
【解析】因为PA 平面 ABC，
所以 PA BC ，
因为 PD BC ， PA PD P ， PA 平面 PAD，PD 平面 PAD，
所以 BC 平面 PAD，所以 AD BC ，
图中直角三角形有△PAC ，△PAD ，△PAB ，△ABC ，△PDC ，△PDB ，△ADC ，△ADB ，共 8 个。
6.【答案】B
【解析】 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 O 是四边形 ABCD 的中心，
A1D∥B1C ，OD∥B1D1，
A1D DO D， B1D1 B1C B1， 平面 A1DO∥平面 B1CD1 ，
A1O 平面 A1DO ， A1O∥平面 B1CD1 。
7.【答案】A
【解析】如图，连接 A1D ， AC ，记 BC a1 1 ，由 B1C 与底面 ABCD 所成的角为60 ，可得 B1CB 60 ，
高中数学 必修第四册 1 / 7
BB1 3a，B1C 2a，由C1D 与底面 ABCD 所成的角为 45 ，可得 C1DC 45 ， CD CC1 3a，
B1C∥A1D ，
C1DA1 或其补角是异面直线 B1C 与C1D 所成的角，在△A1DC1中， A1C1 2a ， A1D 2a ，C1D 6a ，
1 6
C1D a
cos C 2 2
6
1DA1 。
A1D 2a 4
8.【答案】B
PB PD
【解析】设 BD x ，由 ∥ AB∥CD △PAB△PCD ，①当点 P 在两平面之间时，如图
PA PC
x 8 8 8 x 8 24
1， ， x 24；②当点 P 在两平面外侧时，如图 2， ， x 。
6 9 6 6 9 6 5
。
二、
9.【答案】AC
【解析】如图所示，连接 AC、BD 相交于点 O，连接 EM，EN，
由正四棱锥 S－ABCD，可得 SO 底面 ABCD， AC BD ， SO AC ，
SO BD O， AC 平面 SBD，
高中数学 必修第四册 2 / 7
E ，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，
EM∥BD，MN∥SD ，而 EM MN N ，
平面 EMN∥平面 SBD， AC 平面 EMN， AC EP ，选项 A 正确；
由异面直线的定义可知：EP 与 BD 是异面直线，不可能 EP∥BD，因此选项 B 不正确；
平面 EMN∥平面 SBD， EP∥平面 SBD，因此选项 C 正确；
EM 平面 SAC，若 EP 平面 SAC，则 EP∥EM ，与 EP EM E 相矛盾，因此当 P 与 M 不重合时，
EP 与平面 SAC 不垂直，即选项 D 不正确。
10.【答案】ABD
【解析】对于选项 A，VA－D1PC VC－AD1P，C 到面 AD1P 的距离不变，且△AD1P的面积不变， 三棱
锥 A－D1PC 的体积不变，故 A 正确；连接 A1B ，A1C1，易证平面 BA1C1∥面 ACD1，从而由线面平行的定义
可得 A1P∥平面 ACD1，故 B 正确；连接 DB，DC1 ，可知△DBC1是正三角形，当且仅当 P 为 BC1 中点时，
DP BC1 ，考虑特殊位置，当 P 与 B 重合时，DP 与 BC 60 1成 角，不垂直，所以 C 不正确；连接 DB1 ，
根据正方体的性质，有DB1 ACD1，DB1 平面 PDB1从而可以证明平面 PDB1 平面 ACD1，所以 D 正确。
11.【答案】ABD
【解析】 AB∥CD ， AA1∥DD1 ， 平面 ABB1A1∥平面CDD1C1，
平面 APQR 平面 ABB1A1 AP，平面 APQR 平面CDD1C1 RQ，
AP∥QR ，选项 A 正确，
四边形 ABCD 是直角梯形， AB∥CD ，
平面 BCC1B1与平面 ADD1A1不平行，
平面 APQR 平面 BCC1B1 PQ，平面 APQR 平面 ADD1A1 AR ，
PQ 与 AR 不平行，故四边形 APQR 不可能为平行四边形，选项 B 正确，
DB PR ，要使△ARP 为等腰直角三角形，则 DAB≥90 ，但根据题意 DAB＜90 ，选项 C 不正确，
延长 CD 至 M，使得DM CM ，则四边形 ABCM 是矩形， BC∥AM ，
当 R，Q，M 三点共线时， AM 平面APQR ， BC∥平面 APQR，选项 D 正确。
12.【答案】ACD
【解析】设 A1 到平面 EBCD 的距离为 h，D 到 AB 的距离为 h ，
1 1
则VA A1DE :VA1 BCDE S△ADE h : S h梯形 EBCE
3 3
1 CD BE
S : S AE h △ADE : h 1:3，A 正确； 梯形 EBCD
2 2
A1C 在平面 ABCD 中的射影为 AC，AC 与 DE 不垂直，
DE 与 A1C 不垂直，B 错误；
高中数学 必修第四册 3 / 7
1
取 CD 中点 F，连接 MF，BF，则MF∥A1D 且MF A1D ，FB∥ED且 FB ED，
2
由MF∥A1D 与FB∥ED，可得平面MBF∥平面 A1DE ， 总有 BM∥平面 A1DE ，C 正确；
MFB A1DE ，由余弦定理可得MB
2 MF 2 FB2－2MF FB cos MFB 是定值，故 D 正确。
三、
13.【答案】垂直
【解析】因为 PA PC ，所以 PO AC ，又PB PD，所以 PO BD ，AC BD O ，AC 平面 ABCD，
BD 平面 ABC1 所以 PO 平面 ABCD。
1
14.【答案】1
6
【解析】因为 B1C∥平面 DED1，所以直线 B1C 到平面 DED1 的距离即为点 B1 到平面DED1的距离 B1A1 1，
1 1
因为 E 点在线段 AA1上，所以 S△DED 1 1 ， 1 2 2
又因为 F 点在线段 B1C 上，所以点 F 到平面DED h 11的距离为 1，即 ，
1 1 1 1
所以VD1 EDF VF DED1 S△DED h 1 。
3 1 3 2 6
15.【答案】E 是 SA 的中点
【解析】当 E 是 SA 的中点时，连接 AC，设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 EO，
四边形 ABCD 是平行四边形， 点 O 是 AC 的中点，又 E 是 SA 的中点，
OE 是△SAC 的中位线， OE∥SC ，
SC 平面 EBD，OE 平面 EBD，
SC∥平面 EBD。
16.【答案】7
【解析】取 AB 的中点 E，连接 PE，
PA PB， PE AB ，
又平面PAB 平面 ABC， PE 平面 ABC，连接 CE，所以 PE CE ，
ABC 90 ， AC 8， BC 6，
AB 2 7 ， PE PA2 AE2 6 ，
CE BE2 BC 2 43 ，
PC PE 2 CE 2 7。
四、
高中数学 必修第四册 4 / 7
17.【答案】四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，
S表面 S S S圆台底面 圆台侧面 圆锥侧面，
52 2 5 5 2 2 2 ，
4 2 60 ，
V V V
胎台 ， 光维
1 1
r2 2 1 r1r2 r2 h r2h ，
3 3
1 1 148
25 10 4 4 4 2 。
3 3 3
18.【答案】（1）由已知得 B BE 1C1 平面 ABB1A1， 平面 ABB1A1，
故 B1C1 BE ，又 BE EC1 ， B1C1 EC1 C1 ， B1C1 平面 B1C1E ， EC1 平面 B1C1E ，
所以 BE 平面 EB1C1；
（2）由（1）知 BEB1 90 ，
由题设知 Rt△ABE≌Rt△A1B1E ，
所以 AEB A1EB1 45 ，
故 AE AB 3， AA1 2AE 6。
作 EF BB EF EF AB 31，垂足为 F，则 平面 BB1C1C ，且 ，
所以四棱锥 E－BB1C1C 的体积，
1
V 3 6 3 18。
3
19.【答案】（1）由四边形 ABED 为正方形可知，连接 AE 必与 BD 相交于中点 F，故GF∥AC ，
GF 平面 ABC， GF∥平面 ABC，
；
（2）线段 BC 上存在一点 H 满足题意，且点 H 是 BC 中点，
理由如下：由点 G，H 分别为 CE，CB 中点可得：GH∥EB∥AD
GH 平面 ACD，
GH∥平面 ACD，
由（1）可知，GF∥平面 ACD，且GF GH G ，
故面GFH∥平面 ACD。
1
20.【答案】（1）连接 B1C ，ME，因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，所以ME∥B1C ，且ME B1C ，又
2
高中数学 必修第四册 5 / 7
1
因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND A1D ，
2
由题设知 A1B1∥DC ，可得 B1C∥A1D ，故ME∥ND，因此四边形 MNDE 为平行四边形，所以MN∥ED ，
又 MN 平面C1DE 平面C1DE ，所以MN∥平面C1DE ；
（2）过点 C 作C1E 的垂线，垂足为 H，
由已知可得 DE BC ，DE C1C ，所以DE 平面C1DE ，
故 DE CH ，从而CH 平面C1DE ，故 CH 的长即为点 C 到平面C1DE 的距离，
4 17 4 17
由已知可得CE 1，C1C 4 ，所以C1E 17 ，故CH ，从而点 C 到平面C1DE 的距离为 。
17 17
21.【答案】（1） E ，F 分别为 AC，BC 的中点， EF∥AB ，
又 EF 平面 PAB， AB 平面 PAB， EF∥平面 PAB；
（2） PA PC ，E 为 AC 的中点， PE AC ，
又 平面 PAC 平面 ABC， PE 平面 ABC， PE BC ，
又 F 为 BC 的中点， EF∥AB ，
ABC 90 ， BC EF ， EF PE E ，EF， PE 平面 PEF， BC 平面 PEF，
又 BC 平面 PBC， 平面 PBC 平面 PEF。
22.【答案】（1）如图，连接 A1B ，在△A1BC 中，因为 E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点，所以 EF∥BA1。
又因为 EF 平面 A1B1BA， BA1 平面 A1B1BA，
所以EF∥平面 A1B1BA；
（2）因为 AB AC ，E 为 BC 的中点，所以 AE BC ，因为 AA1 平面 ABC， BB1∥AA1，所以 BB1 平
面 ABC，从而 BB1 AE ，又因为 BC BB B ，BC， BB 平面 BCB ，所以 AE 1 1 1 平面 BCB1 ，又因为
AE 平面 AEA1，所以平面 AEA1 平面 BCB1 。
高中数学 必修第四册 6 / 7
（3）取 BB1的中点 M 和 B1C 的中点 N，连接 A1M ， A1N ，NE，因为 N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点，所
1
以 NE∥B1B ， NE B NE∥A A NE A A A N∥AE A N AE1B ，故 1 且 1 ，所以 1 ，且 1 ，
2
又因为 AE 平面 BCB1 ，所以 A1N ⊥平面 BCB1 ，从而 A1B1N 为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角.
在△ABC 中，可得 AE 2，所以 A1N AE 2，
因为 BM∥AA1， BM AA1，所以 A1M∥AB ， A1M AB ，又由 AB BB1，有 A1M BB1 ，
在 2 2Rt△A1MB1中，可得 A1B1 B1M A1M 4，
A N 1
在 Rt△A1MB1中， A B
1 ，因此 A B N 30 ，
1 1N 1 1
A1B1 2
所以，直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为30 。
高中数学 必修第四册 7 / 7第十一章综合测试
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1.如图，△O A B 是水平放置的△OAB 的直观图， A O 6 ，B O 2，则△OAB 的面积
是（ ）
A.6 B.3 C.6 D.12
2.一个球的内接正方体的表面积为 54，则球的表面积为（ ）
A. 27 B.18 C. 9 D. 54
3.已知m， n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法中正确的是（ ）
A.若m ， n ，则m n
B.若m∥ ， n∥ ，则m∥n
C.若m ，m n ，则 n∥
D.若m∥ ，m n ，则 n
4.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2 ，过直线O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是
面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A.12 2 B.12 C.8 2 D.10
5.BC 是 Rt△ABC 的斜边，PA 平面 ABC， PD BC 于 D 点，则图中共有直角三角形的
个数是（ ）
A.8 个 B.7 个 C.6 个 D.5 个
6.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 O 是四边形 ABCD 的中心，关于直线 A1O ，下列说法正
确的是（ ）
A. A1O∥D1C B. A1O∥平面 B1CD1
C. A1O BC D. A1O 平面 AB1D1
7.已知长方体 ABCD－A 60 1B1C1D1 中， B1C 、C1D 与底面 ABCD 所成的角分别为 和45 ，
则异面直线 B1C 和C1D 所成角的余弦值为（ ）
6 1 2 3
A. B. C. D.
4 4 6 6
高中数学 必修第四册 1 / 6
8.已知平面 ∥平面 ，P 是 、 外一点，过点 P 的直线m与 、 分别交于点 A、C，
过点 P 的直线 n与 、 分别交于点 B、D，且 PA 6， AC 9， PD 8 ，则 BD 的长为
（ ）
24
A.16 B.24 或 C.14 D.20
5
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。）
9.如图，在正四棱锥 S－ABCD 中，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，动点 P 在线段
MN 上运动时，下列四个结论中恒成立的为（ ）
A. EP AC B. EP∥BD
C. EP∥平面 SBD D. EP 平面 SAC
10.如图，点 P 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 的面对角线 BC1上运动，则下列四个结论正确的是
（ ）
A.三棱锥 A－D1PC 的体积不变
B. A1P∥平面 ACD1
C. DP BC1
D.平面 PDB1 平面 ACD1
11.如图，在四棱柱 ABCD－A1 B1C1 D1中， AA1 平面 ABCD， AB∥CD ， DCB 90 ，
AB AD AA1 2DC ，Q 为棱CC1上一动点，过直线 AQ 的平面分别与棱BB1，DD1 交于
点 P，R，则下列结论正确的是（ ）
高中数学 必修第四册 2 / 6
A.对于任意的点 Q，都有 AP∥QR
B.对于任意的点 Q，四边 APQR 不可能为平行四边形
C.存在点 Q，使得△ARP 为等腰直角三角形
D.存在点 Q，使得直线 BC∥平面 APQR
12.如图，矩形 ABCD 中，AB 2AD ，E 边 AB 的中点，将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A1DE
（ A1 平面 ABCD），若 M 为线段 A1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列结论正确的
是（ ）
A.VA－A1DE :VA1－BCDE 1:3
B.存在某个位置，使DE A1C
C.总有BM∥平面 A1DE
D.线段 BM 的长为定值
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13.设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点，且有 PA PC ，PB PD，
则 PO 与平面 ABCD 的关系是________。
14.（多空题）如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，E、F 分别为线段 AA1、B1C 上的
点，则直线 B1C 到平面 DED1的距离为________，三棱锥D1－EDF 的体积为________。
15.如图，在四棱锥 S－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 是 SA 上一点，当点 E 满
足条件：________时， SC∥平面 EBD。
高中数学 必修第四册 3 / 6
16.如图，四面体 P－ABC 中，PA PB 13 ，平面PAB 平面 ABC， ABC 90 ，AC 8，
BC 6，则 PC ________。
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.如图所示，在四边形 ABCD 中， DAB 90 ， ADC 135 ，AB 5，CD 2，AD 2，
求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积。
18.如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BE EC1 。
（1）证明： BE 平面 EB1C1；
（2）若 AE A1E ， AB 3，求四棱锥 E－BB1C1C 的体积。
19.如图所示，在四棱锥 C－ABED 中，四边形 ABED 是正方形，点 G，F 分别是线段 EC，
BD 的中点。
高中数学 必修第四册 4 / 6
（1）求证：GF∥平面 ABC；
（2）线段 BC 上是否存在一点 H，使得平面GFH∥平面 ACD，若存在，请找求出点 H 并
证明；若不存在，请说明理由。
20.如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱形，AA 4 ，AB 2， BAD 60 1 ，E，
M，N 分别是 BC， BB1， A1D 的中点。
（1）证明：MN∥平面C1DE ；
（2）求点 C 到平面C1DE 的距离。
21.如图，在三棱锥 P－ABC 中，E，F 分别为 AC，BC 的中点。
（1）求证：EF∥平面 PAB；
（2）若平面 PAC 平面 ABC，且 PA PC ， ABC 90 ，
求证：平面PEF 平面 PBC。
22.如图，已知 AA1 平面 ABC，BB1∥AA1，AB AC 3，BC 2 5 ，AA1 7 ，BB1 2 7 ，
点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点。
高中数学 必修第四册 5 / 6
（1）求证：EF∥平面 A1B1BA；
（2）求证：平面 AEA1 平面 BCB1 ；
（3）求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小。
高中数学 必修第四册 6 / 6
