第十章综合测试
答案解析
基础练习
一、
1.【答案】D
m2 m 0
【解析】 z 为纯虚数, , m 1,故选 D。
m 0
2.【答案】B
2 3i ( 2 3i)(3 4i) 18 i 18 1 2 3i
【解析】 i , 复数 对应的点位于第二象限。
3 4i 5 5 5 5 3 4i
3.【答案】D
【解析】由于 OABC 是平行四边形,故 AB OC ,
因此 | AB | | OC | | 3 2i | 13 ,故选 D。
4.【答案】D
2 i (2 i)2 3 4
【解析】 z i, z1 (1 i)(1 i) 21
2 i 5 5 5
13 4 13 4
z z1 z2 I , z i
5 5 5 5
5.【答案】D
cos isin 2 2
【解析】 z1z2 2 3
4 4
cos isin 6 6 i 3 3i 。
12 6 12 6 4
2 2
二、
6.【答案】 1
【解析】 z1 z2 a2 a 2 a 4 a2 2 i(a R)为纯虚数,
7.【答案】
4
【解析】 0, 1 i
cos isin
1 i 2 4 4
, AOB 。
4 4
高中数学 必修第四册 1 / 6
8.【答案】1 i
2 2 2 2【答案】 z 1 i 1 i 2i 1 i
z 1 i
三、
9.【答案】(1)由于 ABCD 是平行四边形,
所以 AC AB AD ,于是 AD AC AB ,而 (1 4i) (3 2i) 2 2i ,
即 AD 对应的复数是 2 2i。
(2)由于DB AB AD,而 3 2i 2 2i 5,
即 DB 对应的复数是 5。
1 1 1
(3)由于 PA CA AC , 2 ,
2 2 2
1 5
PB DB ,0 ,
2 2
5
于是 PA PB ,
4
17 5
而 | PA | , | PB | ,
2 2
17 5 5
所以 cos APB ,
2 2 4
17 4 17
因此 cos APB ,故 sin APB ,
17 17
1 1 17 5 4 17 5
故 S△ PA PB sin APB , APB
2 2 2 2 17 2
5
即△APB 的面积为 。
2
1 cos0 isin 0
10.【答案】(1)
z
10 cos isin
3 3
1
cos 0 isin 0
10 3 3
1
cos isin
10 3 3
1 1
所以 的模为 ,辐角为- 2k , k Z。
z 10 3
高中数学 必修第四册 2 / 6
3 3 2 2
(2) z 2 sin icos 2 2i 2 i
4 4 2 2
2 cos isin
4 4
1 cos0 isin 0
z
2 cos isin
4
4
1
cos isin
2 4 4
1 1
所以 的模为 ,辐角为 2k , k Z。
z 2 4
提升练习
1.【答案】D
sin 2 cos
【解析】由复数相等的定义可知, ,
cos 3sin
3 1
cos , sin
2 2
2k , k Z,故选 D。
6
2.【答案】C
【解析】 z1 z2 z3 (1 2i)(1 i)( 1 3i)
3 i 1 3i 10i ,
argz1 argz2 argz3 2k , k Z,
2
3
argz1 ,2 , argz2 0, ,
2 2
argz3 , ,
2
7
argz1 argz2 argz3 2 , ,
2
高中数学 必修第四册 3 / 6
5
argz1 argz2 argz3 。
2
3.【答案】B
【解析】 2 2i 2 2 cos isin ,
4 4
4
故 2 2i 26
cos isin 26 1 3i 2 cos isin ,
3 3
25
故 (1 3i)5 ,
5 5
cos isin
3 3
5 5
26 cos isin
(2 2i)4 3 3
于是 ,
5
(1 3i)5 2
1 3
2 i 1 3i 。
2 2
4.【答案】C
m 2cos
【解析】 z1 z2 , , 2
4 m 3sin
2
2 3 9 4sin 3sin 4 sin ,
8 16
9
sin [ 1,1], , 716
。
5.【答案】 2 2
【解析】设方程的实数根为 x ,则 x 20 0 k 2i x0 2 ki 0 ,
x
2 kx0 2 0 ,
2x0 k 0
将(2)代入(1)消去 k 得: x20 2 0, x0 2 ,
当 x 2 时, k 2 20 ,当 x 2 时, k 2 20 ,
综上知, k 2 2 。
6.【答案】1 i
高中数学 必修第四册 4 / 6
【解析】设 z a bi(a,b R),则 z a bi,代入 z zi 2 2z 中得, a bi a bi i 2 2 a bi ,
2 a2 b2 i 2a 2bi,
2a 2 a 1
由复数相等的条件得, , ,
a2 b2
2b b 1
z 1 i。
1 3
7.【答案】6 i
2 2
1 3 1 3 1 3 1 3
【解析】 3z2 i ,z 1, 6z4 i ,z5 i ,z 1, 原式 i 1 3i
2 2 2 2 2 2 2 2
5 5 3 1 3
3 2 2 3i i 6 3 3 3i 6 i 。
2 2 2 2
8.【答案】 3 4i
【解析】设 z 3t 4ti(t R),
则 z 3t 4ti ,
| z | 5, 9t 2 16t 2 25,
t 2 1,
z 的对应点在第二象限, t<0,
t 1, z 3 4i 。
log2 x2 3x 3 0①
9.【答案】假设复数 z 是纯虚数,则有 ,
log2 (x 3) 0②
由①得 x2 3x 3 1,解得 x 1或 x 4 ,
当 x 1时, log2 x 3 无意义;
当 x 4 时, log2 x 3 0,这与 log2 x 3 0矛盾,故假设不成立,所以复数 z 不可能是纯虚数。
10.【答案】设 z x yi , x, y R ,且 y 0,
1 1 x yi x y
由已知得 z x yi x yi
2 x y i, z x yi x y2 x2 y2
2 2
x y
1 y
z 是实数, y 0 ,即 x2 y2 1,且 x 1,
z x2 y2
高中数学 必修第四册 5 / 6
1 z 1 x yi
,
1 z 1 x yi
1 x yi 1 x yi 1 x2 y2 2yi
,
1 x yi 1 x yi 1 2x x2 y2
y
i,
1 x
y 0, x 1,
1 z
是纯虚数。
1 z
高中数学 必修第四册 6 / 6第十章综合测试
基础练习
一、选择题
2
1.复数 z m m mi (m R , i 为虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为( )
A.0 或 1 B.0 C.1 D. 1
2 3i
2.在复平面内,复数 ( i 是虚数单位)所对应的点位于( )
3 4i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平行四边形 OABC,O、A、C 三点对应的复数分别为 0、1 2i 、3 2i ,则向量 AB
的模 | AB | 等于( )
A. 5 B. 2 5 C.4 D. 13
2 i
4.设 z , z2 (1 i)(1 i) , z z1 1 z2 ,则 z ( )
2 i
4 3 4 13 4 13 4
A. 3 i B. i C. i D. i
5 5 5 4 5 5 5
5.已知复数 z 2 cos isin ,z 3 cos isin ,则 z1z1 2 2 的代数形式是( )
12 12 6 6
A. 6 cos isin B. 6 cos isin
4 4 12 12
C. 3 3i D. 3 3i
二、填空题
6.已知复数 z1 a2 2 (a 4)i, z a21 2 (a 4)i ,且 z1 z2 为纯虚数,则 a
________。
7.在复平面上 A,B 表示复数为 α, ( 0),且 1 i ,则 AOB _________。
2
8.设 z 1 i ( i 上虚数单位),则 z2 等于_________。
z
三、解答题
9.已知平行四边形 ABCD 中, AB 与 AC 对应的复数分别是3 2i 与1 4i ,两对角线 AC 与
BD 相交于 P 点。
高中数学 必修第四册 1 / 3
(1)求 AD 对应的复数;
(2)求 DB 对应的复数;
(3)求△APB 的面积。
1
10.写出下列复数 z 的倒数 的模与辐角。
z
3 3
(1) z 10 cos isin ; ( 2) z 2 sin icos 。
3 3 4 4
提升练习
1.若复数 z1 sin 2 icos , z2 cos i 3sin (0 R) , z1 z2 ,则 等于( )
A. k (k Z) B. 2k (k Z)
k
C. 2k (k Z) D. 2k (k Z)
k 6
2.设 z1 1 2i, z2 1 i , z3 1 3i 则 arg z1 + arg z2 + argz3 = ( )
3 5 7
A. B. C. D.
2 2 2 2 2
(2 2i)4
3.复数 等于( )
(1 3i )2
A.1 3i B. 1 3i C.1 3i D. 1 3i
4.复数 z 21、z2 满足 z1 m 4 m i, z2 2cos ( 3sin )i(m, , R),并且 z1 z2 ,
则 的取值范围是( )
9 9 9
A. 1,1 B. ,1 C. ,7 D. ,1
16 16
16
高中数学 必修第四册 2 / 3
5.已知 k R ,且关于 x的方程 x2 k 2i x 2 ki 0 有实根,则实数 k 的值为________。
6.已知 z 是 z 的共轭复数,若 z zi 2 2z ,则 z ________。
1 3
7.设 z i ( i 是数单位),则 z 2z2 3z3 4z4 5z5 6z6 _______。
2 2
4
8.若复数 z 在复平面内的对应点在第二象限, | z | 5 , z 对应点在直线 y x 上,则 z
3
________。
9.已知:复数 z log2 x2 3x 3 i log2 (x 3) ,其中 x R ,求证:复数 z 不可能是纯虚数。
1 1 z
10.已知 z 是虚数,且 z 是实数,求证: 是纯虚数。
z 1 z
高中数学 必修第四册 3 / 3